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1、一、矩阵的行秩、列秩、秩一、矩阵的行秩、列秩、秩 二、矩阵的秩的有关结论二、矩阵的秩的有关结论 三、矩阵秩的计算三、矩阵秩的计算 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩一、矩阵的行秩、列秩、秩一、矩阵的行秩、列秩、秩 定义定义的秩称为矩阵的秩称为矩阵 A 的的行秩行秩；则矩阵则矩阵 A 的行向量组的行向量组的秩的秩称为称为矩阵矩阵 A 的的列秩列秩.矩阵矩阵 A 的列向量组的列向量组设设 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩引理引理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组（1）的系数矩阵的系数矩阵的行秩的行秩 ，那么它有非零解，那么它有非零解（若（若(1)只有零解，则只有零
2、解，则 ）3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩证：证：的秩为的秩为r，设矩阵设矩阵 A 的行向量组的行向量组且不妨设为其一个极大无关组且不妨设为其一个极大无关组.于是方程组于是方程组(1)与方程组与方程组(1)是同解的是同解的.（1）所以所以(1)有非零解，从而有非零解，从而(1)有非零解有非零解.在在(1)中中由于向量组与向量组等价，由于向量组与向量组等价，3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩定理定理4 矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的行秩矩阵的列秩 证明：设证明：设 ，A的行秩的行秩r，A的列秩的列秩r1，下证下证 先证先证 则向量组则向量组 的秩为的秩为r，不妨设不妨设
3、 是它的一个极大无关组，是它的一个极大无关组，于是于是 线性无关，线性无关，设设A的行向量组为的行向量组为 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩即即（2）只有零解只有零解.只有零解只有零解.所以方程组所以方程组由引理，方程组由引理，方程组（2）的系数矩阵的系数矩阵（未知量的个数）（未知量的个数）.的行秩的行秩 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩是是r个线性无关的行向量，个线性无关的行向量，中一定可以找到中一定可以找到 r 个线性无关的向量个线性无关的向量.从而在矩阵从而在矩阵 的行向量组的行向量组不妨设不妨设则该向量组的延伸组则该向量组的延伸组于是矩阵于是矩阵A的列秩
4、的列秩 同理可证同理可证 .所以所以 也线性无关也线性无关A的列向量的列向量 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩矩阵的秩，记作记作秩秩A 或或 、定义定义注注 设，则设，则若则称若则称A为为行満秩的行満秩的；若则称若则称A为为列満秩的列満秩的.若，则若，则 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩二、矩阵秩的有关结论二、矩阵秩的有关结论定理定理5 设设，则则(降秩矩阵降秩矩阵)(满秩矩阵满秩矩阵)3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩证：证：若若 n 1，则则A只有一个一维行向量只有一个一维行向量0
5、，的的 n 个行向量线性相关个行向量线性相关.从而从而A0，若若 n 1，则则A的行向量中至少有一个能由其余的行向量中至少有一个能由其余行向量线性表出，行向量线性表出，依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0.从而在行列式从而在行列式 中，用这一行中，用这一行 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩若若 n 1，由知，由知，对对 n 作数学归纳法作数学归纳法.A0，从而从而假若对假若对 n1 级矩阵结论成立，下证级矩阵结论成立，下证 n 级的情形级的情形.设设，为为A的行向量的行向量.考察考察A的第一列元素的第一列元素:若它们全为零，则若
6、它们全为零，则若它们有一个元素不为零，若它们有一个元素不为零，不妨设不妨设则则 的第的第2至至 n 行减去第行减去第1行的适当倍数后可为行的适当倍数后可为 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩其中其中由知，由知，由归纳假设，矩阵的秩由归纳假设，矩阵的秩n1，3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩从而向量组从而向量组线性相关，线性相关，故在不全为零的数使故在不全为零的数使改写一下，有改写一下，有线性相关线性相关不全为零的不全为零的n个数个数 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩推论推论1齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解 系数矩阵系数矩阵 的行列式的行
7、列式 =0只有零解只有零解 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩线性相关线性相关行列式行列式线性无关线性无关行列式行列式n 个个 n 维向量维向量推论推论2 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩定义定义k 级子式级子式在一个在一个 sn 矩阵矩阵 A 中任意选定中任意选定 k 行行 k 列列个元素按原来次序个元素按原来次序所所组成的组成的 k 级行列式，称为矩阵级行列式，称为矩阵位于这些行和列的交点上的位于这些行和列的交点上的A的一个的一个k级子式级子式 注注矩阵矩阵 A 的的 k 级子式共有个级子式共有个.3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩有一个有一个
8、级子式不为级子式不为0.个个 级子式级子式不等于不等于0，且所有，且所有 级子式等于级子式等于0定理定理6 矩阵矩阵 的秩为的秩为 的充要条件是中有一的充要条件是中有一注注 的所有的所有 级子式等于级子式等于0；若若 则则 的不为的不为0的级子式所在行的级子式所在行(列列)就是就是A行行(列列)向量组的一个极大无关组向量组的一个极大无关组.3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩则则A的任意个行向量的任意个行向量由定理由定理5的推论的推论2，证：证：设设都线性相关，都线性相关，从而从而A的任意级子式的行向量也的任意级子式的行向量也线性相关线性相关.A的级子式全为的级子式全为0.下证下证
9、A至少有一个级子式不为至少有一个级子式不为0.设设因为因为所以所以A有个行向量线性无关，有个行向量线性无关，不妨设不妨设A的前个行向量线性无关，的前个行向量线性无关，作矩阵作矩阵 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩则行列式则行列式显然显然 的行秩为，的行秩为，从而从而 的列秩也为，的列秩也为，不妨设在不妨设在 中前列线性无关，中前列线性无关，此即此即 A 的一个的一个 级非零子式级非零子式.若若 A 的所有的所有 级子式全为级子式全为 0，所有级数大于的子式全为所有级数大于的子式全为 0.则则 A 的的设设由必要性由必要性,不可能有不可能有 否则否则A的的 级子式全为级子式全为0
10、.同样同样,不可能有不可能有 否则否则A有有 级子式不为级子式不为0.3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩三、矩阵秩的计算三、矩阵秩的计算方法一方法一按定义求出按定义求出A的行的行(列列)向量组的秩向量组的秩.级数级数.方法二方法二利用定理利用定理6，等于等于 中非零子式的最大中非零子式的最大例例1求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩 3.4 3.4 矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩矩阵的秩方法三方法三用初等变换化用初等变换化 A 为阶梯阵为阶梯阵 J，等于等于中非零行的行数中非零行的行数.原理：原理：初等变换不改变矩阵的秩；初等变换不改变矩阵的秩；阶梯阵的秩等于其中非零行的行数阶梯阵的秩等于其中非零行的行数 例例2求矩阵求矩阵A的秩的秩