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1、1 圆切线问题典型问题例 1. 已知半径为 3 的O 上一点 P和圆外一点 Q，如果 OQ5，PQ4，则 PQ和圆的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 位置不定例 2. 在ABC 中， C90， B30，O 为 AB 上一点， AOm，O的半径，问 m 在什么范围内取值时， AC 与圆：（1） 相离；（ 2）相切；（ 3）相交。例 3. 已知：在 ABC 中，AD 为BAC 的平分线，以 C 为圆心， CD 为半径的半圆交 BC 的延长线于点 E，交 AD 于点 F，交 AE 于点 M，且 BCAE，FE：FD4：3。求证： AFDF；例 4. 已知O 中，AB 是直径，过 B
2、点作O 的切线，连结 CO，若 ADOC交O 于 D，求证： CD 是O 的切线。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2 例 5. 如图所示， ABC 为等腰三角形， O 是底边 BC 的中点， O 与腰 AB相切于点 D。求证： AC 与O 相切。点悟： 显然 AC 与O 的公共点没有确定，故用“dr”证之。而 AB 与O切于 D 点，可连结 OD，则 ODAB。例 6. 已知O 的半径 OAOB， 点 P在 OB
3、 的延长线上，连结 AP 交O 于 D，过 D 作O 的切线 CE 交 OP于 C，求证： PCCD。例 7. 在ABC 中， A70，点 O 是内心，求 BOC 的度数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3 圆切线问题典型问题答案例 1 解：OP3，PQ4，OQ5，OPQ 是直角三角形，且 OPQ90， PQOP。即圆心 O 到 PQ 的距离等于圆的半径。PQ 和圆的位置关系相切，故选B。点拨： 在没有明确知道圆
4、心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。例 2.点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。解：如图所示，过 O 作 ODAC 垂足为 D，（1）当，即，也即时，则 AC 与O 相离；（2）当，即，也即时，AC 与O 相切；（3）当，即，也即时，AC 与O 相交。例 3.证明： AD 平分 BAC，BADDAC。BCAE， BADBDACCAE ADEBAD B， ADEDAE，EAED DE 是半圆 C 的直径 DFE90AFDF 例 4. 点悟：要证 CD 是O 的
5、切线，须证 CD 垂直于过切点 D 的半径，由此想到连结 OD。证明： 连结 OD。ADOC，COBA 及 CODODA OAOD， ODAOAD COBCOD CO 为公用边， ODOB COBCOD，即 BODCBC 是切线， AB 是直径，B90， ODC90， CD 是O 的切线。点拨： 辅助线 OD 构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - -
6、- - - - 4 例 5.点悟： 显然 AC 与O 的公共点没有确定，故用“dr”证之。而 AB 与O 切于 D 点，可连结 OD，则 ODAB。证明： 连结 OD、OA。过 O 作 OEAC，垂足为 E。ABAC，O 为 BC 的中点， BAOCAO 又AB 切O 于 D 点，ODAB，又 OEAC， OEOD，AC 与O 相切。点拨： 此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“dr”。例 6. 点悟： 要证 PCCD，可证它们所对的角等，即证PCDP，又 OAOB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。证明： 连结 OD，则 ODCE。EDAODA90 OAOB AP90，又 OAOD，ODAA，PEDAEDA CDP，PCDP，PCCD 点拨： 在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。例 7. 点悟：已知 O 是内心，由内心的概念可知OB、 OC 分别是 ABC、 ACB的平分线。解：在ABC 中， A70，O 是ABC 的内心。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -