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1、中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第1节 等腰三角形的存在性 方法点拨“两圆一线”得坐标：（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB几何法：（1）两圆一线作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线 段长得点坐标代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；（3）分类讨论AB=AC、AB=BC、AC=BC；（4）列出方程求解 例题演练 例1如图，抛物
2、线yax2x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B（1，0），且抛物线经过点D（2，2）（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上位于x轴下方的一点，且SACESABC，求E的坐标；（3）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标【解答】解：（1）把B（1，0），D（2，2）代入yax2x+c得，解得：故抛物线的解析式为yx2x2；（2）当y0时，x2x20，解得x11，x23，A（3，0），AB4，当x0时，y2，C（0，2），OC2，SABC424，设AC的解析式为ykx+b，把A（3，0），C（0，2）代入ykx+b得，解得yx2
3、，如图1，过点E作x轴的垂线交直线AC于点F，设点F（a，a2），点E（a，a2a2），其中1a3，SACEEF|a2a|，SACESABC，a23a2或a2+3a2，解得a1（舍去），a2，a31，a42，E1（，），E2（1，），E3（2，2）；（3）在yax2+bx2中，当x0时，y2，C（0，2），OC2，如图2，设P（0，m），则PCm+2，OA3，AC，当PACA时，则OP1OC2，P1（0，2）；当PCCA时，即m+2，m2，P2（0，2）；当PCPA时，点P在AC的垂直平分线上，则AOCP3EC，P3C，m，P3（0，），当PCCA时，m2，P4（0，2）综上所述，P点的坐标（
4、0，2）或（0，2）或（0，）或（0，2）例2已知抛物线与x轴交于点A（2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位记平移后的抛物线为y，若抛物线y与原抛物线对称轴交于点Q点E是新抛物线y对称轴上一动点，在（2）的条件下，当PQE是等腰三角形时，求点E的坐标【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（2，0）、B（3，0），可设抛物线的解析式为：ya（x+2）（x3）（a0），把C（0，4）
5、代入ya（x+2）（x3）（a0）中，得46a，a，抛物线的解析式为：y，即y+；（2）设P点的坐标为（t，），过点P作PMx轴，与BC交于点M，如图1，设直线BC的解析式为ykx+b（k0），则，解得，直线BC的解析式为：y，M（t，），t2+3t，S四边形ABPCSAOC+SBOC+SBPC，当t时，S四边形ABPC的最大值为，此时P点的坐标为（，）；（3）将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位记平移后的抛物线为y，y的解析式为y（x）2+（x）+42，即yx2+x+，抛物线y的对称轴为x1，抛物线y+（x）2+，抛物线y+的对称轴为直线x，把x代入yx2+x+，中，得y2，Q点的坐标
6、为（，2），设E的坐标为（1，n）当PEQE时，则PE2QE2，即，解得，n，E（1，）（不合题意舍弃，此时P，E，Q共线），当PQQE时，则PQ2QE2，即，解得，n2，E点的坐标为（1，2+）或（1，2）；当PQPE时，则PQ2PE2，即，解得，n，点E的坐标为（1，）或（1，）综上，当PQE是等腰三角形时，点E的坐标为（1，2+）或（1，2）或（1，）或（1，）例3在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（，0），tanACO（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E
7、，连接BD，记BDE的面积为S1，ABE的面积为S2，求的最大值；（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C处，且OCOC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当CBM为以CB为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标【解答】解：（1）A（，0），AO|，tanACO，CO3，C（0，3），将A、C的坐标代入yax2+x+c得，抛物线的解析式为：yx2+x+3；（2）如答图1，过D作DGx轴于点G，交BC于F，过A作AKx轴交BC延长线于K，设直线BC解析式为：ykx+b，由（1）yx2+x+3得B（ 3，0），将B（ 3，0）、C（0，3）分别代入ykx+b得：，解得，直线BC解析式为
8、：yx+3，A（，0），故K的横坐标xk，代入yx+3得yk4，K（，4），AK4，设D（m，m2+m+3），则F（m，m+3），DFm2+m，DGx轴于点G，AKx轴，AKDG，AKEDFE，将BDE、ABE分别看作DE、AE为底边，则它们的高相同，m2+m（m）2+，m时，有最大值，最大值为；（3）如答图2，连接OC，过C作CFy轴于F，由抛物线的解析式yx2+x+3知其顶点为（，4），OC3，OB3，tanBCO，BC6，BCO60，OCOC，COC是等边三角形，CC3，BC3，RtCFC中可得CF，CF，原抛物线的平移是相当于向右平移个单位再向下平移个单位，且FO，平移后抛物线顶点为（
9、，），对称轴是x，C（，），M在平移后抛物线的对称轴上，设M（，m），又CBM为以CB为腰的等腰三角形，可分两种情况：CM，CB3，则3，解得m或m，M（，）或M（，），BMCB3，则，解得m或m，M（，）或M（，），综上所述，CBM为以CB为腰的等腰三角形，则M（，）或M（，）或M（，）或M（，），故答案为：M（，）或M（，）或M（，）或M（，）例4如图，抛物线yax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q过点P作PGAC于点G（1）求抛
10、物线的解析式（2）求PQG周长的最大值及此时点P的坐标（3）在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+3过点B（2，0），对称轴为直线x，解得，yx2x+3（2）令y0，即x2x+30，x13，x22，A（3，0），令x0，得C（0，3），直线AC经过A（3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：ykx+b，则，直线AC的解析式为yx+3，BAO45，PHAO，PGAB，AQHPQGQPG45，PQG是等腰直角三角形，设P（m，m2m+3），Q（m，m+3），
11、PQm2m+3m3m2m，当m时，PQmax，此时P（，），PQG是等腰直角三角，PQG周长m2m+（m2m），（+1）（m2m），（+1）PQ，PFG周长的最大值为：（+1）（3）B（2，0），C（0，3），Q（m，m+3），由两点间距离公式可求得：CQ22m2，CB213，BQ22m2+2m+13，当CQCB时，2m213，m1（舍去），m2，Q1（，+3）；当BQCB时，2m2+2m+1313，m10（舍去），m21，Q2（1，2）；当CQBQ时，2m2+2m+132m2，2m+130，m，Q3（，）（不合题意舍去），综上所述，当Q1（，+3），Q2（1，2）时，以B，C，Q为顶点的三角
12、形是等腰三角形练1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），直线BC的解析式为yx+3（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作ADBC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；（3）在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，将抛物线向左平移1个单位，记平移后C、E的对应点分别为C、E，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使以C、E、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）将x0，y0分别代入yx+
13、3，得：B（3，0），C（0，3），抛物线过点B、点C，将其分别代入抛物线yx2+bx+c，得：，解得：，该抛物线得解析式为：yx22x+3；（2）如图，设DC交x轴于点F，过点E作EGy轴交BC于点G，将y0代入抛物线yx22x+3得：A （1，0），因为ADBC，可得直线AD的表达式为：yx1，联立可得D （4，5）， 由C（0，3）D（4，5）得直线CD的表达式为：y2x+3，F（），则BF，设E（x，x22x+3），则G（x，x+3）EG（x22x+3）（x+3）x23x，四边形BECD的面积 SSEBC+SBCDEG，S有最大值， 当时，S的最大值为，此时点E的坐标为（）；（3）存在
14、，由题知平移后E（，），C（1，3），设M点的坐标为（2，y），当MEMC时，ME2MC2，即（2+）2+（y）2（2+1）2+（y3）2，解得y，M1（），当CEEM时，CE2EM2，即（+1）2+（3）2（2+）2+（y）2，解得y1，y2，M2（2，），当CEMC时，同理得（+1）2+（3）2（2+1）2+（y3）2，解得y33+，y43， 综上M1（），M2（2，），练2.如图，抛物线yax2+bx+与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与直线交于点A，C，其中A（7，0），C（1，6）（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图，P为直线AC上方抛物线上的动点，过P作PQAC于Q，当PQ
15、的长度最大时，在x轴上取两个动点M、N，使MN2，连接PM、CN，求PM+MN+NC的最小值；（3）如图，抛物线的对称轴与x轴交于点D，将直线AC向下平移一个单位得到直线AC，直线AC与抛物线的对称轴交于点G，将ADG绕点A顺时针旋转（0180），旋转过程中的ADG记为ADG，设直线DG交直线AC于点T，当AGT为等腰三角形时，直接写出T的坐标【解答】解：（1）抛物线yax2+bx+经过A（7，0），C（1，6），解得：，抛物线解析式为yx23x+；设直线AC的解析式为ymx+n，将A（7，0），C（1，6）代入，得：，解得：，直线AC的解析式为：yx+7；（2）设P（t，t23t+），如图，
16、作PEy轴交直线AC于E，设直线AC与y轴交于D（0，7），E（t，t+7），PEt23t+（t+7）t24t，A（7，0），D（0，7），OA7，OD7，AC7，PEy轴，PEQADO，PQAC，PQEAOC90，PQEAOC，即，PQ（t24t）t22t（t+4）2+，0，7t1，当t4时，PQ有最大值，此时P（4，）；作点C关于x的对称点C，则C（1，6），将C点向左平移2个单位得C，则C（3，6），连接PC则PC与x轴交于点M则PM+MN+CNPC+2，PC，PM+MN+NC的最小值为+2；（3）yx23x+（x+3）2+8，抛物线对称轴为x3，G（3，3），D（3，0），AD4，DG
17、3，AG5，由旋转知：ADAD4，DGDG3，AGAG5，AGT为等腰三角形，AGGT或AGAT或GTAT，当AGGT时，如图，过点T1作T1Kx轴于K，过T2作T2Lx轴于L，GT1AG5，GT2AG5，AT14，T1AK45，AKT1K42，T1（7+2，2），同理可得：AT2，ALT2L2，T2（7，）；当AGAT时，如图，ATAG5，作TKx轴于K，TAK45，AKTK5，T（7，）；当GTAT时，如图，过点T作作TKx轴于K，设ATx，则DTx3，AD2+DT2AT2，42+（x3）2x2，解得：x，AT，AKTK，T（7，）；综上所述，点T的坐标为（7+2，2），（7，），（7，）
18、，（7，）练3.如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于点A（），与y轴交于点B（0，2），若该函数与x轴的另一个交点C满足OC3OA，抛物线顶点为D（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，连接BC，若点Q是直线BC下方抛物线上的动点，过点Q作QEBC于点E，作QFx轴交BC于点F，求线段EF长度的最大值；（3）如图2，将抛物线沿直线DO平移，点D平移后的对应点为D，直线x与x轴相交于点M，与平移中的抛物线相交于点N，当DMN是以MN为底边的等腰三角形时，请直接写出D的坐标【解答】解：（1）A（），OC3OA，故点C的坐标为（3，0），设抛物线的表达式为ya（x+）（x3），将
19、点B的坐标代入上式得：2a（3），解得a，故抛物线的表达式为yx2x2； （2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为yx2，则tanOCB，则sinOCB，设QF交x轴于点H，EQF90EFQ90HFCHCFOCB，sinEQFsinOCB，设点Q的坐标为（t，t2t2），点F（t，t2），则EFFQsinEQF（t2）（t2t2）（t2+t），0，故EF有最大值，当t时，EF的最大值为； （3）对于yx2x2，则函数的对称轴为x，当x时，yx2x2，故点D的坐标为（，），由点O、D的坐标得，直线OD的表达式为yx，则抛物线沿直线OD运动时，向上平移8m个单位，向左平移3m个单位，故点D的坐
20、标为（3m，8m），则平移后的抛物线表达式为y（x+3m）2+8m，当x时，y（x+3m）2+8m6m2+8m，故点N的坐标为（，6m2+8m），由图（2）知，DMN是以MN为底边的等腰三角形时，点D在MN的中垂线上，即（6m2+8m）8m，解得m，故点D的坐标为（，）练5.抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当点P运动到什么位置时，四边形CDBQ的面积最大？求出四边形CDBQ的最大面积及此时P点的坐标；（3）
21、如图2，设抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，平移后的抛物线的顶点为M，当CBM是等腰三角形时，求t的值【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为yx2+x+2； （2）对于yx2+x+2，令yx2+x+20，解得x1或4，故点B的坐标为（4，0），抛物线的对称轴为直线x，故点D的坐标为（，0），则BD4，由点B、C的坐标得：直线BC的表达式为yx+2，设点Q的坐标为（x，x2+x+2），则点P的坐标为（x，x+2），设四边形CDBQ的面积为S，则SSBCD+SBCQBDCO+PQOB2+4（x2+x+2+x1）x2+4x+，
22、10，故S有最大值，当x2时，S即四边形CDBQ的面积取得最大值为，此时，点P的坐标为（2，3）； （3）由抛物线的表达式知，点M的坐标为（，），抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，即运动了t个单位，由直线BC的表达式知，此时点M向右平移了2t个单位向下平移了t个单位，则点M（+2t，t），由点M、B、C的坐标知，MB2（+2t4）2+（t）2，同理可得，BC220，CM2（+2t）2+（t4）2，当MBBC时，则（+2t4）2+（t）220，解得t（不合题意的值已舍去）；当MBCM时，（+2t4）2+（t）2（+2t）2+（t4）2，解得t0.625；当BCCM时，20（+2t）2+（t4）2，解得t（不合题意的值已舍去）；故t或0.625或