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1、 - 26 - 高中数学知识点整理 首先要讨论最高次项系数a是否为 0，其次若0a ，才考虑判别式. （4）一元二次方程根的分布理论： 方程2( )0(0)f xaxbxca在),(k上有两根、在( , )m n上有两根、 在),(k和),(k上各有一根的充要条件分别是什么？ （考虑判别式、对称轴、端点函数值、有时也考虑韦达定理） （答案依次为：0( )02f kbka ，0( )0( )02f mf nbmna ，( )0f k ）. 根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间,nm讨论方程0)(xf有实数解的情况， 可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况， 得出结果， 再令nx 和mx
2、 检查端点的情况有时候为了控制参数的取值范围，我们也可以先把端点的值代入，看是否可以减少讨论. （5）不等式解区间的端点往往就是相应方程的根或与函数的定义域相关. （6）简单的一元高次不等式的解法：数轴标根法 （7）简单的分式不等式： 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用数轴标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母. 6. 不等式恒成立问题的常规处理方式： 常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用函数的性质，数形结合. 第八部分 直线和圆
3、 1、直线方程 （1）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其 y (a0) O k x1 x2 x - 27 - 高中数学知识点整理 倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是 0180 (0). 注：当90或12xx 时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在 （在设直线方程时优先考虑）. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜 率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一 定时，其倾斜角也对应确定.在(0,)2上斜率为正，在(, )2上斜率为负，且分别随倾斜角的增大而增大（图示）. 斜率的常用计算方法
4、：1212tanyyAkxxB . （2）直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、截距式、一般式. 点斜式：经过点00(,)xy且斜率为 k 的直线方程为00()yyk xx， 特别地，当直线经过原点(0, )b时，直线方程是ykxb，称为斜截式. 两点式：经过两点11(,)x y和22(,)xy的直线方程为 121121xxxxyyyy),(1212yyxx 特别地，当直线经过两点), 0(),0 ,(ba，即直线在 x 轴，y 轴上的截距分别为)0, 0(,baba时，直线方程是1byax，称为截距式. 注：)0(232xxy表示直线的一部分（射线） ，并不表示一条直线. 对于直线的斜
5、截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的 直线，如果bk,变化时，对应的直线也会变化. 当 b 为定植，k 变化时，表示的直线 过定点（0，b）. 这是证明直线过定点的常用方法. （3）对于两条直线111111:,0,lyk xb AxB yC 222222:,0,lyk xb A xB yC 则1l212lkk且12bb. 122121121221,00A BA BA CACBCB C而或. 1212121210.llk kA AB B （4）点到直线的距离： - 28 - 高中数学知识点整理 两点11( ,)A x y和22(,)B xy之间的距离221212|()()
6、 ;ABxxyy 点),(00yxP到直线:0l AxByC的距离为2200BACByAxd. 两条平行线间的距离公式： 设两条平行直线)(0:, 0:212211CCCByAxlCByAxl， 它们之间的距离2221BACCd.（一定先将 x、y 化为同系数） （5）关于点对称和关于某直线对称： 会求点00(,)xy关于直线: l ykxb对称的点的坐标：用中点表示两对称点， 则中点在对称直线上（方程） ，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直 （方程）可解得所求对称点. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线
7、必过两条直线的交点，且对称直线平分两直线形成的角. 2、圆的方程 （1）圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx. 与 x 轴相切的圆方程222)()(bbyax ,),(),(,bababr或圆心 与y轴相切的圆方程222)()(abyax ,),(),(,babaar或圆心 与 x 轴y轴都相切的圆方程222)()(aayax,),(,aaar圆心 （2）圆的一般方程：022FEyDxyx . 当2240DEF时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. 当0422
8、FED时，方程表示一个点2,2ED. 当2240DEF时，方程无图形（称虚圆）. 注：1122(,),(,)A x yB xy，以线段 AB 为直径的圆的方程：1212()()()()0 xxxxyyyy. （3）点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()( :rbyaxC. M在圆C内22200()()xaybr M在圆C上22200)()xaybr（ M在圆C外22200()()xaybr - 29 - 高中数学知识点整理 （4）直线和圆的位置关系： 设圆C：222()()(0)xaybrr.直线l：)0(022BACByAx. 圆心),(baC到直线l的距离22BACBbA
9、ad. 注意: 两圆相交时公共弦方程：设221111222222:0:0CxyD xE yFCxyD xE yF 则其公共弦所在的直线方程为0)()()(212121FFyEExDD. 直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r， 则弦长 22|ABrd. 常用垂径定理,构造 Rt解决弦长问题 （5）圆的切线方程： 若点(x0, y0)不在圆上，则设切线方程为00()yyk xx，由圆心(a,b)到直 线的距离等于 r，得002()()1k axbyrk求出 k 的值，进一步求切线方程. 注意：过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直 x 轴. 第九部分 圆锥曲线 1.
10、圆锥曲线的定义： （1）椭圆、双曲线定义中要重视“括号”内的限制条件： 椭圆中，与两个定点1F，2F的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于 21FF，等于21FF时，轨迹是线段21FF；小于21FF时，无轨迹； 双曲线中，与两定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定 要小于21FF，定义中的“绝对值”与“2a21FF”均不可忽视 若2a21FF，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线； 若2a21FF，则轨迹不存在 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 如: 已知定点) 0 , 3(),0 , 3(21FF ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆
11、的是 A421 PFPF B621 PFPF C1021 PFPF D122221 PFPF（答：C） rd 时，l与C相切. dr时，l与C相交. dr时，l与C相离. - 30 - 高中数学知识点整理 方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_（答：双曲线的左支） （2）抛物线定义中，注意定点不在直线上，动点到定点距离与到定直线距离相等 如：已知点)0 ,22(Q及抛物线42xy 上一动点 P（x,y）, 则 y+|PQ|的最小值是_（答：2） 2. 圆锥曲线的标准方程（指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴的情形） ： （1） 椭圆： 焦点在x轴上时12222byax（0ab）cos
12、sinxayb（其中为参数） ， 焦点在y轴上时2222bxay1（0ab）. 方程221AxBy 表示椭圆的充要条件是什么？(答：0,0,ABAB) 如: 已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为_. （答：11( 3,)(,2)22） ； 若Ryx,，且62322 yx，则yx的最大值是_， 22yx 的最小值是_.（答：5,2） （2）双曲线：焦点在x轴上：2222byax =1（0,0ab） ， 焦点在y轴上：2222bxay1（0,0ab） 方程221AxBy表示双曲线的充要条件是什么？（答：0AB ） 如： 双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点， 则
13、该双曲线的方程_（答：2214xy） ； 设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C过点)10, 4 ( P，则C的方程为_（答：226xy） （3）抛物线：开口向右时22(0)ypx p；开口向左时22(0)ypx p ； 开口向上时22(0)xpy p；开口向下时22(0)xpy p - 31 - 高中数学知识点整理 注意：抛物线2yax的焦点坐标为14a(0, ). 3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断） ： （1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上 如：已知方程12122mymx表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则m的取值
14、范围是_（答：)23, 1 () 1,(） （2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向 特别提醒： （1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点1F，2F的位置，是椭圆、 双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 , a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物 线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以12222byax（0ab）
15、为例） ： 范围：,axabyb ； 焦点：两个焦点(,0)c； 对称性： 两条对称轴0,0 xy， 一个对称中心 （0,0） ， 四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为 2a，短轴长为 2b； 离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁 （2）双曲线（以22221xyab（0,0ab）为例） ： 范围：xa 或,xa yR； 焦点：两个焦点(,0)c； 对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0） ，两个顶点(,0)a， 其中实轴长为 2a，虚轴长为 2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0 xyk k； - 32 - 高
16、中数学知识点整理 离心率：cea，双曲线1e ，等轴双曲线2e ； e越小，开口越小，e越大，开口越大； 两条渐近线：byxa 如： （a）双曲线的渐近线方程是023 yx，则该双曲线的离心率等于_ （答：132或133） ； （b）双曲线221axby的离心率为5，则:a b= （答：4 或14） （c）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率 e2,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_（答：,3 2 ） ； （3）抛物线（以22(0)ypx p为例） ： 范围：0,xyR； 焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离； 对称性：一条对称轴0y ，没有对称中心，
17、只有一个顶点（0,0） ； 准线：一条准线2px ； 离心率：cea，抛物线1e . 如:设Raa , 0，则抛物线24axy 的焦点坐标为_（答：)161, 0(a） ； 5. 点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系： （1）点00(,)P xy 在椭圆外2200221xyab； （2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax1； （3）点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab 6直线与圆锥曲线的位置关系： - 33 - 高中数学知识点整理 （1）相交：0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0 ， 当直线与双曲线的渐近线
18、平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点， 故0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0 ， 当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点， 故0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件 如:若直线2 kxy与双曲线622 yx的右支有两个不同的交点， 则k的取值范围是_（答：(-315,-1)） ； 直线01 kxy与椭圆2215xym恒有公共点， 则m的取值范围是_（答：1，5）（5，+） ） ； 过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B两点， 若AB4，则这样的直线有_条（答：3） ； （2）相
19、切：0 直线与椭圆相切； 0 直线与双曲线相切； 0 直线与抛物线相切； （3）相离：0 直线与椭圆相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直线与抛物线相离 特别提醒： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； （2）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线 - 34 - 高中数学知识点整理 如：过点)4 , 2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点， 这样的直线有_（答：2） ； 7焦点三角
20、形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 设椭圆或双曲线上的一点00(,)P xy 两焦点12,F F的距离分别为12,r r， 焦点12FPF的面积为S，则在椭圆12222byax中，2tan2Sb； 对于双曲线22221xyab的焦点三角形有：2cotsin21221brrS. 8弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B， 且12,x x分别为A、B的横坐标，则AB2121kxx， 若12,y y分别为A、B的纵坐标，则AB21211yyk， 若弦AB所在直线方程设为xtyb，则AB2121tyy 特别地，焦点弦（过焦点的弦） ：
21、焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式 计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解 如: 过抛物线xy42的焦点作直线交抛物线于),(11yxA，),(22yxB两点，若621 xx，那么AB等于_（答：8） ； 过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知AB=10，O 为坐标原点，则ABC重心的横坐标为_（答：3） ； 9圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解 在椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb； 在双曲线22221xyab中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=02
22、02yaxb； 在抛物线22(0)ypx p中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0py 如: 如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 - 35 - 高中数学知识点整理 （答：280 xy） ； 已知直线 y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点， 且线段AB的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：22） ； 试确定 m 的取值范围， 使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy 4对称（答：2 13 2 13,1313） ； 特别提醒：因为0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件， 故在求解有关
23、弦长、对称问题时，务必别忘了检验0 ！ 10你了解下列结论吗？ （1）双曲线12222byax的渐近线方程为02222byax； （2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，0） 如：与双曲线116922yx有共同的渐近线，且过点) 32 , 3(的 双曲线方程为_（答：224194xy） （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba， 抛物线的通径为2p，焦准距为p； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线22(0)
24、ypx p的焦点弦为 AB，1122( ,),(,)A x yB xy，则12|ABxxp； 221212,4px xy yp （7）若OA、OB是过抛物线22(0)ypx p顶点O的两条互相垂直的弦， 则直线AB恒经过定点(2 ,0)p - 36 - 高中数学知识点整理 11动点轨迹方程 ： （1）求轨迹方程的步骤 ：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接利用条件建立, x y之间的关系( , )0F x y ； 如：已知动点P到定点 F(1,0)和直线3x的距离之和等于 4， 求P的轨迹方程 （答：212(4)(34)yxx 或24 (03)yx
25、x）； 待定系数法： 已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数 如：线段AB过x轴正半轴上一点)0 ,(mM )0(m，端点A、B到x 轴距离之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 .（答：22yx） ； 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如： (a)由动点P向圆221xy作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=600，则动点 P 的轨迹方程为 . （答：224xy）； (b)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线05xl：的距离小于 1， 则点
26、 M 的轨迹方程是_ （答：216yx）； (c) 一动圆与两圆M：122 yx和N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）； 代入转移法：动点( , )P x y依赖于另一动点00(,)Q xy的变化而变化，并且00(,)Q xy又在某已知曲线上，则可先用, x y的代数式表示00,xy，再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程； 如： （a）AB是圆O的直径，且aAB2，M为圆上一动点，作ABMN ， 垂足为N，在OM上取点P，使| |OPMN，求点P的轨迹 （答：22|xya y）； - 37 - 高中数学知识点整理 （b） 若点),(11yxP在圆122
27、yx上运动， 则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是_ （答：2121(|)2yxx）； （c）过抛物线yx42的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的 中点M的轨迹方程是_ （答：222xy）； 注意：轨迹方程中变量的取值范围. 12解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）给出直线的方向向量ku, 1或nmu,； （2）给出OBOA与AB相交,等于已知OBOA过AB的中点; （3）给出0 PNPM,等于已知P是MN的中点; （4）给出BQBPAQAP,等于已知QP,与AB的中点三点共线; （5）给出以下情形之一： ACAB/； 存在实数,ABAC使； 若存在实数,1,OCO
28、AOB 且使, 等于已知CBA,三点共线. （6）给出0MBMA,等于已知MBMA ,即AMB是直角； 给出0mMBMA,等于已知AMB是钝角,； 给出0mMBMA,等于已知AMB是锐角, （7）在平行四边形ABCD中，给出0)()(ADABADAB， 等于已知ABCD是菱形; （8）在平行四边形ABCD中，给出| |ABADABAD，等于已知ABCD是矩形; （9）在ABC中，给出222OCOBOA，等于已知O是ABC的外心 （三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点） ； （10）在ABC中，给出0OCOBOA，等于已知O是ABC的重心 （三角形的重心是三角形三条中线的
29、交点）； （11）在ABC中，给出OAOCOCOBOBOA，等于已知O是ABC 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点） ； - 38 - 高中数学知识点整理 （12）在ABC中，给出 OAOP()|ABACABAC)(R等于已知AP通过ABC的内心； （13）在ABC中，给出12ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线; 第十部分 立体几何 1. 平面的基本性质： （1）公理 1：一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内这是判断直线在平面内的常用方法 （2）公理 2：如果两个平面有一个公共点，它们有无数个公共点，而且这无数个公共点都在同一条直线上这是判断几
30、点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一 （3）公理 3：经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面 推论 1：经过直线和直线外一点有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面 推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面 公理 3 和三个推论是确定平面的依据 （4）能够用斜二测法作图（平行还平行，横等纵变半） （5）三视图：长对正、宽平齐、高相等 2. 空间两条直线的位置关系： 平行、相交、异面（不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线） ； （1）公理 4：平行于同一直线的两直线平行（平行线的传递性） ； 等角定理： ； （2）异面直线所成的角： 范围：(0,2（=2为异面垂直） ； 求法：计算异面直线所成角的关键是平移，转化为相交两直线的夹角； 或者用向量的方法计算但运用向量方法时，最后的结论一定要注意到角的范围，并回归到直线所成角 （3）证明两条直线是异面直线： 反证法； 异面直线的判定（连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过