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1、回归课本回归课本(十十)排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理一考试内容：分类计数原理与分步计数原理.排列.排列数公式.组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质.二考试要求：(1)掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.(2)理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.(3)理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.(4)掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.【注意】这部分内容复习的重点有：排列组合的理论基础、原理，二项式定 理的通项公
2、式，二项式系数的性质等.三基础知识:1.分类计数原理（加法原理）N m1 m2 mn.2.分步计数原理（乘法原理）N m1m2mn.3.排列数公式Amn=n(n 1)(n m 1)=n！(n m)！.(n，mN*，且m n)注:规定0!1.4.排列恒等式(1）Am(nm1)Am1mnmnn;（2）AnnmAn1;（3）Amm1n nAn1;（4）nAnn1nn An1 An;（5）AmAmm1n1n mAn.(6)1!22!33!nn!(n1)!1.5.组合数公式mAmCn=nn(n 1)(n m1)n！AnN*m=(，mN，且m12mm！(n m)！m n).6.组合数的两个性质(1)Cmn
3、=Cnmm1n;(2)Cmn+Cn=Cmn1.注:规定C0n1.7.组合恒等式（1）Cmnm1nmCm1mnmn;（2）CnnmCn1;（3）Cmnm1nrnCn1;（4）Cnmn=2;r0（5）CrCrrrr1rr1 Cr2 Cn Cn1.(6)C0 C1C2r Cnnnnn Cnn 2.(7)C1 C3C50C24n1nnn Cnn Cn2.(8)C1 2C2 3C3nn1nnn nCn n2.(9)Cr0r110rrrmCn CmCn CmCn Cmn.(10)(C021222(Cn2nn)(Cn)(Cn)n)C2n.8.排列数与组合数的关系Amn m！Cmn.9单条件排列以下各条的大前
4、提是从n个元素中取m个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”某（特）元必在某位有Am1mm1n1种；某（特）元不在某位有An An1（补集思想）A1m1m1Am1n1An1（着眼位置）An1 Am1n1（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴：k(k m n)个元在固定位的排列有AkmkkAnk种.浮动紧贴：n个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有Ank1knk1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有k、h 个（k h 1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有AhkhAh1种.（3）两组元素各相同的插空m个大球n个小球排成一列，小
5、球必分开，问有多少种排法？当n m1时，无解；当n m1时，有Anm1nAn Cm1种排法.n（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为Cnmn.9分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有N CnnnnmnCmnnCmn2nC2nCn(mn)!n(n!)m.（2）(平均分组无归属问题)将相异的mn个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有N CnCnn.CnnmnmnnCmn2n2nCn(mn)!m!m!(n!)m.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+nm)个物体分给m个
6、人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，nm件，且n1，n2，nm这m个 数 彼 此 不 相 等，则 其 分 配 方 法 数 共 有N Cn1n2nmp!m!pCpn1.Cnmm!n.1!n2!.nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，nm件，且n1，n2，nm这m个 数 中 分 别 有 a、b、c、个 相 等，则 其 分 配 方 法 数 有N Cn1Cn2ppn1.Cnmnmm!p!m!a!b!c!.n.1!n2!.nm!(a!b!c!.)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+nm)个
7、物体分为任意的n1，n2，nm件无记号的m堆，且n1，n2，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数有N p!n.1!n2!.nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+nm)个物体分为任意的n1，n2，nm件无记号的m堆，且n1，n2，nm这m个数中分别有 a、b、c、个相等，则其分配方法数有N p!n!n(a!b!c!.).12!.nm!（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p n1+n2+nm）个物体分给甲、乙、丙，等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，时，则无论n1，n2，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有N Cn1
8、n2.Cnm!pCpn1nmpn!.n.1!n2m!10.二项式定理(a b)n C0n1n12n22rnrrnnna Cnab Cnab Cnab Cnb;二项展开式的通项公式Trnrrr1 Cnab(r 0，1，2，n).二项式系数具有下列性质：(1)与首末两端等距离的二项式系数相等；(2)若 n 为偶数，中间一项（第n21 项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第n12和n121 项）的二项式系数最大；（3）C012n0213n Cn Cn Cn 2n;Cn Cn Cn Cn 2n1;11.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为12 f(1)f(1)
9、；偶数项的系数和为12 f(1)f(1)；四高考题回顾一、组数问题：1（2004 年全国卷二.文理 12）在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的5位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有（）.A.56 个 B.57 个C.58 个 D.60 个2.（辽宁卷）用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求1 和 2 相邻，3 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有个.（用数字作答）3.从集合 P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任限 2 个元素排成一排(字母和数字均不能重复)每排中字母 Q
10、和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是_(用数字作答)4.（江西卷）将 9 个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（）A70B140C280D840二、分配问题：5（2004 年全国卷三.文理 12）将 4 名教师分配到 3 所中学任教，每所中学至少 1 名教师，则不同的分配方案共有（）.A.12 种B.24 种C.36 种D.48 种6.（北京卷）北京财富全球论坛期间，某高校有 14 名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班4 人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为()（A）C12C4C4（B）C12A4A4C12414C12C481
11、24431412814128（C）A3（D）C14C12C8A337.（湖北卷）把一同排6 张座位编号为 1，2，3，4，5，6 的电影票全部分给4 个人，每人至少分1 张，至多分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A168B96C72D1448.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为（）.A.A2C24B.12A22C.A266C46A2D.2A246三、几何问题：9.（2004 年北京卷.理 7）从长度分别为1,2,3,4,5 的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出
12、的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则mn等于（）.A.113210B.5C.10D.510.湖北卷）以平行六面体 ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为A367376385B385C19218385D38511（2004 年湖南卷.文理 10）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（）.A.56B.52C.48D.40四.二项式定理问题12.（全国卷）在(x1)(x+1)8的展开式中 x5的系数是()（A）14（B）14（C）28（D）28n13.(山东)如果3x1 13x2的展开式中各项系
13、数之和为128，则展开式中x3的系数是（A）7（B）7（C）21（D）2114.设n N,则C1232nn1n Cn6 Cn6 Cn615.（湖南卷）在（1x）（1x）2（1x）6的展开式中，x2项的系数是.（用数字作答）(2)x0 2 420 216.（04 年天津卷.理 15）若1a 0ax1ax2a4 0 2x4x(R)，则(a0 a1)(a0 a2)(a0 a3)(a0 a2004)=.17.（04 年福建卷.文 9）已知(xax)8展开式常数项为 1120,其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（）.A.28B.38C.1 或38D.1 或2818.（04 年上海卷.9）若在二项
14、式(x 1)10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是.（结果用分数是表示）19.（04 年 福 建 卷.理 9）若(1 2x)9展 开 式 的 第 3 项 为 288，则lim(11x1122xn）的值是（）.A.2B.1C.nx2D.5五.课本中习题归纳一.分类计数原理与分步计数原理1.书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本不同的文艺书,第 3层放有 2 本不同的体育书.(1)从书架上任取 1 本书,有种不同的取法;(2)从书架的第 1,2,3,层各取 1 本,有种不同的取法;2.一种号码锁有 6 个拨号盘,每个拨号盘上有从 0 到 9 共 10 个数字
15、,这 6 个拨号盘可以组成个六位数字号码.3.要从甲,乙,丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班,有种不同的选法.4.乘积(a1a2a3)(b1b2b3b4)(c1c2c3c4c5)展开后共有项.5.用1,5,9,13中任意一个作分子,4,8,12,16中任意一个数作分母,可构造个不同的分数;可构造个不同的真分数;可构造个不同的假分数.6.(1)在平面直角坐标系内,横坐标与纵坐标均在A 0,1,2,3,4,5内取值的不同点共有个.(2)在平面直角坐标系内,直线y kxb的斜率在集合B 1,2,5,内取值,截距在集合C 2,4,6,8内取值,这样不同的直线共有条.7.(1)4 名同学分别报
16、名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中的 1个运动队,则有种不同的报名方法.(2)3 个班分别从 5 个风景点中选择 1 处游览,则有种不同的选法.二.排列 组合 二项式定理8.某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 队参加,每队都要与其余各队在主,客场分别比赛 1 次,共进行场比赛.9.(1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有种不同的送法;(2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有种不同的送法.10.某信号兵用红,黄,白 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂 1 面,2 面或 3 面,并且
17、不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示种不同的信号.11.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成个没有重复数字的三位数;可以组成个没有重复数字的三位偶数;可以组成个十位数字比个位数字与百位数字都大的三位数.12.由数字 1,2,3,4,5 可以组成个没有重复数字,并且比 2005 大的正整数.13.(1)7 个人站成一排,如果甲必须站在正中间,有种排法;(2)7 个人站成一排,如果甲不站在正中间,有种排法;(3)7 个人站成一排,如果甲,乙 2 人必须站在两端,有种排法;(4)7 个人站成一排,如果甲不站在左端,乙不站在右端,有种排法;(5)7 个小孩子站成两排,其中 3 个女孩站在前排
18、,4 个男孩站在后排,有种排法;(6)7 个小孩子站成两排,其中前排站 3 人,后排站 4 人,有种排法.14.(1)从 4 个风景点中选出 2 个安排游览,有种不同的方法;(2)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有种不同的方法.15.(1)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有条;(2)平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有条.16.一个口袋内装有大小相同的7 个白球和 1 个黑球.(1)从口袋内取出 3 个球,共有种取法;(2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有种取法;(3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含有黑球
19、,有种取法.17.在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品.从这 100 件产品中任意抽出 3 件.(1)一共有种不同的抽法;(2)抽出的 3 件中恰 1 件是次品的抽法有种;(3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有种.18.计算:(1)C0123455C5C5C5C5C5;(2)C2222222C3C4C5C6C7;(3)C05C25C45=;(4)C15C35C55=.19.1 圆,2 圆,5 圆,10 圆的人民币各 2 张,一共可以组成种币值.20.从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛.(1)如果 4 人中男生和女生各选2 人,有种选法;(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,则有种选法;(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1 人在内,有种选法;(4)如果 4 人中必须既有男生又有女生,有种选法.21.(xa)12的展开式中的倒数第四项的系数是 220,则a;常数项等于.22.(x1x)9的展开式中x3的系数是;(x3123x)的展开式的中间一项是.23.(x yy x)15的展开式的中间两项系数的和等于.