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1、第六节 对数函数,1.对数的定义 (1)对数的定义 如果_，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 _，其中_叫做对数的底数，_叫做真数.,ax=N(a0且a1),x=logaN,a,N,(2)两种常见对数,10,lgN,lnN,e,【即时应用】 (1)若2x=5,则x=_,若log3x=2,则x=_. (2)将log23用常用对数表示为_；用自然对数表示为_. 答案：(1)log25 32 (2),2.对数的性质、换底公式与运算性质,0,1,N,logab= (a、c均大于零且不等于1，b0),logaM+logaN,logaM-logaN,【即时应用】 (1)若a0,a1,xy0,nN*,判断
2、下列各式的正误(请在括 号内填“”或“”). (logax)n=logaxn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),(2) ，则x=_. (3)计算 _.,【解析】(1)是错误的，如(log24)3=8log243=log226=6； 是正确的， =-logax-1=logax； 是错误的，如 是正确的， 是正确的，设 ,则(an)y=xn,即 ,y=logax,即 =logax.,(2)由 ,得 ,x= . (3)原式= =2+2=4. 答案：(1) (2) (3)4,3.对数函数的定义、图象与性质 (1)对数函数的定义 一般地，函数y= _(a0,且a1)叫做对数函数.,logax,(2
3、)对数函数的图象与性质,(0,+),R,0,(1,0),增函数,减函数,【即时应用】 (1)判断下列函数是否是对数函数(请在括号中填“是”或“否”). y=log2(x-1)( ) y=log2x+1( ) y=2log3x( ) y= ( ) y= ( ) y=lnx( ),(2)函数y=loga(x-1)+2(a0,a1)的图象恒过一定点是_. (3)设P=log23,Q=log32,R=log2(log32),则P、Q、R的大小关系为 _. (4)函数y=log2(3x+1)的值域为_.,【解析】(1)由对数函数的定义可知是对数函数. (2)依题意，当x=2时，函数y=loga(x-1)
4、+2(a0,a1)的值为2，所以其图象恒过定点(2,2). (3)P=log23log22=1, 即P1,0=log31Q=log32log33=1，即0Q1. 0log321,log2(log32)log21=0, 即R0,RQP.,(4)3x+11，函数y=log2x在(0,+)上单调递增, ylog21=0. 答案：(1)否 否 否 否 否 是 (2)(2，2) (3)RQP (4)(0,+),4.反函数 指数函数y=ax(a0且a1)与对数函数 _(a0且a1)互 为反函数，它们的图象关于直线_对称.,y=logax,y=x,【即时应用】 (1)思考：指数函数和对数函数互为反函数，它们
5、的定义域和值域有什么关系？ 提示：指数函数和对数函数互为反函数，它们的定义域和值域发生了交换，即原函数的定义域与反函数的值域相同，原函数的值域与反函数的定义域相同.,(2)设函数f(x)=log2x的反函数为y=g(x)，若g( )= ， 则a等于_. 【解析】由于f(x)=log2x的反函数为y=g(x)=2x，又g( )= , 即： = =2-2, =-2,解得：a= . 答案：,热点考向 1 对数的运算 【方法点睛】 对数式的化简与求值的常用思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数
6、的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 【提醒】在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化.,【例1】(1)计算： (2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n； (3)(2012三明模拟)已知函数f(x)= 求证：f(x1)+f(x2)= 若 =1,f(-b)= ，求f(a)的值.,【解题指南】(1)按对数式求值的常用思路进行计算；(2)将已知对数式化为指数式，并将a2m+n转化为(am)2an，从而计算求解；(3)根据对数运算性质，先从左到右证明，再根据此结论计算求值.,【规范解答】(1)原式= (2)loga2=m,am=2, 又lo
7、ga3=n,an=3, a2m+n=a2man=(am)2an=223=12.,(3)f(x1)+f(x2) f(x1)+f(x2)=,由的结论知f(a)+f(b)= =1, 又f(b)= = f(a)=1-f(b)=1+ = .,【互动探究】本例(2)中条件不变，求loga12的值. 【解析】loga2=m,loga3=n, loga12=loga4+loga3=2loga2+loga3=2m+n.,【反思感悟】1.在对数运算中，首先对底数、真数进行变形，然后再利用对数的运算性质进行化简，若出现不同的“底”，应利用换底公式换成相同的“底”. 2.在等比数列的计算中常涉及到对数的运算，要正确地
8、用好对数的相关知识进行计算.,【变式备选】(1)计算： (2)计算：(log32+log92)(log43+log83). (3)若数列an为各项均为正项的等比数列，且a12与a2 001为 一元二次方程x2+mx+8=0的两根，求： log2a1+log2a2+log2a2 012的值.,【解析】(1) = = =,(2)原式=,(3)由已知得a12a2 001=8，且由等比数列的性质得， a1a2a3a2 012=(a1a2 012)1 006 =(a12a2 001)1 006=81 006, 原式=log2(a1a2a3a2 012)= =1 0063=3 018.,热点考向 2 对数
9、函数的图象及其应用 【方法点睛】 用对数函数的图象可求解的问题的类型 (1)对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用图象数形结合求解. (2)一些不可解的对数型方程、不等式以及大小比较问题的求解,常转化为图象问题，利用数形结合法求解.,【例2】(2013厦门模拟)已知ab， 函数f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所 示，则函数g(x)=loga(x+b)的图象 可能为( ),【解题指南】先根据二次函数f(x)的图象判断a,b的取值范围，再根据a,b的取值范围及图象的平移法则识别g(x)的图象. 【规范解答】选B.由二次函
10、数的图象及ab知 01，g(x)=loga(x+b)是增函数，且是由y=logax的图象向左平移b个单位得到，故B正确.,【变式训练】(1)函数y=log2|x+1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_. 【解析】作出函数y=log2x的图象，将 其关于y轴对称得到函数y=log2|x|的图 象，再将图象向左平移1个单位长度就得 到函数y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知，函数y=log2|x+1|的递减区间为(-,-1),递增区间为(-1，+). 答案：(-,-1) (-1,+),(2)若不等式(x-1)2logax对于x(1,2)恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】设f1(x
11、)=(x-1)2,f2(x)=logax, 要使当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，只需f1(x)=(x-1)2在(1，2)上的图象在f2(x)=logax图象的下方即可.,当0a1时，显然不成立； 当a1时，如图， 要使f1(x)=(x-1)2在(1，2)上的图象在f2(x)=logax的图象下方，只需f1(2)f2(2), 即(2-1)2loga2,loga21, 1a2,即实数a的取值范围是(1，2.,热点考向 3 对数函数性质的应用 【方法点睛】 1.利用对数函数的性质比较对数值大小的方法 利用对数函数的性质，可直接比较同底数对数值的大小，而对于既不同底数，又不同真数
12、的对数值的比较，则引入中间量(如-1，0，1等)利用对数函数性质进行比较.,2.利用对数函数性质求解对数型函数性质问题的方法 利用对数函数的性质求与对数函数有关的对数型函数的定义域、值域(最值)和单调性、奇偶性问题,求解方法与一般函数这些性质的求解方法一致，但要注意三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.,【例3】(1)如果 那么( ) (A)yx1 (B)xy1 (C)1xy (D)1yx (2)函数y= 在区间2，4上的最小值是_.,(3)已知函数f(x)= 求函数f(x)的定义域； 若函数f(
13、x)的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性 和单调性.,【解题指南】(1)利用单调性求解； (2)利用换元法转化为二次函数最值求解； (3)利用真数大于0构建不等式，但要注意分类讨论，先由条件求出a的值，再讨论奇偶性和单调性.,【规范解答】(1)选D.因为y= 为(0,+)上的减函数， 所以xy1. (2)y= 令t= (2x4)， 则-1t- 且y=t2-t+5, 当t=- 时，ymin= + +5= . 答案：,(3) x-(3a-1)x-(-2a-1)0,所以， 当3a-1-2a-1,即a0时，定义域为(-,-2a-1)(3a-1, +)；当3a-1-2a-1,即a0时，定义域为(-
14、,3a-1) (-2a-1,+).,函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，当且仅当 -2a-1=-(3a-1)a=2,此时，f(x)= 对于定义域D=(-,-5)(5,+)内任意x,-xD, 所以f(x)为奇函数；,当x(5,+),对任意5x1x2, 有f(x1)-f(x2)= 而(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5) =10(x2-x1)0, 所以f(x1)-f(x2)0, f(x)在(5,+)内单调递减； 由于f(x)为奇函数，所以f(x)在(-,-5)内单调递减.,【互动探究】在本例(3)的条件下将f(x)的底数改为m(m0且m1)，求函数f(x)在10,15上的值域.,【解
15、析】由(3)求解得，当m1时,函数f(x)= 在(5，+)内单调递减，所以在10,15上亦单调递减，f(15)f(x)f(10). 即：logm2f(x)logm3,值域为logm2,logm3. 同理当0m1时，值域为logm3,logm2, 综上所述：当0m1时，值域为logm3,logm2. 当m1时，值域为logm2,logm3.,【反思感悟】在求解对数函数有关问题时，无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质都要注意以下几点： (1)要分清函数的底数a(0,1)，还是a(1,+)； (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行； (3)如果需将
16、函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.,【变式备选】是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间2,4上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由.,【解析】假设符合条件的实数a存在. 设g(x)=ax2-x， 当a1时，为使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间2,4上是增函数， 需g(x)=ax2-x在区间2,4上是增函数， 故应满足 ，即 ， 解得a ，,又a1，a1； 当01时，函数f(x)=loga(ax2-x)在区间2,4上是 增函数.,1.(2012安徽高考)log29log34=( ) (A) (B) (C)2 (D)4 【解析
17、】选D.log29log34= =4.,2.(2012龙岩模拟)函数f(x)=logax(a0，a1) 对任意的正实数x,y都有( ) (A)f(xy)=f(x)f(y) (B)f(xy)=f(x)+f(y) (C)f(x+y)=f(x)f(y) (D)f(x+y)=f(x)+f(y) 【解析】选B.f(xy)=loga(xy) =logax+logay=f(x)+f(y).,3.(2012福州模拟)设a=( )0.5,b=0.30.5,c=log0.30.2, 则a、b、c的大小关系是( ) (A)abc (B)abc (C)bac (D)acb 【解析】选C.由于1a=( )0.5b=0.30.5, 而c=log0.30.2log0.30.3=1,cab.,4.(2012北京高考)已知函数f(x)=lg x，若f(ab)=1，则f(a2)+f(b2)=_. 【解析】f(ab)=lg(ab)=1,ab=10, f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=lg(a2b2)=lg 100=2. 答案：2,