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1、矩阵的秩求法现在学习的是第1页，共19页 定义定义2 2 在在 mn 矩阵矩阵 A 中任取中任取 k 行、行、k 列（列（k m,k n），位于这些行列交叉处的），位于这些行列交叉处的 k2 2 个元素，不改个元素，不改变它们在变它们在 A 中所处的位置次序而得到的中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，阶行列式，称为矩阵称为矩阵 A 的的 k 阶子式。阶子式。mn 矩阵矩阵A 的的 k 阶子式共有阶子式共有CmkCnk个。个。定义定义2 2 设在矩阵设在矩阵A 中有一个不等于中有一个不等于0 0的的 r 阶子式阶子式 D，且所有且所有 r+1+1 阶子式（如果有的话）全等于阶子式（如果有的话
2、）全等于0 0，那么，那么 D 称为称为矩阵矩阵A 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 r 称为矩阵称为矩阵 A 的的秩秩，记作，记作R(A)=r。规定零矩阵的秩等于。规定零矩阵的秩等于 0 0。现在学习的是第2页，共19页 （3）对于任何）对于任何mn 矩阵矩阵A，都有，都有唯一唯一确定的秩，且确定的秩，且R（A）min(m,n)；（4）若矩阵）若矩阵A 中有中有一一个个r1 阶子式阶子式不为零不为零，则，则 R（A）r1；若矩阵；若矩阵A 的的所有所有r1 1阶子式阶子式全等于零全等于零，则，则R（A）r1。（2 2）A 的转置矩阵的转置矩阵AT 的秩的秩R(AT)=R(A)；由定义
3、可知由定义可知:(1)(1)矩阵矩阵A 的的秩秩 R(A)就是就是 A 中不等于中不等于 0 0 的子式的子式的的最高阶数；最高阶数；(5)对于对于 n 阶阶可逆矩阵可逆矩阵A，有，有|A|0 R(A)=n A 的标准形为的标准形为 n 阶单位阵阶单位阵E可逆阵又称为可逆阵又称为满秩满秩矩阵。奇异阵又称为矩阵。奇异阵又称为降秩降秩矩阵。矩阵。现在学习的是第3页，共19页例例1求矩阵求矩阵A 和和B 的秩，其中的秩，其中.00000340005213023012,174532321 BA解解在在A 中，容易看出左上角一个中，容易看出左上角一个2阶子式阶子式,03221 A 的的 3 阶子式只有一
4、个阶子式只有一个|A|，经计算可知，经计算可知|A|=0，因此，因此R（A）=2。现在学习的是第4页，共19页B是一个阶梯形矩阵，其非零行有是一个阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，即知行，即知B 的所有的所有4 阶子式全为零，而阶子式全为零，而 3 阶子式阶子式,024400230312 因此因此R（B）=3。.00000340005213023012 B现在学习的是第5页，共19页 从本例可知，由矩阵从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求的秩的定义求秩秩，关键在于找，关键在于找 A 中不等于中不等于 0 的子式的最高阶数。的子式的最高阶数。一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻烦的。一般当行数
5、与列数都较高时，按定义求秩是很麻烦的。对于行阶梯形矩阵，显然对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的行数。它的秩就等于非零行的行数。因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，但，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？两个等价的矩阵的秩是否相等呢？现在学习的是第6页，共19页经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩也不变。次初等行变换矩阵的秩也不变。定理定理1 1 若若AB，则，则 R（A）=R（B）。）。定理定理1说明：矩阵经初等变换后其秩不变，因而把说明：矩阵经初等变换后其秩不变，因而
6、把矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非行阶梯形矩阵中非零行的行数即为所求矩阵的秩零行的行数即为所求矩阵的秩。这是求矩阵秩的一种常。这是求矩阵秩的一种常用方法。用方法。证明证明:略略注注1 1注注2 2现在学习的是第7页，共19页求矩阵求矩阵 13142781221124A的秩。的秩。解解 1314278112422121rrA 91009100910022124141312rrrrrr,00000091002212142423Brrrrrr 可见可见R（B）=2，所以所以R（A）=2。例例2现在学习的是第8页，共19页例例3,414613510216
7、32305023 A设设求矩阵求矩阵A的秩，并的秩，并求求A 的一个最高阶非零子式。的一个最高阶非零子式。解解先求先求A 的秩，为此对的秩，为此对A 作初等行变换变成行作初等行变换变成行阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：现在学习的是第9页，共19页,41461351021632305023 A 12812160117912011340414613214134241rrrrrrrr现在学习的是第10页，共19页 1281216011791201134041461 84000840001134041461432423rrrr现在学习的是第11页，共19页 84000840001134041461,00000
8、840001134041461334Brr 易见易见R（B）=R（A）=3。现在学习的是第12页，共19页再求再求A 的一个最高阶非零子式。的一个最高阶非零子式。因因R（A）=3，知，知A 的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为 3 阶。阶。A 的的 3 阶子式共有阶子式共有).(403534个个 CC要从要从 40 个子式中个子式中找出一个非零子式，是比较麻烦的。找出一个非零子式，是比较麻烦的。考察考察A 的行阶梯的行阶梯形矩阵，记形矩阵，记 ,54321aaaaaA 则矩阵则矩阵 4211,aaaA 的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为,000400140161 0000084000113404
9、1461B现在学习的是第13页，共19页,3)(1 AR因而因而1A故故中必有中必有 3 阶非零子式。阶非零子式。的的1A3 阶子式有阶子式有 4 个，在个，在1A中找一个中找一个 3 阶非零子式比在阶非零子式比在A 中找要方便得多。中找要方便得多。1A的前三行构成的子式的前三行构成的子式,016502623523 因此，这个式子便是因此，这个式子便是A 的一个最高阶非零子式。的一个最高阶非零子式。现在学习的是第14页，共19页注：注：A 的最高阶非零子式不一定唯一。事实上，的最高阶非零子式不一定唯一。事实上，从上例中还可以找到很多非零的从上例中还可以找到很多非零的 3 阶子式。阶子式。由矩阵
10、的秩的定义，可以进一步得到如下结论：由矩阵的秩的定义，可以进一步得到如下结论：设矩阵设矩阵A 中有一个中有一个 r 阶子式阶子式,0 rD而所有包含而所有包含的的rDr+1 阶子式（如果有的话）全为阶子式（如果有的话）全为 0，则，则A 中所有中所有r+1阶子式全为阶子式全为 0，从而，从而R（A）=r。利用该结论可计算矩阵的秩，且所需计算的利用该结论可计算矩阵的秩，且所需计算的 r+1阶子式数从阶子式数从11 rnrmCC个减少到这里的个减少到这里的)()(rnrm 个。个。现在学习的是第15页，共19页Ex1.,31302140111512012211 A设设求矩阵求矩阵A 的秩，并求的秩
11、，并求A 的一个最高阶非零子式。的一个最高阶非零子式。现在学习的是第16页，共19页解解先求先求A 的秩，对的秩，对A 作初等行变换化为行阶梯形：作初等行变换化为行阶梯形：31302140111512012211A 000002220015120122112241413rrrrrr故故R（A）=3。现在学习的是第17页，共19页再求再求A 的一个最高阶非零子式。的一个最高阶非零子式。因因R（A）=3，知，知A 的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为 3 阶，阶，),(54321aaaaaA 记记由由A 的行阶梯形矩阵可的行阶梯形矩阵可知，在矩阵知，在矩阵),(321aaa),(),(521421aaaaaa或或或或中可中可找到找到 3 阶非零子式。阶非零子式。不妨在不妨在),(321aaa中找，记中找，记B=),(321aaa则则B 的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为现在学习的是第18页，共19页.000200120211 可见可见R（B）=3，故，故B 中必有中必有 3 阶非零子式，而阶非零子式，而B 的的 3 阶子式有阶子式有 4 个，个，易计算易计算B 的前三行构成的子式的前三行构成的子式因此这个子式便是因此这个子式便是A 的一个最高阶子式。的一个最高阶子式。,04011120211 现在学习的是第19页，共19页