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1、 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第二讲第二讲 复变函数的极限与连续性复变函数的极限与连续性学习要点学习要点掌握复变函数的概念掌握复变函数的概念掌握复变函数的极限与连续性掌握复变函数的极限与连续性 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换一一、复平面上的点集与区域复平面上的点集与区域 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换内点内点:对任意对任意z0属于点集属于点集E，若存在，若存在(z0,)，使该邻域内的所有点都属于使该邻域内的所有点都属于E，则称，则称z0 是点集
2、是点集E的内点。的内点。开集开集:若若E内的所有点都是内的所有点都是 它的内点，则称它的内点，则称E是是 开集。开集。边界与边界点边界与边界点:设有点设有点P，若点，若点P的任何邻域的任何邻域 中既有属于都包含中既有属于都包含E中的点又有不属于中的点又有不属于 E的点，则称的点，则称P是是E的边界点；点集的边界点；点集E的的 所有边界点的集合称为所有边界点的集合称为E的边界的边界内点内点外点外点P 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换点集点集 E 的聚点的聚点 P 可能属于可能属于E 也可能不属于也可能不属于E 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积
3、积分分变变换换区域区域 设设 D是一个开集，且是一个开集，且D连通，即连通，即D中任中任 任意两点均可用完全属于任意两点均可用完全属于D的连线连起的连线连起 来，称来，称 D是一个区域。是一个区域。有界区域与无界区域有界区域与无界区域 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换区域的例子区域的例子:哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换二、简单曲线（或二、简单曲线（或Jardan曲线曲线)哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换简单闭曲线简单闭曲线不是简单闭曲线不是简单闭曲线 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函
4、函数数与与积积分分变变换换z(a)=z(b)约当定理约当定理（简单闭曲线的性质）简单闭曲线的性质）任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线C：z=z(t)，ta，b，把复平面唯一地分成两个互不相交的部分：把复平面唯一地分成两个互不相交的部分：内部内部外部外部边界边界C是它们的公共边界。是它们的公共边界。Cz(a)=z(b)一个是有界区域，称为一个是有界区域，称为C的内部；的内部；一个是无界区域，称为一个是无界区域，称为C的外部的外部.哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换单连通域与多连通域单连通域与多连通域复平面上的一个区域复平面上的一个区域 D，如果，如果D内的任何简单内
5、的任何简单闭曲线的内部总在闭曲线的内部总在D内，就称内，就称 D为单连通域；为单连通域；非单连通域称为多连通域。非单连通域称为多连通域。多连通域多连通域单连通域单连通域例如例如|z|0）是单连通的；是单连通的；0r|z|R是多连通的。是多连通的。哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换三、复变函数三、复变函数 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例3 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换四、映射四、映射复变函数的几何表示复变函数的几何表示oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)定义域定义域函数值集合函数
6、值集合zw=f(z)w 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）F 函数，映射，变换都是一种对应关系的函数，映射，变换都是一种对应关系的 反映，是同一概念。反映，是同一概念。分析中，两个变量之间的对应关系称为函数；分析中，两个变量之间的对应关系称为函数；几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；几何中，两个变量之间的对应关系称为映射；代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；代数中，两个变量之间的对应关系称为变换；以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。哈哈尔尔滨滨工工程程大大
7、学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换F 实变量的实函数的性质往往可以通过它们实变量的实函数的性质往往可以通过它们 的图形表示出来。但当的图形表示出来。但当w=f(z)是复变量时，是复变量时，就不容易找出方便的图形，这是因为就不容易找出方便的图形，这是因为z和和w 在一个平面上，而不是一条直线上在一个平面上，而不是一条直线上,因此，分别在两个平面上画出它们。因此，分别在两个平面上画出它们。哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例5解解关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射oxy(z)uv(w)o 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分
8、变变换换x、uy、v(z)、(w)o例例6解解旋转变换旋转变换(映射映射)哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例7 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换2)所以所以z平面的曲线映成平面的曲线映成w平面的直线平面的直线3)所以所以z平面的直线映成平面的直线映成w平面的抛物线平面的抛物线 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积
9、积分分变变换换反函数反函数 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换五、复变函数的极限五、复变函数的极限注意：注意：哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例1 试求下列函数的极限试求下列函数的极限.哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例2证证不存在不存在 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换复变函数的极限四则运算法则：复变函数的极限四则运算法则：哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换六、复变函数的连续性六、复变函数的连续性定理定理4 连续函数的和、差、积、连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续；商（分母不为零）仍连续；连续函数的复合函数仍连续。连续函数的复合函数仍连续。哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例3 闭区域上的连续复变函数在该区域上有界闭区域上的连续复变函数在该区域上有界.哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换请预习请预习复变函数的导数与解析函数复变函数的导数与解析函数谢谢同学们，再见。谢谢同学们，再见。