《高中数学复习_数列求和_裂项相消法24615.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学复习_数列求和_裂项相消法24615.pdf（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、-.z.裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾假设干项。1、特别是对于1nnaac，其中 na是各项均不为 0 的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1nnaac=111nnaadc，其中nnaad1 2、常见拆项：111)1(1nnnn 例1 求数列1(1)n n的前n和nS 例2 求数列1(2)n n的前n和nS 例3 求数列1(1)(2)n nn的前n和nS 例4 求数列 ,11,321,211nn的前 n 项和.例 5：求数列311，421，531，)2(1nn，的前 n 项和 S 例 6、求和)12)(12()2(534312222nnnSn 一、累加法 1适用于：
2、1()nnaaf n-这是广义的等差数列 累加法是最根本的二个方法之一。2假设1()nnaaf n(2)n，则 21321(1)(2)()nnaafaafaaf n 两边分别相加得 111()nnkaaf n-.z.例 1 数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则 所以数列na的通项公式为2nan。例 2 数列na满足112 313nnnaaa，求数列na的通项公式。解法一：由12 31nnnaa得12 31nnnaa则11232211122112211()()()()(2 31)(2 31)(2 31)(2 31)32(3333)(
3、1)33(1 3)2(1)31 3331 331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn 所以31.nnan 解法二：132 31nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故 因此11(1 3)2(1)21131331 3322 3nnnnnann，则21133.322nnnan 练 习1.数 列 na的 首 项 为1，且*12()nnaan nN写 出 数 列 na的 通 项 公 式.答案：12 nn 练 习2.数 列na满 足31a，)2()1(11nnnaann，求 此 数 列 的 通 项 公 式.答案：裂项求和 nan
4、12-.z.评注：aa 1,)(1nfaann，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.假设 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;假设 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;假设 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;假设 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.数列na中,0na且)(21nnnanaS,求数列na的通项公式.解:由)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS,化简有nSSnn212,由类型(1)有nSSn32212,又11aS 得11a,所以
5、2)1(2nnSn,又0na,2)1(2nnsn,则2)1(2)1(2nnnnan 此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法 1.适用于：1()nnaf n a-这是广义的等比数列 累乘法是最根本的二个方法之二。2假设1()nnaf na，则31212(1)(2)()nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111()nnkaaf ka 例 4 数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故-.z.1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(2 1
6、)5 2(1 1)5 32(1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以数列na的通项公式为(1)123 25!.n nnnan 例 5.设 na是首项为 1 的正项数列，且011221nnnnaanaann=1，2，3，则它的通项公式是na=_.解：等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa 0na(*Nn)(n+1)01nnnaa,即11nnaann 2n时，nnaann11 112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1.评注：此题是关于na和1na的二次齐次式，可以通过因式分解 一般情况时用求根公式 得到na与1na的更为明显的关系式，从而求出na.练习.1,111annaann,求数列an的通项公式.答案：na)1()!1(1an-1.评注：此题解题的关键是把原来的递推关系式,11nnaann转化为),1(11nnana假设令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.