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1、育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心高一数学三角函数的综合应用测试例 1已知 、 为锐角，且x(+2)0,试证不等式f(x)=)sincos()sincos(xx2 对一切非零实数都成立例 2、已知函数f(x)=tan(3sinx) （1）求 f(x) 的定义域值域；（2）在（ ，）中，和求f(x) 的单调区间；（3）判定方程f(x)=tan32在区间（ ，）上解的个数。例 3 （2004 年全国卷）已知锐角三角形ABC 中，.51)sin(,53)sin(BABA（）求证：BAtan2tan；（）设AB=3 ，求 AB 边上的高
2、 . 例 4如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地， ABC 外的地方种草，ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花.若 BC=a， ABC=，设 ABC 的面积为S1，正方形的面积为S2（）用a，表示 S1和 S2；（）当 a 固定，变化时，求21SS取最小值时的角例 5、如图， A、B 是一矩形OEFG 边界上不同的两点，且AOB=45 ,OE=1,EF=3，设AOE= . （1）写出 AOB 的面积关于 的函数关系式f(); （2）写出函数f(x) 的取值范围。当 k=1 时，从得方程sinx= 3+36当 k=1 时，从得方程sinx= 3+36巩固练习1函
3、数 y=x2 cosx 的部分图象是( ) AoyxBoyxCoyxDoyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心2函数 f(x)=cos2x+sin(2+x)是( ) A非奇非偶函数B仅有最小值的奇函数C仅有最大值的偶函数D既有最大值又有最小值的偶函数3函数 f(x)=(31)cosx在 ，上的单调减区间为_4设 0，
4、若函数f(x)=2sin x 在4,3， 上单调递增，则的取值范围是_5设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,cR),已知不论 、 为何实数恒有f(sin)0 和 f(2+cos)0(1)求证b+c=1；(2)求证 c3；(3)若函数 f(sin)的最大值为8，求 b，c 的值6有一块半径为R，中心角为45的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值7设6x4，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1sinx)的最大值和最小值8是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a2
5、cosx+85a23在闭区间 0，2上的最大值是 1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由参考答案1. 证明若 x0，则 +2、为锐角， 02 2;022, 0sin(2)sin0sin(2)sin，0cossin,0cossin, 0cossin1,0sincos1, f(x)在(0,+)上单调递减，f(x)f(0)=2若 x0,+ 2, 、为锐角，022,022, 0sinsin(2), sincos,0sinsin(2), sincos,cossin1,sincos1, f(x)在( ,0）上单调递增，f(x)f(0)=2,结论成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
6、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心2. 解： （1） 1sinx1 33sinx3。又函数y=tanx 在 x=k +2(kZ)处无定义，且（2，2）3,3（ , ） ，令3sinx=2，则 sinx=23解之得： x=k 3(kZ) f(x)的定义域是A=x|x R，且 xk3，kZ tanx 在（2，2）内的值域为（，+） ，而当 xA 时，函数 y=13s
7、inx 的值域 B 满足（2，2）B f(x) 的值域是（，+） 。（2）由 f(x) 的定义域知， f(x) 在0，中的 x=3和 x=32处无定义。设 t=3sinx， 则当 x0, 3) （3，32） （32， ） 时，t0, 2)(2,3，且以 t 为自变量的函数y=tant 在区间（ 0，2） ， （2，3上分别单调递增。又当 x0，3时，函数t=3sinx 单调递增，且t0, 2)当 x（3，2时，函数 t=3sinx 单调递增，且t（2, 3当 x2，32)时，函数 t=3sinx 单调递减，且t（2, 3当 x（32，）时，函数t=3sinx 单调递减，且t（ 0，2） f(x
8、)=tan(13sinx) 在 区 间 0 ，3), （3,2上 分 别 是 单 调 递 增 函 数 ； 在),32(),32,2上是单调递减函数。又 f(x) 是奇函数，所以区间（3， 0， 2，3)也是f(x) 的单调递增区间2,32(),32,是 f(x) 的递减区间。故在区间（ ，）中 ,f(x) 的单调递增区间为：2，3)， （3，3） ， （3，2单调递减区间为),32(),32,32(),32,。（3）由 f(x)=tan32得： tan(3sinx)=tan(32)3sinx=k +32（kZ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
9、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心sinx=k3+36(k Z)又 1sinx1，323323kk=0 或 k= 1 当 k=0 时，从得方程sinx=36当 k=1 时，从得方程sinx= 3+36显然方程 sinx=36,sinx= 3+36，在（, ）上各有 2 个解，故 f(x)=tan32在区间（ ， ）上共有4个解。3. （）证明：,51)sin(,53)sin(BABA.2tantan
10、51sincos,52cossin.51sincoscossin,53sincoscossinBABABABABABABA所以.tan2tanBA（）解：BA2，,43)tan(,53)sin(BABA即43tantan1tantanBABA，将BAtan2tan代入上式并整理得.01tan4tan22BB解得262tan B，舍去负值得262tanB，.62tan2tanBA设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=.623tantanCDBCDACD由 AB=3，得CD=2+6. 所以 AB 边上的高2+6. 4. 解： （1）22111sin,cossincossin 224ACaABa
11、Saa设正方形边长为x，则cot,tancottanBQxRCxxxxa2sincossin 2cottan11sincos2sin 2aaax22222sin2sin 22sin24sin 24sin 2aaS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心（2）当a固定，变化时，1214sin244 sin 2SS令1211s
12、in2,44SttSt则10,01.2tfttt令，用导数知识可以证明： 函数1fttt在0,1是减函数， 于是当1t时，12SS取最小值， 此时4。5. 解： （ 1） OE=1，EF=3 EOF=60当0，15时， AOB 的两顶点 A、B 在 E、F 上，且 AE=tan ,BE=tan(45+) f( )=SAOB=21tan(45 +)tan =)45cos(cos245sin=2)452cos(22当 a （ 15,45时，A 点在 EF 上，B 点在 FG 上，且 OA=cos1，OB=)45cos(3)(f=SAOB=21OA 2OB 2sin45 =cos212)45cos(
13、32sin45 =2)24cos(26综上得： f()= 4,12(2)42cos(2612, 02)42cos(22（2）由（ 1）得：当 0，12时f()= 2)42cos(2221,31 且当 =0 时， f()min=21；=12时， f()max=31；当 4,12(时,12244，f（）=2)42cos(2663,23 且当 =8时， f() min=63；当 =4时， f() max=23所以 f(x) 21,23。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页
14、，共 7 页 - - - - - - - - - 育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心1解析函数 y=xcosx 是奇函数，图象不可能是A 和 C，又当 x(0,2)时， y0答案D 2解析f(x)=cos2x+sin(2+x)=2cos2x1+cosx=2(cosx+81)2212 1答案D 3解在 ,上， y= cosx的单调递增区间是2,0及2,而 f(x)依 cosx取值的递增而递减,故2,0及2,为 f(x)的递减区间4解由2 x2，得 f(x)的递增区间为2,2 ，由题设得.230,23:4232,2,24,3解得5解
15、(1) 1sin 1 且 f(sin)0 恒成立， f(1)0 12+cos3,且 f(2+cos) 0 恒成立f(1)0从而知 f(1)=0b+c+1=0(2)由 f(2+cos)0,知 f(3)0,9+3b+c0又因为 b+c=1,c3(3)f(sin)=sin2+(1c)sin+c=(sin21c)2+c()21(c)2, 当 sin=1 时， f(sin)max=8,由0181cbcb解得 b=4,c=36解如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP，则OP=R，设 AOP= ，则 QOP=45 ， NP=Rsin,在PQO 中，135sin)45sin(RPQ，PQ=2Rsi
16、n(45 )S矩形MNPQ=QP2 NP=2R2sinsin(45 ) =22R22cos(2 45)22212R2，当且仅当cos(245)=1,即=225时， S矩形MNPQ的值最大且最大值为212R2工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使 AOP=225， P 为边与扇形弧的交点，自P 作 PNOA 于 N，PQOA 交 OB 于 Q，并作 OMOA 于 M，则矩形MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为212R27解在4,6上， 1+sinx 0 和 1 sinx0 恒成立，原函数可化为y=log2(1sin2x)=log2cos2x，
17、OBAyxNOBAQMP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心育点教育 中小学个性化辅导专家诚心爱心热心精心耐心又 cosx0 在4,6上恒成立，原函数即是y=2log2cosx,在 x4,6上，22cosx1log222log2cosxlog21，即 1y0，也就是在x4,6上， ymax=0,ymin=122253519.:1coscos(cos)822482aayxaxaxa解0,0cos12xx当时max531,2,cos1,1282aaxyaa若时 即则当时202(),13a舍去2max5101,02,cos,122482aaaaxya若即则当时340()2aa或舍去max51120,0,cos0,1()2825aaxyaa若即则当时舍去综合上述知，存在23a符合题设名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -