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1、 - 24 - 高中数学知识点整理 特别注意： （1）用数学归纳法证明问题时首先要验证0nn 时成立，注意0n不一定为 1； （2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，并且一定要用到假设， 尤其要弄清由 k 到 k+1 时命题的变化； （3）两个步骤中，第一步是基础，第二步是递推. 在第二步证明中，关键是利用假设，推出结论. 第七部分 不等式 1. 不等式的基本性质： （1）同向不等式可以相加，异向不等式可以相减： 若,ab cd，则acbd； 若,ab cd，则acbd； 注意：异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减. （2）左右同正不等式： 同向的不等式可以相乘，但不能相除.
2、若0,0abcd，则acbd. 两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab. （4）不等式的两边同乘（或除）一个数时，一定要考虑该数的符号： 若0ab ，ab， 则11ab. 若0ab ，ab，则11ab. 22abacbc 是否正确？（否） 注意：特值法是判断不等式是否成立的一种方法，尤其适用于不成立的命题. 2. 比较大小的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果. （2）作商：常用于分数指数幂的代数式. （3）分析法. （4）利用函数的单调性. （5）寻找中间量或放缩法. （6）图象法. 3. 均值不等式：若0,ba，则abba2（当且仅当b
3、a 时取等号）. - 25 - 高中数学知识点整理 基本变形：若, a bR，则222abab，22abab，222abab. 运用均值不等式时，不要忘记检查条件（,0a b ） ， 最后一定不要忘记注明等号成立的条件. 4. 证明不等式的方法： （1）比较法：作差比较（作商） ：BABA0 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小. （2）综合法：由因导果. （3）分析法：执果索因.基本步骤：要证只需证，只需证 （4）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的，常用放缩的方法有： 添加或舍去一些项，如：aa12.nnn ) 1( 将分子或分母放大（或缩小） 利用基
4、本不等式，如：2) 1() 1(nnnn 利用常用结论：kkkkk21111. kkkkk111) 1(112 . 111) 1(112kkkkk. )1111(21) 1)(1(111122kkkkkk . 5. 不等式的解法： （1）一元一次不等式的解法： 通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式， 要注意讨论0,0aa及0a 的情况. （2）一元二次不等式的解集（联系图象） ： 设0a ，12,x x是方程20axbxc的两实根，且12xx， 则20axbxc的解集为 12,xx. 20axbxc的解集为12,x x.当0 和0 时的解集你会正确表示吗？ （3）对于方程
5、20axbxc有实数解的问题: - 26 - 高中数学知识点整理 首先要讨论最高次项系数a是否为 0，其次若0a ，才考虑判别式. （4）一元二次方程根的分布理论： 方程2( )0(0)f xaxbxca在),(k上有两根、在( , )m n上有两根、 在),(k和),(k上各有一根的充要条件分别是什么？ （考虑判别式、对称轴、端点函数值、有时也考虑韦达定理） （答案依次为：0( )02f kbka ，0( )0( )02f mf nbmna ，( )0f k ）. 根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间,nm讨论方程0)(xf有实数解的情况， 可先利用在开区间),(nm上实根分布的情况，
6、 得出结果， 再令nx 和mx 检查端点的情况有时候为了控制参数的取值范围，我们也可以先把端点的值代入，看是否可以减少讨论. （5）不等式解区间的端点往往就是相应方程的根或与函数的定义域相关. （6）简单的一元高次不等式的解法：数轴标根法 （7）简单的分式不等式： 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用数轴标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母. 6. 不等式恒成立问题的常规处理方式： 常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用函数的性质，数形结合. 第八部分 直线和圆 1、直线方程 （1）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其 y (a0) O k x1 x2 x