2022年高中数学复习数列求和裂项相消法 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。1、特别是对于1nnaac,其中na是各项均不为0 的等差数列,通常用裂项相消法,即利用1nnaac=111nnaadc,其中nnaad12、 常见拆项:111)1(1nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn)2)(1(1) 1(121)2)(1(1nnnnnnn!)!1(!nnnn)!1(1!1)!1(nnnn例1求数列1(1)n n的前n和nS例2求数列1(2)n n的前n和nS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

2、精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例3求数列1(1)(2)n nn的前n和nS例4求数列,11,321,211nn的前 n 项和 . 例 5:求数列311,421,531,)2(1nn,的前 n 项和 S 例 6、 求和)12)(12()2(534312222nnnSn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载一、累加法1适

3、用于:1( )nnaaf n- 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2若1( )nnaaf n (2)n,则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf n两边分别相加得111( )nnkaaf n例 1 已知数列na满足11211nnaana,求数列na的通项公式。解:由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()2(1)12(2)1(221)(211)12(1)(2)21(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列na的通项公式为2nan。例 2 已知数列na满足112313nnnaaa,求

4、数列na的通项公式。解法一:由1231nnnaa得12 31nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载所以31.nnan解法二:13231nnnaa两边除以13n,得111213333nnn

5、nnaa,则111213333nnnnnaa,故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(1 3)2(1)211313313322 3nnnnnann,则21133.322nnnan练 习1. 已 知 数 列na的 首 项 为1 , 且*12 ()nnaan nN写 出 数 列na的 通 项 公 式 . 答案:12nn练 习2. 已 知 数 列na满 足31a,)2()1(11nnnaann, 求

6、此 数 列 的 通 项 公 式 . 答案:裂项求和nan12评注 :已知aa1,)(1nfaann,其中 f(n) 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项na. 若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; 若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; 若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; 若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。例 3.已知数列na中 , 0na且)(21nnnanaS,求数列na的通项公式 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

7、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解:由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS, 化简有nSSnn212,由类型 (1)有nSSn32212, 又11aS得11a,所以2)1(2nnSn,又0na,2)1(2nnsn, 则2)1(2)1(2nnnnan此题也可以用数学归纳法来求解. 二、累乘法1.适用于:1( )nnaf n a- 这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若1( )nnaf na,则31212(1)(2)( )nnaaafff na

8、aa,两边分别相乘得,1111( )nnkaaf ka例 4 已知数列na满足112(1)53nnnanaa,求数列na的通项公式。解:因为112(1)53nnnanaa,所以0na,则12(1)5nnnana,故1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(21)52(21) 5 2(1 1) 5 32 (1)3 2533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn所以数列na的通项公式为(1)123 25!.n nnnan例 5.设na是首项为1 的正项数列,且011221nnnnaanaan(n=1,2, 3,),则它的名师资料总结 -

9、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载通项公式是na=_. 解:已知等式可化为:0)1()(11nnnnnaanaa0na(*Nn)(n+1)01nnnaa, 即11nnaann2n时,nnaann11112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1. 评注:本题是关于na和1na的二次齐次式, 可以通过因式分解 (一般情况时用求根公式)得到na与1na的更为明显的关系式,从而求出na. 练习 .已知1, 111annaann,求数列 an 的通项公式 . 答案:na)1()!1(1an-1. 评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式, 11nnaann转化为),1(11nnana若令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -

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