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1、回归课本 ( 十三 )极限一考试内容：教学归纳法 . 数学归纳法应用. 数列的极限 . 函数的极限 . 根限的四则运算. 函数的连续性 .二考试要求：(1) 理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2) 了解数列极限和函数极限的概念. (3) 掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限. (4) 了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. 三基础知识 : 1. 特殊数列的极限（1）0| 1lim11| 11nnqqqqq不存在或.（2）1101100()lim()()kkkktttnttkkta nanaaktb nb nbbkt不存在. （
2、3）111lim11nnaqaSqq（S无穷等比数列11na q (| 1q) 的和）. 2. 函数的极限定理0lim( )xxf xa00lim( )lim( )xxxxfxf xa. 3.函数的夹逼性定理如果函数f(x) ，g(x) ，h(x)在点 x0的附近满足：（1）( )( )( )g xf xh x; （2）00lim( ),lim( )xxxxg xah xa（常数） , 则0lim( )xxf xa.本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立. 4.几个常用极限（1）1lim0nn，lim0nna（| 1a） ；（2）00limxxxx，0011limxxxx. 5.两个重要的极限（
3、1）0sinlim1xxx；（2）1lim 1xxex(e=2.718281845). 6.函数极限的四则运算法则若0lim( )xxf xa，0lim( )xxg xb，则(1)0limxxfxg xab；(2)0limxxfxg xa b; (3)0lim0 xxfxabg xb. 7.数列极限的四则运算法则若lim,limnnnnaabb，则(1)limnnnabab；(2)limnnnaba b；(3)lim0nnnaabbb(4)limlimlimnnnnnc acac a( c 是常数 ). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
4、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 四基本方法和数学思想1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（ 1）验证命题对于第一个自然数nn0 (kn0)时成立； (2)假设 n=k 时成立，从而证明当n=k+1 时命题也成立， （3）得出结论。数学归纳法是一种完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论；2. 数列极限（ 1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列anbn
5、 的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和 （或积） ， 再求极限； （3） 常用的几个数列极限：CCnlim（C 为常数）；01limnn，0limnnq（a1,q 为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式qaSSnn1lim1（01q）; 3.函数的极限：（1）当 x 趋向于无穷大时，函数的极限为aaxfxfnn)(lim)(lim（2）当0 xx时函数的极限为aaxfxfxxxx)(lim)(lim00: （3）掌握函数极限的四则运算法则；4.函数的连续性： （1）如果对函数f(x)在点 x=x0处及其附近有定义，而且还有)()(li
6、m00 xfxfxx，就说函数 f(x) 在点 x0处连续；（2）若 f(x) 与 g(x)都在点 x0处连续，则f(x) g(x),f(x)g(x),)()(xgxf(g(x) 0)也在点 x0处连续；（3）若 u(x) 在点 x0处连续，且 f(u)在 u0=u(x0)处连续，则复合函数fu(x)在点 x0处也连续；5.初等函数的连续性：指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续 ;连续函数的极限运算:如果函数在点x0处有极限，那么)()(l
7、im00 xfxfxx；五高考题回顾一.数列的极限1.计算：112323limnnnnn=_。2. (湖南卷）已知数列log2(an1) （nN*）为等差数列，且a13，a2 5，则nnnaaaaaa12312lim111()= A2B23C1D213.（山东）22223lim_(1)2nnnnCCn二.函数的极限4. （江西卷11(1)1lim1,lim1(22 )xxf xxxfx若则A1 B1 C21D215. (辽宁卷 )极限)(lim0 xfxx存在是函数)(xf在点0 xx处连续的A充分而不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件6.（全国卷）22111li
8、m3243xxxxx( ) A 12B 12C 16D 167.（湖北卷）若1)11(lim21xbxax，则常数ba,的值为A4,2 baB4,2 baC4,2 baD4,2 ba三、无穷递缩等比数列各项和：8 （ 04年 上 海 卷 .4 ） 设 等 比 数 列)(Nnan的 公 比21q， 且名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - )(lim12531nnaaaa38，则1a. 9.（04 年重庆卷 .理 15）如
9、图 P1是一块半径为1 的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3、P4、.Pn,记纸板 Pn的面积为nS，则lim_nxS. 六. 课本中习题归纳一 数学归纳法及其应用1(1)1 35(21)n= ; (2) 211222n= ; (3)2222123n= ; (4)1 4273 10(31)nn= ; (5)3333123n= ; (6)2222135(21)n= ; (7)11111 3355 7(21)(21)nn= ; (8)1 232343 45(1)(2)n nn= . 2 下列说法不正
10、确的是(n为正整数 ) A,22nnxy能被xy整除. B,nnxy能被xy整除 . C,35nn能被 6 整除. D,333(1)(2)nnn不一定能被9 整除 . 3平面内有n(2n)条直线 ,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,设交点的个数为( )f n. (I)试求(2)f,(3)f,(4)f的值 ;(II) 猜测( )f n的值,并给予证明 . 4平面内有n(2n)个圆 ,其中每两个圆都相交两点,每三个圆都无公共点,设交点的个数为( )f n. (I)试求(2)f,(3)f,(4)f的值 ;(II) 猜测( )f n的值 ,并给予证明 . 二 极限及其运算5(1)5lim(7)1
11、0nn= ;(2)1limnnn= ;(3)2( 1)lim(1)nnnn= ; (4)1lim ( )2xx= ;(5)21lim()2xx= ;(6)2211lim21xxxx= ; (7) 24lim()1nnnn= ;(8)32lim32nnnnn= ;(9)11lim1xxx= ; (10)2lim (1)xxx= ;(11)111lim(1)(1)(1)23nnn= . 6 设 函 数1(0)( )0(0)1(0)xxfxxxx,则0lim( )xf x= ; 0lim( )xf x= ; 0lim( )xf x= . 7 已知0a,则1lim1nna= ;lim1nnnaa= .
12、 8 下列说法正确的是A,若1( )f xx,则lim( )0 xf x; B 若( )1f xx,则1lim( )0 xf x; C 若22( )2xxf xx,则2lim ( )2xf x;D,若(0)( )1(0)x xf xxx,则0lim ( ) 0 xf x. P4 P3 P2 P1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 9 下列函数在1x处没有极限的是A,32( )1xxf xxB,3( )21g xxC
13、,2 (1)( )0(1)x xh xxD,1(1)( )1(1)xxv xxx10 在求2123limnnn时,甲,乙两位同学得到如下两种不同的解法: (甲)解:2123limnnn(乙) 2123limnnn=2222121lim()nnnnnn=21(1)2limnn nn=0+0+0+0=0 =1lim2nnn=12我认为的解法是错误的,错因是. 11 在半径为R的圆内接正n边形中 ,nr是边心距,np是周长 ,nS是面积(n=3,4,). (I)试求nS与nr,np之间的关系 ;(II) 求limnnS. 12 从BAC的边上一点1B作11BCAC于1C,从1C再作12C BAB于点
14、2B,从2B再作22B CAC于点2C,这样无限进行下去.已知11BC=5,12C B=4. (I)试求22B C的长 ; (II) 求1112lim()nnnB CC BB C. 三 函数的连续性13 如图,在 A,B,C,D 这四个图象所表示的函数中,在点xa处没有定义但极限存 在 的 是; 在 点xa处 有 定 义 , 有 极 限 , 但 不 连 续 的是;lim( )( )xaf xf a的是;在点xa处没有极限的是. 14 要使函数26( )3xxf xx在点3x处连续 ,需添加的条件是. 15 设函数2sin(0)( )1(01)(1)xa xf xxxb x在定义区间内连续,则ab= . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -