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1、34 矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵的行秩、列秩、秩一、矩阵的行秩、列秩、秩 定义定义 矩阵的行秩矩阵的行向量组的秩矩阵的行秩矩阵的行向量组的秩； 引理引理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 11 1122121 122221 1220000nnnnsssnna xa xa xa xa xa xa xa xa x （1 1） 的系数矩阵的系数矩阵 111212122212nnsssnaaaaaaAaaa的行秩的行秩 ，那么它有非零解（若（，那么它有非零解（若（1 1）只有零解，）只有零解，则则 ） rnrn定理定理4 4 矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的行秩矩阵的列秩 二、方阵的秩与行列式的关系二、方
2、阵的秩与行列式的关系 定理定理5 5 ， ()ijn nAa0( )AR An （ ， 也称为满秩矩阵）也称为满秩矩阵） 0A( )R AnA定义定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，记作记作 ( )R A推论推论1 齐次线性方程组齐次线性方程组 11 1122121 122221 122000nnnnsssnna xa xa xa xa xa xa xa xa x有非零解有非零解 系数矩阵系数矩阵 的行列式的行列式 =0=0 ( )ij n nAaA只有零解只有零解 0A推论推论2 2 n n个个n n维向量维向量 ，j=1,2,nj=1,2,n
3、),(21iniiiaaa线性无关线性无关 0ija线性相关线性相关 =0 =0 ija三、一般矩阵的秩与行列式的关系三、一般矩阵的秩与行列式的关系 k k级子式级子式：在一个：在一个sn矩阵中任意选定矩阵中任意选定k行行k列位于这些列位于这些行和列的交点上的行和列的交点上的 个元素按原来次序所组成的个元素按原来次序所组成的k级行列级行列式，称为式，称为k级子式级子式 2k2. 2. 矩阵的秩与行列式的关系矩阵的秩与行列式的关系 有一个有一个 级子式不为级子式不为0 0 rA rAR)(推论推论 的所有级的所有级 子式等于子式等于0 0 rAR)(1r A定理定理6 6 矩阵的秩为矩阵的秩为 中有一个中有一个 级子式不等于级子式不等于0 0，且，且所有级所有级 子式等于子式等于0 0 rA1r r推论推论 在秩为在秩为 的矩阵的矩阵 中，不为中，不为0的的 级子式所在级子式所在的行（列）正是的行（列）正是 的行（列）向量组的一个极大无关组的行（列）向量组的一个极大无关组rArA 四、矩阵秩的计算四、矩阵秩的计算 方法三：化方法三：化 为阶梯阵为阶梯阵 A方法二：方法二：( (定理法定理法) )利用定理利用定理6 6， 中最高阶非子式的阶数；中最高阶非子式的阶数； ( )R AA方法一：定义法：求方法一：定义法：求 的行（列）向量组的秩；的行（列）向量组的秩； A