《2022年高中数学复习-数列求和-裂项相消法 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学复习-数列求和-裂项相消法 .pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾假设干项。1、特别是对于1nnaac，其中na是各项均不为0 的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1nnaac=111nnaadc，其中nnaad12、 常见拆项：111)1(1nnnn)121121(21)12)(12(1nnnn)2)(1(1) 1(121)2)(1(1nnnnnnn!)!1(!nnnn)!1(1!1)!1(nnnn例1求数列1(1)n n的前n和nS例2求数列1(2)n n的前n和nS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 例3求数列1(
2、1)(2)n nn的前n和nS例4求数列,11,321,211nn的前 n 项和 . 例 5：求数列311，421，531，)2(1nn，的前 n 项和 S 例 6、 求和)12)(12()2(534312222nnnSn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 一、累加法1适用于：1( )nnaaf n- 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2假设1( )nnaaf n (2)n，则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf n两边分别相加得111( )nnkaaf n例 1 已知数列na满足112
3、11nnaana，求数列na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()2(1)12(2)1(221)(211)12(1)(2)21(1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列na的通项公式为2nan。例 2 已知数列na满足112313nnnaaa，求数列na的通项公式。解法一：由1231nnnaa得12 31nnnaa则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 11232211122112211()()()()(231
4、)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn所以31.nnan解法二：13231nnnaa两边除以13n，得111213333nnnnnaa，则111213333nnnnnaa，故112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaan因此11(1 3)2(1)211313313322 3nnnnnann，则21133.
5、322nnnan练 习1. 已 知 数 列na的 首 项 为1 ， 且*12 ()nnaan nN写 出 数 列na的 通 项 公 式 . 答案：12nn练 习2. 已 知 数 列na满 足31a，)2()1(11nnnaann， 求 此 数 列 的 通 项 公 式 . 答案：裂项求和nan12评注 ：已知aa1,)(1nfaann，其中 f(n) 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 假设 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求
6、和; 假设 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; 假设 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 假设 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.已知数列na中 , 0na且)(21nnnanaS,求数列na的通项公式 . 解:由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS, 化简有nSSnn212,由类型 (1)有nSSn32212, 又11aS得11a,所以2)1(2nnSn,又0na,2)1(2nnsn, 则2)1(2)1(2nnnnan此题也可以用数学归纳法来求解. 二、累乘法1.适用于：1( )nnaf n a- 这
7、是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2假设1( )nnaf na，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111( )nnkaaf ka例 4 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，所以0na，则12(1)5nnnana，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 1321122112211(1)(2)2 1(1)122(1 1)52(21)52(21) 5 2(1 1) 5 32 (1)3 2533 2
8、5!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn所以数列na的通项公式为(1)123 25!.n nnnan例 5.设na是首项为1 的正项数列，且011221nnnnaanaann=1，2， 3， ，则它的通项公式是na=_. 解：已知等式可化为：0)1()(11nnnnnaanaa0na(*Nn)(n+1)01nnnaa, 即11nnaann2n时，nnaann11112211aaaaaaaannnnn=121121nnnn=n1. 评注：此题是关于na和1na的二次齐次式， 可以通过因式分解 一般情况时用求根公式得到na与1na的更为明显的关系式，从而求出na. 练习 .已知1, 111annaann,求数列 an 的通项公式 . 答案：na)1()!1(1an-1. 评注：此题解题的关键是把原来的递推关系式, 11nnaann转化为),1(11nnana假设令1nnab,则问题进一步转化为nnnbb1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页