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1、第第1313讲讲系统相对稳定性（稳定裕度）15.4.1相位（角）裕度和增益裕度相位（角）裕度和增益裕度图5-46 的极坐标图 对于对于K K值比较大时值比较大时，系统系统可能不稳定。可能不稳定。当增益增大到一定值时，当增益增大到一定值时，的轨迹通过的轨迹通过-1+j0-1+j0点。对于小点。对于小的的K K值，系统是稳定的。值，系统是稳定的。的的轨迹靠近轨迹靠近-1+j0-1+j0点的程度，可以用来度量稳定点的程度，可以用来度量稳定程度程度(对条件稳定系统不适用对条件稳定系统不适用)。在实际系统中常用在实际系统中常用相位裕量相位裕量和和增益裕量增益裕量表示。表示。5.4 系统相对稳定性系统相对
2、稳定性2ba-110jr1/h若系统的开环幅相曲线如图：若系统的开环幅相曲线如图：a点：但b点：但若a点沿着单位圆顺时针转过r角，则 同时成立。若b点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则 同时成立 定义相角裕度为a点剪切频率 定义幅值裕度为b点相角交越频率稳定裕度的定义稳定裕度的定义3相位裕度、相角裕度相位裕度、相角裕度(Phase Margin)设系统的剪切频率设系统的剪切频率(Gain cross-over frequency)为为相角裕度定义：相角裕度定义：开环频率特性在剪切频率处所对应的相角与开环频率特性在剪切频率处所对应的相角与1800之差，称之差，称为相角裕度。即：为相角裕度。
3、即：相角裕度的含义：相角裕度的含义：则系统将变为临界稳定。则系统将变为临界稳定。对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度。度。当 时，相位裕度为正值；时，相位裕度为正值；为了使最小相位系统稳定，为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点:幅值为0分贝，相角为时，相位裕度为负值。时，相位裕度为负值。当45增益裕度、幅值裕度增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)设系统的相位穿越频率设系统的相位穿越频率(Phase cross-over frequency)定义幅值裕度为：定义幅值裕度为：幅值裕度幅值裕度对于闭环稳
4、定系统，如果系统开环幅频特性再增大对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大 倍倍，则则系统将变为临界稳定状态。系统将变为临界稳定状态。的含义是的含义是：若以分贝值表示，则有若以分贝值表示，则有增益裕度为正值；增益裕度为正值；或或正增益裕度表示系统是稳定的；负增益裕度表示系统是不稳定正增益裕度表示系统是稳定的；负增益裕度表示系统是不稳定的。的。(最小相位系统最小相位系统)若若增益裕度为负值。增益裕度为负值。若若 或或67ba-110jr1/h若系统的开环幅相曲线如图：a点：但b点：但若a点沿着单位圆顺时针转过r角，则 同时成立。若b点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则 同时成立 定义相
5、角裕度为a点剪切频率 定义幅值裕度为b点相角交越频率稳定裕度的定义稳定裕度的定义8Stable SystemUnstable SystemBodeBode图上相位裕度与幅值裕度表示图上相位裕度与幅值裕度表示9Stable SystemUnstable System10判断系统稳定的又一方法11一阶或二阶系统的增益裕度为一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大无穷大，因为这类系统的极，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，从理论上讲，一阶或二阶系坐标图与负实轴不相交。因此，从理论上讲，一阶或二阶系统不可能是统不可能是不稳定的不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，这当然，一阶或二
6、阶系统在一定意义上说只能是近似的，这是因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此是因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果涉及这些小的滞后，它们不是真正的一阶或二阶系统。如果涉及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳定的。对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，统稳定，增益应当减少多少增益应当减少多少。一阶或二阶
7、系统的增益裕度为多少？一阶或二阶系统的增益裕度为多少？125.4.2关于相位裕度和增益裕度的几点说明关于相位裕度和增益裕度的几点说明 控制系统的控制系统的相位裕度相位裕度和和增益裕度增益裕度是系统的极坐标图对是系统的极坐标图对-1+j0-1+j0点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为系统设计准则。点靠近程度的度量。这两个裕度可以作为系统设计准则。仅仅用用增益裕度增益裕度和和相位裕度相位裕度，都不足以说明系统的相对稳定性。，都不足以说明系统的相对稳定性。为了确定系统的为了确定系统的相对稳定性相对稳定性，必须同时给出这两个量。，必须同时给出这两个量。对于最小相位系统，只有当对于最小相位系统，只有当相
8、位裕度和增益裕度都是正值相位裕度和增益裕度都是正值时，时，系统才是稳定的系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的不良影响，并且指明了频率值。的不良影响，并且指明了频率值。工程中为了得到满意的性能，相位裕度应当在工程中为了得到满意的性能，相位裕度应当在 之之间，增益裕度应当大于间，增益裕度应当大于6 6分贝。分贝。13最小相位系统临界稳定时最小相位系统临界稳定时G(jw)曲线过曲线过(-1,j0)点，点，该点：该点：同时成立同时成立同时成立同时成立-110j临界稳定的特点
9、：临界稳定的特点：14例例5-9 一单位反馈系统的开环传递函数为一单位反馈系统的开环传递函数为K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度解：即 相位穿越频率增益裕度15 在在处的开环对数幅值为处的开环对数幅值为16根据根据K=1时的开环传递函数时的开环传递函数 相位裕度相位裕度增益穿越频率增益穿越频率截止频率截止频率 17 由题意20logh=20dB知：验证是否满足相位裕度的要求。验证是否满足相位裕度的要求。根据根据的要求，则得的要求，则得：不难看出不难看出，就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。就能同时满足相位裕度和增益裕度的要
10、求。1819例5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50所示(最小相位系统)。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的，则求时的稳态误差。解：2021由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知在在处处则得单位斜坡输入时，系统的稳态误差为单位斜坡输入时，系统的稳态误差为 0 0 系统稳定系统稳定225.6 标准二阶系统中阶跃标准二阶系统中阶跃时间响应与频率响应之时间响应与频率响应之间的关系间的关系在图在图3-8所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超所示
11、的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性与在时间响应从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性与在时间响应中包含的系统的动态特性信息是相同的。中包含的系统的动态特性信息是相同的。设截剪切频率设截剪切频率则有则有23 根据相位裕度的定义 上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。24图图5-515-51标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系25相位裕度与阻尼比直接相关相位裕度与阻尼
12、比直接相关。对于标准二阶系统，相位裕度与阻尼比之间的关系对于标准二阶系统，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：近似地用直线表示如下：因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定的高阶系统，根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。对于小的阻尼比，谐振频率与有阻尼自然频率的值几乎是对于小的阻尼比，谐振频率与有阻尼自然频率的值几乎是相同的。因此，对于小的阻尼比，谐振频率的值表征了系相同的。因此，对于小的
13、阻尼比，谐振频率的值表征了系统瞬态响应的速度。统瞬态响应的速度。265.6.2截止频率与带宽截止频率与带宽(Cutoff frequency and bandwidth)图5-53 截止频率与系统带宽当闭环频率响应的幅值下当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下降到零频率值以下3分贝分贝时，对应的频率称为时，对应的频率称为截止截止频率。频率。对于系统 闭环系统滤掉频率大于截止频率的信闭环系统滤掉频率大于截止频率的信号分量，但是可以使频率低于截止频率的号分量，但是可以使频率低于截止频率的信号分量通过。信号分量通过。闭环系统的幅值不低于闭环系统的幅值不低于-3-3分贝时，对分贝时，对应的频率范围称为
14、系统的应的频率范围称为系统的带宽带宽。27二阶系统的闭环传递函数：频率特性：由带宽的定义得：28带宽指标取决于下列因素：带宽指标取决于下列因素：1、对输入信号的再现能力。对输入信号的再现能力。大的带宽对应于小的上升时间，即对应于快速特性。粗大的带宽对应于小的上升时间，即对应于快速特性。粗略地说，带宽与响应速度成反比。略地说，带宽与响应速度成反比。2 2、对高频噪声必要的滤波特性。对高频噪声必要的滤波特性。为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具为了使系统能够精确地跟踪任意输入信号，系统必须具有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。有大的带宽。但是，从噪声的观点来看，带宽不应当太大。因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考因此，对带宽的要求是矛盾的，好的设计通常需要折衷考虑。具有较大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件虑。具有较大带宽的系统需要高性能的元件，因此，元件的成本通常随着带宽的增加而增大。的成本通常随着带宽的增加而增大。2930谢谢！结束31