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1、 - 8 - 高中数学知识点整理 性、周期性）等重要知识； 同时关注函数知识的应用，突出函数与方程的思想、数形结合的思想 例 1：对于函数: 1( )45f xxx，21( )log( )2xf xx，( )cos(2)cosf xxx， 判断如下两个命题的真假： 命题甲：( )f x在区间(1,2)上是增函数； 命题乙：( )f x在区间(0,)上恰有两个零点12,x x，且121x x . 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（ D ） （A） （B） （C） （D） 例 2：如图，动点P在正方体1111ABCDABC D的对角线1BD上过点P作垂直于平面 11BB D D的直线，与正方体表
2、面相交于MN， （1）设BPx，MNy，则函数( )yf x的图象大致是（ B ） （2）设BPx，四边形面积1D MBNSy，则函数( )yf x的图象大致是（ B ） 例 3：已知函数2,1,( )1,1,xax xf xaxx若1212,x xxxR，使得12()()f xf x成立， 则实数a的取值范围是( A ) （A）2a （B）2a （C）22a （D）2a或2a 第三部分 导数 1. 导数的背景：瞬时速度与瞬时变化率（平均变化率的极限） A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A O y x B O y x C O y x D O - 9 - 高中数学知识点
3、整理 2. 导数的几何意义：函数( )f x在点0 x处的导数 0fx的几何意义，就是曲线( )f x在点 0,0P x f x处的切线的斜率， 即曲线( )yf x在点 0,0P x f x 处的切线的斜率是 0fx，相应的切线方程是 000yyfxxx 特别提醒 ： （1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线， 还是过某点的切线： 曲线上某点处的切线只有一条， 而过某点的切线不 一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条； （2）在求过某一点00(,)xy的切线方程时，要首先判断该点是否是切点，若是切点，则切线方程为 000yyfxxx；若不是切点，则需设切点坐
4、标为11(,)x y，再利用切线斜率(01101()yyfxxx)和切点在曲线上(11()yf x)两个条件列方程进行求解 3. 导数的运算法则，常见函数的导数： （1） 1nnxnxnQ ， 特别注意： 1122111,2xxxxxx ； （2）sincosxx，cossinxx ，1loglnaxxa，1lnxx， lnxxaaa， xxee； （3）若( ), ( )f x g x有导数，则 ( )( )( )( )f xg xfxg x； )()(xfCxCf； f x g xfx g xf x gx； 2f xfx g xf x gxg xg x （4） （理科）特别注意复合函数的导
5、数， 如cos 22sin 233xx ， xxee . 4. 函数的单调性： （1）若( )0fx,则( )f x为增函数？（不正确，如 1f xx ） ，正确的说法应该是若( )0fx对,xa b恒成立，则( )f x在, a b上为增函数； - 10 - 高中数学知识点整理 （2）若函数( )yf x在区间（, a b）上单调递增，则( )0fx恒成立，反之等号不成立；若函数( )yf x在区间（, a b）上单调递减，则( )0fx，反之等号不成立 5. 函数的极值： （1）定义：设函数( )f x在点0 x附近有定义，如果对0 x附近所有的点，都有 0( )()f xf x，就说是0
6、()f x函数( )f x的一个极大值 记作y极大值0()f x，如果对0 x附近所有的点，都有0( )()f xf x， 就说0()f x是函数( )f x的一个极小值记作y极小值0()f x 极大值和极小值统称为极值，0 x称为函数( )f x的极值点 （2）求函数( )yf x在某个区间上的极值的步骤： （）求导数( )fx； （）求方程( )0fx的根0 x； （）列表，检查( )fx在0 x两侧的符号：“左正右负”( )f x在0 x处取极大值；“左负右正”( )f x在0 x处取极小值 特别提醒： （i）当函数可导时，0 x是极值点 0 x是( )0fx的变号零点， 而不仅是 0f
7、x0； （ii）已知0 x是函数 f x的极大(小)值点，一定既要考虑0()0fx， 又要考虑检验 fx在0 x两侧“左正右负”(或“左负右正”)的变化， 否则条件没有用完，可能出现增根，这一点一定要切记！ 6. 函数的最大值和最小值： （1）定义：函数( )f x在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极大值与其端点函数值中的“最大值”；函数( )f x在一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极小值与其端点值中的“最小值” （2）求函数( )yf x在, a b上的最大（小）值的步骤： 求函数( )yf x在（, a b）内的极值（极大值或极小值） ； 将( )yf x的各极值与( )f a
8、，( )f b比较，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值 特别注意： （1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！ （2）要善于应用函数的导数，甚至先构造函数再求导，考察函数单调性、最值(极值)， - 11 - 高中数学知识点整理 研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题 7. 高考试题中导数考查的基本类型： 研究曲线的切线方程； 讨论函数的单调性（重点） ； 求函数的极值、最值（重点） ； 不等式恒成立，求参数范围（难点） ； 已知函数在某个区间上是单调的，求参数范围（难点）. 利用导数解题的基本思路（格式） ： 先写出定义域，关注参数范围，准确求导是基础，求
9、单调区间与极值-列表更清楚，分类讨论要全面，前后设问有联系，解题过程草图相伴 例 1：(切线问题：抓住点在曲线上，点在切线上，切点的导数值为切线的斜率三个要点) 已知：函数2(1)( )a xf xx，其中0a .若直线10 xy 是曲线( )yf x的切线， 求：实数a的值. 解：3(2)( )axfxx， （0 x ） ，设切点坐标为00(,)xy， 则002000030(1)10(2)1a xyxxyaxx 解得01x ，1a . 例 2： （极值问题注意检验） 已知函数 f(x)x3+ax2+bxa2在 x1 处有极值为 10，求 a，b 的值答：411ab 第四部分 三角 1. 角的概念的推广：正角、负角、零角. (在弧度制下，角为任意实数) 2. 终边相同的角的表示：注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.