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1、 - 1 - 高中数学知识点整理 第一部分 集合与常用逻辑用语 1、集合的含义与表示 （1）集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集） 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员） 不含任何元素的集合叫空集 元素a属于集合A记作aA，元素 a 不属于集合A记作aA （2）集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性. （3）集合的分类：有限集、无限集 特殊的集合有：空集，自然数集 N，正整数集 N*（或 N+） ，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R，复数集 C （4）集合的表示：列举法 , , a b c；特征性质描述法|( )xI p
2、 x （5）几个特殊的集合：(x，y)|xy =0，xR，yR坐标轴上的点集. (x，y)|xy0，xR，yR二、四象限的点集. (x，y)|xy0，xR，yR 一、三象限的点集. 注：方程组的解的集合是点集. 例：方程组1323yxyx的解的集合是(2，1). 点集与数集的交集是. 例：A =(x，y)| y =x+1,B=y|y =x2+1,则 AB = 2、集合间的基本关系 （1）子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A就叫做集合B的 子集，记作BA或BA 如果集合 A 中存在着不是集合B的元素，则集合A不包含于B，记作BA或 （2）真子集：如果集合A是集合B的子集，
3、并且B中至少有一个元素不属于A，那么集 合A叫做集合B的真子集，记作 或 （3）维恩图：我们通常用一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图 （4）集合的相等：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来， 集合B的每一个元素也都是集合A的元素，则称集合 A与集合B相等，记作A=B （5）相关性质：任何一个集合是它本身的子集，记作：AA ； 空集是任何集合的子集，记作：A； 空集是任何非空集合的真子集； BAABBA B A - 2 - 高中数学知识点整理 如果BA，同时AB ，那么A=B. 如果BA，CB ，那么CA. n 个元素的子集有 2n个. 真子集有 2n 1 个. 非
4、空真子集有 2n2 个. 3、集合的基本运算 （1）交集：由既属于A又属于B的元素构成的集合，叫做A、B的交集，记作AB， 即有 |ABx xAxB （2） 并集： 把集合A、B中所有元素并在一起构成的集合， 叫做A、B的并集， 记作AB， 即有 |ABx xAxB （3）全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用 U 表示 （4） 补集：如果A是全集 U 的一个子集， 由 U 中不属于A的所有元素构成的集合， 叫做A在 U 中的补集，记作UC A，即有 |UC Ax xAxU （5）运算性质： ABBA，AAA，AA ，A
5、BABA； ABBA，AAA，AAA ，ABABB； UAC AU，UAC A ，()UUCC AA *De Morgan 公式：()UUUC AC BCAB ()UUUC AC BCAB 注: Z= 整数（） Z =全体整数 （） 已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（） （例：S N；A N，则0ACS） 空集的补集是全集. 若集合 A=B，则ACB，BCA，SBCCAS)( （ 注 ：BCA） . 4、常用逻辑用语 （1）命题：能判断真假的语句叫做命题，常用小写英文字母表示 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题 （2） 量词与命题： 短语“所有”在陈述中表示所述事物的
6、全体， 逻辑中通常叫做全称量词， 用符号表示； 含有全称量词的命题叫全称命题，用符号简记为：, ( )xM p x - 3 - 高中数学知识点整理 短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”、“存在”在陈述中表示所述事物的 个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，用符号表示； 含有存在量词的命题叫存在性命题，用符号简记为：, ( )xM q x 注:要判断全称命题为假，只需举一个反例；要判断存在性命题为真，只需举一个实例 全称命题和存在性命题的否定： 存在性命题 :, ( ).pxM p x 它的否定为：:,( ).pxMp x 全称命题 :, ( ).qxM q x 它的否定为：:,( ).qxM
7、q x 注：含有量词的命题的否定要注意“两否一不变” ：否定量词（ “任意”与“存在”互变）和结论（p(x)变为 p(x)） ，不否定范围（xM不能变为xM）. （3）常用词语的否定: 词语 是 都是 等于 大于 小于 且 词语的否定 不是 不都是 不等于 小于或等于 大于或等于 或 词语 必有一个 至少有 n 个 至多有一个 所有 x 成立 所有 x 不成立 词语的否定 一个也没有 至多有 n-1 个 至少有两个 存在一个 x 不成立 存在有一个 x 成立 （4）推出与充要条件: pq：p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件； pq：p 是 q 的充分且必要条件，简称充要条件 （5）
8、高考试题中关于集合与常用逻辑用语的考查： 关于集合的考查一类是与不等式的知识结合在一起， 考查集合的运算； 另一类以集合的概念为基本知识， 创设新的情境考查考生的阅读理解能力和推理能力， 这类题目通常是处在选择题第 8 题和填空题的第 14 题的位置及第 20 题压轴题位置，属于较难题目. 关于常用逻辑用语的考查通常是以具体的章节的知识为背景考查， 侧重于基本逻辑用语知识的应用，一般情况下试题属于容易题. 例 1： （2007 年北京）已知集合1axxA，0452xxxB，若BA，则实数a的取值范围是 3 , 2 例 2：已知命题p：1sin,xRx，则（ C ） A.1sin,:xRxp B. 1sin,:xRxp C.1sin,:xRxp D. 1sin,:xRxp 例 3：设 A 是整数集的一个非空子集，对于kA，如果1kA 且1kA ，那么k是 A 的一个“孤立元”，给定1,2,3,4,5,6,7,8,S ，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 6 个.