2022年高考圆锥曲线大题 .pdf

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1、第1页（共 22页）2018 年高考圆锥曲线大题一解答题（共13 小题）1已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：+=1交于 A，B两点，线段 AB的中点为 M（1，m） （m0） （1）证明： k；（2）设 F 为 C的右焦点， P 为 C上一点，且+= 证明： | ，| ，| 成等差数列，并求该数列的公差2已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：+=1交于 A，B两点，线段 AB的中点为 M（1，m） （m0） （1）证明： k；（2）设 F为 C的右焦点， P为 C上一点，且+= ，证明： 2| =|+| 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

2、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第2页（共 22页）3双曲线=1，F1、F2为其左右焦点， C是以 F2为圆心且过原点的圆（1）求 C的轨迹方程；（2）动点 P在 C上运动， M 满足=2，求 M 的轨迹方程4设椭圆 C：+y2=1的右焦点为 F，过 F的直线 l 与 C交于 A，B两点，点 M 的坐标为（ 2，0） （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明： OMA=OMB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

3、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第3页（共 22页）5已知椭圆 M：+=1（ab0）的离心率为，焦距为 2斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B（）求椭圆 M 的方程；（）若 k=1，求| AB| 的最大值；（）设 P （2，0） ，直线 PA与椭圆 M 的另一个交点为C ，直线 PB与椭圆 M 的另一个交点为 D若C，D 和点 Q（，）共线，求 k6设常数 t2在平面直角坐标系xOy中，已知点 F（2，0） ，直线 l：x=t，曲线 ：y2=8x（0 xt，y

4、0） l 与 x 轴交于点 A、与 交于点 BP、Q 分别是曲线 与线段 AB上的动点（1）用 t 表示点 B 到点 F的距离；（2）设 t=3，| FQ| =2，线段 OQ的中点在直线 FP上，求 AQP的面积；（3）设 t=8，是否存在以 FP 、FQ为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E在 上？若存在，求点 P的坐标；若不存在，说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第4页（共 22页）7已知抛物线 C：y

5、2=2px经过点 P （1，2） ，过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点A，B，且直线 PA交 y 轴于 M，直线 PB交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O为原点，= ，=，求证：+为定值8设椭圆+=1（ab0）的右顶点为 A，上顶点为 B已知椭圆的离心率为，| AB| =（）求椭圆的方程；（）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆交于 P，Q 两点， 1 与直线 AB交于点 M，且点 P，M 均在第四象限若 BPM的面积是 BPQ面积的 2 倍，求 k 的值9设抛物线 C：y2=4x的焦点为 F，过 F且斜率为 k（k0）的直线 l 与 C交于 A，

6、B两点， | AB| =8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B且与 C的准线相切的圆的方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第5页（共 22页）10设椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为（b，0） ，且| FB | ?| AB| =6（）求椭圆的方程；（） 设直线 l： y=kx （k0） 与椭圆在第一象限的交点为P， 且 l 与直线 AB交于点 Q 若=si

7、nAOQ （O 为原点） ，求 k 的值11已知椭圆 C：，直线 l：y=kx+1（k0）与椭圆 C相交于 A，B两点， D 为 AB的中点（1）若直线 l 与直线 OD（O 为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆 .的方程；（2）在（ 1）的条件下， y 轴上是否存在定点M 使得当 k 变化时，总有 AMO=BMO（O 为坐标原点） 若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第

8、6页（共 22页）12已知椭圆 ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4（）求椭圆 的标准方程；（）直线 l 与椭圆 交于 A，B 两点， AB的中点 M 在圆 x2+y2=1上，求 AOB （O 为坐标原点）面积的最大值13如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，两条准线之间的距离为 4（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点 M 在圆 x2+y2=上，直线 AM 与椭圆相交于另一点B，且AOB的面积是 AOM 的面积的 2 倍，求直线 AB的方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

9、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第7页（共 22页）2018 年高考圆锥曲线大题参考答案与试题解析一解答题（共13 小题）1已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：+=1交于 A，B两点，线段 AB的中点为 M（1，m） （m0） （1）证明： k；（2）设 F 为 C的右焦点， P 为 C上一点，且+= 证明： | ，| ，| 成等差数列，并求该数列的公差【解答】 解： （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB的中点为 M（1，m） ，x1+x2=2，y1+y2=2m将 A，B

10、代入椭圆 C：+=1 中，可得，两式相减可得， 3（x1+x2） （x1x2）+4（y1+y2） （y1y2）=0，即 6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k=点 M（1，m）在椭圆内，即，解得 0m（2）证明：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，P（x3，y3） ，可得 x1+x2=2，+= ，F（1，0） ，x11+x21+x31=0，y1+y2+y3=0，x3=1，y3=（y1+y2）=2m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - -

11、- - - - - - - 第8页（共 22页）m0，可得 P在第四象限，故y3=，m=，k=1由椭圆的焦半径公式得则| FA | =aex1=2x1，| FB| =2x2，| FP | =2x3= 则| FA |+| FB | =4，| FA |+| FB | =2| FP | ，联立，可得 | x1x2| =所以该数列的公差d 满足 2d=| x1x2| =，该数列的公差为2已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：+=1交于 A，B两点，线段 AB的中点为 M（1，m） （m0） （1）证明： k；（2）设 F为 C的右焦点， P为 C上一点，且+= ，证明： 2| =|+| 【解答】 解

12、： （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，线段 AB的中点为 M（1，m） ，x1+x2=2，y1+y2=2m将 A，B 代入椭圆 C：+=1 中，可得，两式相减可得， 3（x1+x2） （x1x2）+4（y1+y2） （y1y2）=0，即 6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k=点 M（1，m）在椭圆内，即，解得 0mk=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第9页（共 22页）（2）证明：设 A（x

13、1，y1） ，B（x2，y2） ，P（x3，y3） ，可得 x1+x2=2+= ，F（1，0） ，x11+x21+x31=0，x3=1由椭圆的焦半径公式得则| FA | =aex1=2x1，| FB| =2x2，| FP | =2x3= 则| FA |+| FB | =4，| FA |+| FB | =2| FP | ，3双曲线=1，F1、F2为其左右焦点， C是以 F2为圆心且过原点的圆（1）求 C的轨迹方程；（2）动点 P在 C上运动， M 满足=2，求 M 的轨迹方程【解答】 解： （1）由已知得 a2=12，b2=4，故 c=4，所以 F1（4，0） 、F2（4，0） ，因为 C是以

14、F2为圆心且过原点的圆，故圆心为（4，0） ，半径为 4，所以 C的轨迹方程为（ x4）2+y2=16；（2）设动点 M（x，y） ，P（x0，y0） ，则=（x+4，y） ，由，得（ x+4，y）=2（x0 x，y0y） ，即，解得，因为点 P在 C上，所以，代入得，化简得4设椭圆 C：+y2=1的右焦点为 F，过 F的直线 l 与 C交于 A，B两点，点 M 的坐标为（ 2，0） （1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

15、 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第10页（共 22页）（2）设 O 为坐标原点，证明： OMA=OMB【解答】 解： （1）c=1，F（1，0） ，l 与 x 轴垂直，x=1，由，解得或，A（1.） ，或（ 1，） ，直线 AM 的方程为 y=x+，y=x，证明： （2）当 l 与 x 轴重合时， OMA=OMB=0 ，当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB的垂直平分线， OMA=OMB，当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为 y=k（x1） ，k0，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1，x2，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA，kM

16、B之和为 kMA+kMB=+，由 y1=kx1k，y2=kx2k 得 kMA+kMB=，将 y=k（x1）代入+y2=1 可得（ 2k2+1）x24k2x+2k22=0，x1+x2=，x1x2=，2kx1x23k（x1+x2）+4k=（4k34k12k3+8k3+4k）=0从而 kMA+kMB=0，故 MA，MB 的倾斜角互补，OMA=OMB，综上 OMA=OMB5已知椭圆 M：+=1（ab0）的离心率为，焦距为 2斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

17、 - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第11页（共 22页）两个不同的交点 A，B（）求椭圆 M 的方程；（）若 k=1，求| AB| 的最大值；（）设 P （2，0） ，直线 PA与椭圆 M 的另一个交点为C ，直线 PB与椭圆 M 的另一个交点为 D若C，D 和点 Q（，）共线，求 k【解答】 解： （）由题意可知： 2c=2，则 c=，椭圆的离心率 e=，则 a=，b2=a2c2=1，椭圆的标准方程：；（）设直线 AB的方程为： y=x+m，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立，整理得： 4x2+6mx+3m23=0，=（6m）2443（m

18、21）0，整理得： m24，x1+x2=，x1x2=，| AB| =，当 m=0 时，| AB| 取最大值，最大值为；（）设直线 PA的斜率 kPA=，直线 PA的方程为： y=（x+2） ，联立，消去 y 整理得： （x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y123x1212x112）=0，由代入上式得，整理得： （4x1+7）x2+（124x12）x（7x12+12x1）=0，x1?xC=，xC=，则 yC=（+2）=，则 C（，） ，同理可得： D（，） ，由 Q（，） ，则=（，） ，=（，） ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

19、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第12页（共 22页）由与三点共线，则=，整理得： y2x2=y1x1，则直线 AB的斜率 k=1，k 的值为 16设常数 t2在平面直角坐标系xOy中，已知点 F（2，0） ，直线 l：x=t，曲线 ：y2=8x（0 xt，y0） l 与 x 轴交于点 A、与 交于点 BP、Q 分别是曲线 与线段 AB上的动点（1）用 t 表示点 B 到点 F的距离；（2）设 t=3，| FQ| =2，线段 OQ的中点在直线 FP上，求 AQP的面积；（3）设 t

20、=8，是否存在以 FP 、FQ为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E在 上？若存在，求点 P的坐标；若不存在，说明理由【解答】 解： （1）方法一：由题意可知：设B（t，2t） ，则| BF| =t+2，| BF| =t+2；方法二：由题意可知：设B（t，2t） ，由抛物线的性质可知： | BF| =t+=t+2，| BF | =t+2；（2）F（2，0） ，| FQ| =2，t=3，则| FA | =1，| AQ| =，Q（3，） ，设 OQ的中点 D，D（，） ，kQF=，则直线 PF方程： y=（x2） ，联立，整理得： 3x220 x+12=0，解得： x=，x=6（舍去） ，AQP的面

21、积 S= =；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第13页（共 22页）（3）存在，设 P（，y） ，E（，m） ，则 kPF=，kFQ=，直线 QF方程为 y=（x2） ，yQ=（82）=，Q（8，） ，根据+=，则 E （+6，） ，（）2=8（+6） ，解得： y2=，存在以 FP 、FQ为邻边的矩形 FPEQ ，使得点 E在 上，且 P（，） 7已知抛物线 C：y2=2px经过点 P （1，2） ，过点

22、Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点A，B，且直线 PA交 y 轴于 M，直线 PB交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O为原点，= ，=，求证：+为定值【解答】 解： （）抛物线 C：y2=2px经过点P（1，2） ，4=2p，解得 p=2，设过点（ 0，1）的直线方程为 y=kx+1，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第14页（共

23、 22页）联立方程组可得，消 y 可得 k2x2+（2k4）x+1=0，=（2k4）24k20，且 k0 解得 k1，且 k0，x1+x2=，x1x2=，又PA 、PB要与 y 轴相交，直线 l 不能经过点（ 1，2） ，即 k3，故直线 l 的斜率的取值范围（，3）（ 3，0）（ 0，1） ；（）证明：设点 M（0，yM） ，N（0，yN） ，则=（0，yM1） ，=（0，1）因为= ，所以 yM1=yM1，故 =1 yM，同理 =1 yN，直线 PA的方程为 y2=（x1）=（x1）=（x1） ，令 x=0，得 yM=，同理可得 yN=，因为+=+=+=2，+=2，+为定值名师资料总结 -

24、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第15页（共 22页）8设椭圆+=1（ab0）的右顶点为 A，上顶点为 B已知椭圆的离心率为，| AB| =（）求椭圆的方程；（）设直线 l：y=kx（k0）与椭圆交于 P，Q 两点， 1 与直线 AB交于点 M，且点 P，M 均在第四象限若 BPM的面积是 BPQ面积的 2 倍，求 k 的值【解答】 解： （1）设椭圆的焦距为 2c，由已知可得，又 a2=b2+c2，解得 a=3，b=2，椭

25、圆的方程为：，（）设点 P（x1，y1） ，M（x2，y2） ， （x2x10） 则 Q（x1，y1） BPM的面积是 BPQ面积的 2 倍， | PM| =2| PQ| ，从而 x2x1=2 x1（ x1） ，x2=5x1，易知直线 AB的方程为： 2x+3y=6由，可得0由，可得，?，? 18k2+25k+8=0，解得 k=或 k=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第16页（共 22页）由0可得 k，故 k

26、=，9设抛物线 C：y2=4x的焦点为 F，过 F且斜率为 k（k0）的直线 l 与 C交于 A，B两点， | AB| =8（1）求 l 的方程；（2）求过点 A，B且与 C的准线相切的圆的方程【解答】 解： （1）方法一：抛物线 C：y2=4x的焦点为 F（1，0） ，设直线 AB的方程为： y=k（x1） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则，整理得： k2x22（k2+2）x+k2=0，则 x1+x2=，x1x2=1，由| AB| =x1+x2+p=+2=8，解得： k2=1，则 k=1，直线 l 的方程 y=x1；方法二：抛物线C：y2=4x 的焦点为F（1，0） ，设直线

27、AB 的倾斜角为 ，由抛物线的弦长公式| AB| =8，解得： sin2= ，=，则直线的斜率 k=1，直线 l 的方程 y=x1；（2）由（1）可得 AB的中点坐标为 D（3，2） ，则直线 AB的垂直平分线方程为y2=（x3） ，即y=x+5，设所求圆的圆心坐标为（x0，y0） ，则，解得：或，因此，所求圆的方程为（x3）2+（y2）2=16 或（x11）2+（y+6）2=144名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - -

28、 - 第17页（共 22页）10设椭圆+=1（ab0）的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为，点 A 的坐标为（b，0） ，且| FB | ?| AB| =6（）求椭圆的方程；（） 设直线 l： y=kx （k0） 与椭圆在第一象限的交点为P， 且 l 与直线 AB交于点 Q 若=sinAOQ （O 为原点） ，求 k 的值【解答】 解： （）设椭圆+=1（ab0）的焦距为 2c，由椭圆的离心率为e=，=；又 a2=b2+c2，2a=3b，由| FB| =a，| AB| =b，且| FB | ?| AB| =6；可得 ab=6，从而解得 a=3，b=2，椭圆的方程为+=1；名师资料总结

29、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第18页（共 22页）（）设点 P的坐标为（ x1，y1） ，点 Q的坐标为（ x2，y2） ，由已知 y1y20；| PQ| sinAOQ=y1y2；又| AQ| =，且 OAB=，| AQ| =y2，由=sinAOQ ，可得 5y1=9y2；由方程组，消去 x，可得 y1=，直线 AB的方程为 x+y2=0；由方程组，消去 x，可得 y2=；由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=3，

30、两边平方，整理得56k250k+11=0，解得 k=或 k=；k 的值为或11已知椭圆 C：，直线 l：y=kx+1（k0）与椭圆 C相交于 A，B两点， D 为 AB的中点（1）若直线 l 与直线 OD（O 为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆 .的方程；（2）在（ 1）的条件下， y 轴上是否存在定点M 使得当 k 变化时，总有 AMO=BMO（O 为坐标原点） 若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】 解： （1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx3a2=0，显然 0，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，D（x0，y0） ，则，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下

31、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第19页（共 22页），=a2=8所以椭圆 C的方程为（2）假设存在定点 M，且设 M（0，m） ，由AMO=BMO 得 kAM+kBM=0即 y1x2+y2x1m（x1+x2）=0，2kx1x2+x1+x2m（x1+x2）=0由（1）知，m=4所以存在定点 M（0，4）使得 AMO=BMO12已知椭圆 ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4（）求椭圆 的标准方程；（）直线 l 与椭圆 交于 A，B 两

32、点， AB的中点 M 在圆 x2+y2=1上，求 AOB （O 为坐标原点）面积的最大值【解答】解： （） 根据题意，椭圆 ：的离心率为， 则， 得，所以，由椭圆 的四个顶点围成的四边形的面积为4，得 2ab=4，所以 a=2，b=1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第20页（共 22页）椭圆 的标准方程为（）根据题意，直线l 与椭圆 交于 A，B两点，当直线 l 的斜率不存在时，令 x=1，得，当直线 l

33、的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（x0，y0） ，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，则，所以，将代入 x2+y2=1，得，又因为=，原点到直线 l 的距离，所以=当且仅当 12k2=1+4k2，即时取等号综上所述， AOB面积的最大值为 113如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，两条准线之间的距离为 4（1）求椭圆的标准方程；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 22

34、 页 - - - - - - - - - 第21页（共 22页）（2）已知椭圆的左顶点为A，点 M 在圆 x2+y2=上，直线 AM 与椭圆相交于另一点B，且AOB的面积是 AOM 的面积的 2 倍，求直线 AB的方程【解答】 解： （1）设椭圆的焦距为 2c，由题意得，=，=4，解得 a=2，c=b=椭圆的方程为：+=1（2）AOB的面积是 AOM 的面积的 2 倍， AB=2AM，点 M 为 AB的中点椭圆的方程为：+=1A（2，0） 设 M（x0，y0） ，则 B（2x0+2，2y0） 由+=，+=1，化为：18x016=0，x0解得： x0=代入解得： y0=，kAB=，因此，直线 AB的方程为： y=（x+2） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第22页（共 22页）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -