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1、自动控制原理4 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1 引言引言l什么是根轨迹？闭环系统的特征根随某参数变化时的轨迹线背景：特征根（极点）重要性方法：作图的方法求根条件：已知系统的开环传递函数l例：二阶系统的方块图如下+-R(s)C(s) 1( ssk则：开环传递函数：闭环传递函数：闭环特征根：l根轨迹？当) 1()(ssksG1)(sH) 1()()(ssksHsGkssksM2)(ks4121212, 10:kjjsjjsk5 . 05 . 05
2、. 05 . 015 . 05 . 05 . 05 . 002141021j00k0k41k21k21kkkl其中：l分析根轨迹图，当l根轨迹：以k为参变量，当 变化时，闭环极点在复平面上的轨迹k21kn欠阻尼趋于无穷沿欠阻尼一对共轭复根临界阻尼两个相等负实根过阻尼两个不等负实根21-s:41:41:410kkkk0:k2 根轨迹的定义与幅值、相角条件根轨迹的定义与幅值、相角条件l开、闭环传递函数的零、极点关系开环传递函数：闭环传递函数：gjjfiiHejjciiGPsZskPsZsksHsG1111)()()()()()(前向通路增益Gk反馈通路增益Hk）根轨迹增益（开环增益HGrkkkci
3、fiiikgjjejjcigjjiGZsskkPsPsPsZsksHsGsGsMHGr11)(1111)()Z()()()()()()(1)()(闭环传递函数的三个要素：l闭环增益：为前向通路增益；l闭环零点：为前向通路的零点+反馈通路的极点；l闭环极点：与开环零点、开环极点以及开环增益均有关 根轨迹的定义根轨迹的定义 l特征方程：l定义：当参数Kr变化时，特征方程的根在复平面上形成的轨迹为根轨迹。其中l本课程只讨论主根轨迹0)()(0)()(1)()(11111njjmiirnjjmiirpszskpszsksHsG或：全根轨迹补根轨迹）主根轨迹（常规根轨迹rrrkkk00 根轨迹的幅值、相
4、角条件根轨迹的幅值、相角条件l幅值条件：l相角条件：l根轨迹上点的必须满足幅值、相角条件。反之亦然1)()(11njjmiirpszsksHsG, 2, 1, 0) 12()()()()(11kkpszssHsGminjjil例)()()()(211pspszsksHsGr3 根轨迹的绘制根轨迹的绘制（1）根轨迹的起点和终点）根轨迹的起点和终点l起点：对应于l终点：对应于l根轨迹起始于开环传递函数的极点，终止于开环传递函数的零点。零点包括m个有限零点和(n-m)个无限零点。l有限零点：l无限零点：0rkrk(2) 根轨迹的分支数根轨迹的分支数l根轨迹的分支数等于开环传递函数的极点数(3) 根轨
5、迹的对称性根轨迹的对称性l根轨迹对称于实轴(4) 根轨迹的渐近线（对应于根轨迹的渐近线（对应于n-m个无限零点个无限零点的方向）的方向）l根轨迹的渐近线共有n-m条，且相交于实轴上的同一点。l渐近线与实轴的交点：l渐近线与实轴的夹角：一般而言，渐近线与实轴的夹角：n-m=1 n-m=2n-m=3mnzpnjmiij 11)()(1)( , 2 , 1 , 0) 12(mnkmnk(5) 根轨迹在实轴上的分布根轨迹在实轴上的分布l实轴上凡有根轨迹的线段，其线段右侧的开环零点、极点数目之和必为奇数。例例1l系统的开环传递函数为：l解：l1 起点：0，-1， -2 终点： ， ，l2 分支数：3条(
6、n=3)l3 对称性：对称于实轴l4 渐近线（3条）：l交点l夹角l5 实轴上根轨迹的分布：在 之间)2)(1()()(sssksHsGr130)210()()(11 mnzpnjmiij60180602 , 1 , 03) 12() 12(321kkmnk2, 10根轨迹图根轨迹图-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52-3-2-10123Real AxisImag Axis0rk0rk0rkrkrkrk(6) 根轨迹的分离点与会合点根轨迹的分离点与会合点l定义：根轨迹的分离点或会合点是指特征方程重根重根的位置 分离点 会合点l计算分离点或会合点的必要条件l根轨迹在分离点或会合
7、点的角度njjmiipszssHsGdssHsGdsQ111111)()()()(0)()()(1, 1 , 0:) 12(NkNNk重根数其他计算方法：其他计算方法：l方法一：l方法二：综合除法l在实轴上的分离点与会合点l相邻的两开环极点间，至少有一分离点；l相邻的两开环零点间，至少有一会合点；l一对开环零、极点间，要么既有分离点，也有会合点；要么即无分离点，也无会合点。)(1111取为零没有有限零点公式左端minjjipszs(7) 根轨迹在开环复极点和复零点的出射角与根轨迹在开环复极点和复零点的出射角与入射角入射角l根据相角条件，根轨迹的出射（入射）角应满足：l在开环复极点的出射角：l在
8、开环复零点的入射角：, 2 , 1 , 0) 12()()(1111kkpszsnjjmiinjjmiinpjjjmiipk11) 12(mziiinjjzk11) 12(8) 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点l两种求解方法：l用特征方程的实部、虚部方程求解（ ）。l用劳斯表求解。l例2l解l极点：s1=0, s2=-3, s3=-1+j, s4=-1-j；有限零点：无l渐近线（n-m=4条）与实轴夹角：与实轴交点：l实轴上的根轨迹：0，-3之间)22)(3()()(2ssssksHsGr135,45) 12(mnk25. 1)()( mnzpijjs l分离点解得分离点为： s=-2.3
9、l出射角 得l根轨迹与虚轴的交点l用特征方程求解 令 特征方程： 实部方程： 虚部方程： 解得0)()()(11dssHsGdsQ6 .71)()()() 12(432313zzppppppkjs 02)(2)()3(12jjjjkr0824rk065316. 8)(01 . 132, 1rk舍去根轨迹图根轨迹图0rkrk02)(2)()3(12jjjjkrjs 16. 8)(01 . 132, 1rk舍去-4-3-2-1012-4-3-2-101234Real AxisImag Axis-p1-p3-p2-p4 用劳斯表求解与虚轴的交点用劳斯表求解与虚轴的交点与虚轴相交表示有一对虚根，虚根的
10、出现则在劳斯表中有首列的零元素求解方法：辅助方程上例中的特征方程：令 首项元素为零：辅助方程：0685234rkssssrrrrkskskssks01234342520453465811 . 10)(5342rkj16. 803425204rrkk1s(9) 根轨迹的走向根轨迹的走向l根轨迹图在复平面上保持左、右均衡l若 ，所有闭环极点之和等于开环极点之和。开环极点闭环极点:)()(11jrnrnjjrppconstpp2mn(10) 根轨迹上根轨迹上Kr的计算的计算l利用幅值条件，可以确定根轨迹上任意一点s所对应的kr值。无有限零点，上式中分母取为1。所引向量长度之积从开环零点至所引向量长度
11、之积从开环极点至sszspssHsGkmiinjjr11)()(14 根轨迹的应用根轨迹的应用l基于根轨迹图的系统性能分析l稳定性l稳态特性l动态特性l例3：系统开环传递函数解极点：0， -4， -6 零点：无渐近线：3条交点夹角分离点： 得 )6)(4()()(sssksHsGr33. 330)640(180,603) 12(k061411)(ssssQ)( 1 . 5),17(57. 121舍去sksrl与虚轴交点：特征方程 令得l根轨迹图0)6)(4(rkjjjjs)(0k0,2409 . 4r舍去rk-8-7-6-5-4-3-2-10123-15-10-5051015Real Axis
12、Imag AxisBAoC60l稳定性分析 要求-闭环极点（特征根）都在左半平面，系统稳定。 因为， 当kr=240，根轨迹与虚轴相交 所以， 当kr240，系统是稳定的l稳态特性分析 在kr240的前提下，kr越大，稳态误差越小l动态特性分析l0kr17, 系统为三个一阶环节（实根）的串联，无振荡输出（过阻尼）l17kr240, 系统有一对复根，有振荡输出（欠阻尼）l计算 的kr值及动态特性：过原点，作角度为 的射线与根轨迹相交由图可得， OA=2.4, AB=5.3, AC=3.5即S1,2为主导极点，系统的动态特性可用二阶系统近似。所以，当 ，系统的动态指标为 5 . 060cos15 .441ACABOAkr6 . 7; 1 . 22 . 132, 1sjs5 . 0stsp9 . 1%3 .12 开环零、极点的增加及移动对根轨迹的开环零、极点的增加及移动对根轨迹的影响影响l增加开环极点增加开环极点 开环传递函数在左半平面增加极点，会使原根轨迹向右移动，系统稳定性变差。l增加开环零点增加开环零点 开环传递函数在左半平面增加零点，会使原根轨迹向左移动，系统稳定性变好。l移动开环极点移动开环极点 左移开环极点，根轨迹左移，稳定性变好 右移开环零点，根轨迹右移，稳定性变差