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1、学习必备欢迎下载椭圆与双曲线一、图像与性质椭圆： 把平面内与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数(大于 |F1 F2|) 的点的轨迹叫作椭圆标准方程22221(0)xyabab+=22221(0)yxabab+=焦点所在轴X 轴y 轴图像（ 谁 的 分 母大，焦点在谁上，大分母是2a）长轴长：aAA221短轴长：bBB221焦距：cFF221离心率：ace，222,cbacba关系式：双曲线：平面内与两个定点F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数 (小于 |F1F2| 且不等于零 )的点的轨迹叫做双曲线标准方程)0,0(12222babyax)0,0( 12222babxay焦点所在轴X 轴
2、y 轴图像（谁的系数为正，焦点在谁上，下面分母是2a）渐近线方程xabyxbay实轴长：aAA221虚轴长：bBB221焦距：cFF221离心率：ace，222,abccba关系式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载题型一：标准方程kecba渐近线斜率,图像对照求值思路：根据标准方程或图像对照出kecba渐近线斜率,中的任意两个，就可以利用关系式cba,将其他参数全部算出，然后罗列性质就可以了。注意下列细节：椭圆中谁的分母大，焦点在谁上，大分母是2a，222cba双曲线中谁的系数为正，焦点在谁上，下面
3、分母是2a，222abc例 1：分析椭圆192522yx的性质。解：由椭圆方程得焦点在X 轴上，且9,2522ba计算出：4,16925-, 3,5222cbacba长轴长：1021AA短轴长：621BB焦距：821FF离心率：54e例 2：顶点在X轴，两顶点的距离是8，离心率是45的双曲线方程。解：由题意得,82a45e，所以5,4 ca91625222acb，3b又因为焦点在X 轴上，所以双曲线方程为191622yx例 3、已知椭圆经过点P(0,-3),Q(-2,0),求椭圆标准方程。解：与椭圆的两种标准图形对照不难发现这是一个焦点在Y轴上的椭圆，且 P,Q 作为与坐标轴的交点只能有a=3
4、,b=2, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载标准方程为14922xy题型二、关于椭圆与双曲线定义的考察思路：设P是椭圆上任一点，则有aPFPF221设 P是双曲线上任一点，则有aPFPF221例 4： 设21,FF是椭圆192522yx的两个焦点，过1F的弦 AB与椭圆交于A,B 两点，(1)已知1AF=4，求2AF（2）求三角形21FAF的周长；（3）求三角形2ABF的周长；解 ： 由 上 述 例 子 说 明 该 椭 圆 中 ：4, 3,5cba（1）由椭圆定义知：10221aAFAF,又因为1A
5、F=4，则2AF=6 （2）由椭圆定义知：10221aAFAF,8221cFF角形21FAF的周长 =caFFAFAF222121=18 （3）由椭圆定义知：10221aAFAF,10221aBFBF求三角形2ABF的周长 =21AFAFaBFBF421=20 例 5、双曲线191622xy上一点P 到一个焦点的距离为 10，那么 P到另一个焦点的距离是解：由双曲线方程191622xy对照得出焦点在Y轴上且9,1622ba，则4a，由双曲线定义知道：8221aPFPF，由题意知101PF，所以182PF或22PF。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
6、- - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载题型三：对方程122nymx的认识当nmnm且0,0时该方程表示焦点在X轴上的椭圆当mnnm且0,0时该方程表示焦点在Y轴上的椭圆当0,0 nm时该方程表示焦点在X轴上双曲线当0,0 mn时该方程表示焦点在y 轴上双曲线当0nm时刚方程表示圆例 6：方程12422tytx所表示的曲线为C ，求以下情况时 t的取值范围。（1）曲线 C为焦点在 X 轴上的椭圆；（2）曲线 C为焦点在 Y轴上的椭圆；（3）曲线 C为焦点在 X 轴上的双曲线；（4）曲线 C为焦点在 Y轴上的双曲线；解： （1）由题意得：3 ,224020-4ttttt。 （2）4 ,3
7、42020-4ttttt（3）)2 ,(0204ttt（4）).4(0204ttt题型四：巧用方程122ByAx解决已知两点求圆锥曲线方程问题分析：122ByAx是椭圆与双曲线方程的变式，在带值求解的过程中用此方程解题能使运算难度降低很多！例 7：若椭圆经过点M（-2，3） ， N（1，32） ，求椭圆标准方程。解：设方程为122BxAx（A0，B0） ，将 M（-2，3） ，N（ 1，32）两点代入上式得：15151112134BABABA所以椭圆方程为11515122yx，即115522yx例 8：若过点M（3，24-） ，N（49， 5）的双曲线的标准方程精选学习资料 - - - - -
8、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载解：设方程为122BxAx（AB0） ，将M（3，24-） ，N（49，5）两点代入上式得：1619112516811329BABABA所以椭圆方程为11619122yx，即191622xy五、综合考题例 9、已知椭圆两焦点坐标分别是（0，-2） ， （0,2）且椭圆过点（3,2） ，求椭圆方程。解：因为椭圆两焦点坐标分别是（0，-2） ， （ 0,2） ，所以焦点在Y轴上且2c，又因为82-20-32-20-32222221）（PFPFa所以4a，12416222cab所以椭圆方程为1121622
9、xy例 10：已知双曲线两焦点坐标分别是（-6,0） ， （6,0,）且过点（ -5,2） ，双曲线方程。解：因为双曲线两焦点坐标分别是（-6,0） ， （6,0） ，所以焦点在X轴上且6c，又因为545551255026502652222221PFPFa所以52a，162036222acb则双曲线方程为1162022yx。六 椭圆中的三角形例 11：当椭圆满足下列情况时求离心率：1、212FFB是直角三角形解： 1、因为，2212FBFB所以该三角形是等腰直角三角形。令112OFOBc212FBa则有，所以2221ace2、212FFB是等边等边三角形精选学习资料 - - - - - - -
10、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载因为2212FBFB，所以该三角形是等边三角形。令11OFc则有212FBa，所以21ace例 12：如图，在椭圆上有一点P ,在三角形21FPF中02130FPF，且2PF垂直于 X轴，求椭圆的离心率。解： 在21FPFRt中02130FPF， 设12PF，则有3,2211FFPF，23,3221cFFc，23, 321221aPFPFa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载题型三：定义的应用知识点：已知 抛物线)0
11、(22ppxy上有一点A),(00yx，则点 P到焦点的距离和到准线的距离相等。由图知：2/pxAAAFA归纳：当抛物线焦点在X 轴上时：2/pxAAAFA当抛物线焦点在Y轴上时：2/pyAAAFA焦点弦AB的长度：pxxpxpxBFAFABBABA22例 1：已知抛物线)0(22ppxy上一点 M), 3(m到焦点的距离为5，求抛物线标准方程及点 M 的坐标。解：由题意得抛物线开口向右，且42352pppxMFm所以抛物线方程为xy82将3x带入标准方程xy82得62y，所以点 M 的坐标为62,3或62,3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
12、- -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载例 2：过抛物线xy42的焦点做直线交抛物线于A，B 两点（1）若 A、B 的中点横坐标为3，求AB（2）若直线 AB的斜率为 2，求AB。解：因为pxxBFAFABBA由抛物线方程知抛物线开口向右且2p焦点0, 1，准线方程1x（1）由中点坐标公式得632BAxx所以826AB（2） 直线 AB为过点0, 1， 斜率为 2 的直线，则方程为)1(20 xy整理为：22xy将直线方程与抛物线方程联立方程组：xyxy4222得0132xx由根与系数关系式得3abxxBA，所以523AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页