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1、3.4 矩阵的秩,3.4.1 行秩、列秩、矩阵的秩,3.4.2 秩的性质及求法,3.4.3 矩阵的秩与行列式的关系,把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成（行向量组）， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成（列向量组）。,3.4 .1 行秩、列秩、矩阵的秩,定义：矩阵的行向量组的秩，就称为矩阵的行秩(row rank)；矩阵的列向量组的秩，就称为矩阵的列秩(column rank)。,例如：矩阵,的行向量组是,列向量组是,因为，由,即,可知,线性相关。,所以矩阵A的行秩为3。,矩阵A的列向量组是,而,所以矩阵A的列秩是3。,问题：矩阵的行秩 矩阵的列秩
2、,定理：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列）,定理：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行）,推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。,定理：矩阵的行秩矩阵的列秩,证：任何矩阵A都可经过初等变换变为,形式，,而它的行秩为r，列秩也为r。,又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，,所以，A的行秩rA的列秩,定义：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。,记为r(A),或rankA，或秩A。,推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。,例 求下列矩阵的秩,解:经过初等变换,注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等变换把它变为标准形式,3.4 .2 秩的性质及求法,矩阵秩的更一般的求法
3、,行阶梯形矩阵：,例如：,特点：,(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,行最简形矩阵：,在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。,例如：,注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。,解:,求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,r(A)=B的非零行的行数,（3）求出B的列向量组的极大无关组,（4）A
4、中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的 列向量组即为A的极大无关组。,求向量组的秩及极大无关组的方法：,解：,又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组，,考虑：是否还有其他的极大无关组？,与,解：设,则B的1，2列为极大无关组，且,矩阵秩的性质,推论 等价的矩阵，秩相同。,推论 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。,定理 矩阵的秩满足,当AB=0时，有,推论:,3.4.3 矩阵的秩与行列式的关系,例,解,例,解：,例,解,计算A的3阶子式，,另解,显然，非零行的行数为2，,此法简单！,小结,(2)初等变换法,1. 矩阵秩的概念,2. 求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,思考题,思考题解答,答,相等.,由此可知,