《中考数学 专题12 存在性-相似三角形（解析版）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学 专题12 存在性-相似三角形（解析版）.doc（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第12节 相似三角形的存在性 方法点拨三角形相似的判定方法、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角
2、形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似 例题演练1如图已知抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x1，P为顶点（1）求出点B的坐标及抛物线的表达式；（2）在x轴上是否存在点M，使得MOC与BCP相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意，解得，抛物线的解析式yx22x+3，令y0，则x22x30，解得x1或3，B（3，0） （2）存在如图，连接PB，PCB（3，0），P（1，4），C（0，3），BC3，PC，PB2，PB2PC2+CB2，PCB90，PC：BC：31：3，当MO：OC1：3或OC：MO1：3时，C
3、OM与BCP相似，OM1或9，满足条件的点M的坐标为（1，0）或（1，0）或（9，0）或（9，0）2如图所示，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3），其对称轴x1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点（1）求抛物线的表达式（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BCEC（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与ABC相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）yx2+bx+c与y轴相交于点C（0，3），将点C（0，3）代入可得：c3，又对称轴，b2，即抛物线的表达式为yx22x3；（2）对称轴为x1，代入抛物线表
4、达式得y1234，即点M（1，4），设直线CM的表达式为ykx+n，把点C（0，3），M（1，4）代入解得k1，n3，CM的表达式为yx3，点E在x轴上，即纵坐标y0，此时x3，E（3，0），由平面直角坐标系的可知：OEOCOB3，EOCBOC90，EOCBOC（SAS），ECBC；（3）存在，点P在线段EM上，可设P（t，t3），如图1所示，作PNx轴于N，PNt+3，MNOEON3+t，由勾股定理可知PE（t+3），BC，又ABOA+OB4，由（2）可知EOCBOC，OECOBC，当PEOABC时，即，解得t1，即点P的坐标为（1，2），当PEOCBA时，解得t，即点P的坐标为（，），综上
5、P的坐标为（1，2）或（，）3如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（4，0）和点B（3，2），点C是函数图象与y轴的公共点、过点C作直线CEAB（1）求这个二次函数的解析式；（2）求直线CE的表达式；（3）如果点D在直线CE上，且四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标；（4）若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）二次函数图象经过点A（4，0）和点B（3，2），则，解得，所求二次函数的解析式为yx2x2； （2）直线AB的表达式为y2
6、x8，CEAB，设直线CE的表达式为y2x+m又直线CE经过点C（0，2），直线CE的表达式为y2x2； （3）设点D的坐标为（x，2x2）四边形ABCD是等腰梯形，ADBC，即3解得x1（舍去）或，点D的坐标为（，）； （4）设点P的坐标为（x，x2x2），当P是抛物线上x轴上方的一动点，则PMx2x2，则AM|x4|，在RtAOC中，tanOAC，故当以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似时，tanPAM或2，即，则，解得x0（舍去）或4（舍去）或3（舍去）或5或2，故点P的坐标为（2，3）或（5，18）4已知，如图，已知抛物线yax2+bx与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴
7、交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点（不与点B重合），MNAC于点N，连接CM（1）求抛物线的解析式；（2）当MN1时，求点N的坐标；（3）是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线yaax2+bx与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，得，解得：，（2）当x0时，y，C（0，），OC，A（3，0），OA3，OAC30，MN1，MNA90，在RtAMN中，AN，过点N作NHx轴于点H，NH，AH，当点M在点A左侧时，N的坐标为（，），当点M在点A右侧时，N的坐标为（，），综上，点N的坐标为（）或（，）
8、，（3）设M点为（x，0），则由（2）可得AB4，BC2，AC2，BC2+AC2AB2，ABC是直角三角形，BCA90，又由2SCMAAMOCACMN得：MN，若以点C，M，N为顶点的三角形与ABC相似，则：，即，即6x6，所以x1，此时M为（1，0）；，即，即x2+3x0，解之可得：x0或x3，M为（0，0）或（3，0），综上所述，存在以点C，M，N为顶点的三角形与ABC相似，且M的坐标为（1，0）或（0，0）或（3，0）5如图，抛物线yax28x+c经过A（2，0），B（6，0）两点，直线l为抛物线的对称轴并与x轴交于点C直线yx+2与抛物线分别交于点B，D两点，与直线l交于点E（1）求抛
9、物线的解析式；（2）若以点A为圆心适当的长为半径画圆，使圆A与直线BD相切于点F，求点F的坐标并说明直线l，y轴与圆A的位置关系（3）在（2）的条件下，在圆A上是否存在点G，使得以G，O，C为顶点的三角形与BCE相似若存在，请直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）设抛物线的表达式为ya（xx1）（xx2）a（x2）（x6）a（x28x+12），8a8，解得a1，故抛物线的表达式为yx28x+12； （2）由点A、B的坐标知，抛物线的对称轴为直线x4，即OC4，由直线BD的表达式知，EBC30，BD和圆A相切，AFBD，在RtABF中，AB624，EBC30，则AFAB2OAA
10、C，故圆A与直线l、y轴都相切，则BFAB2，设点F的坐标为（x，x+2），则BF2（x6）2+（x+2）2（2）2，解得x9（舍去）或3，故点F的坐标为（3，）； （3）在BCE中，EBC30，ECB90，当点G在圆上时，则CGD90，OC4，故以G，O，C为顶点的三角形与BCE相似时，GCO30或60即可满足条件当点G在x轴上方时，过点G作GHx轴于点H，当GCO30时，则GOH60，则OGCO2，则OHOGcos601，GHOGsin60，故点G的坐标为（1，）；当GCO60时，则GOH30，则OGCOsin602，则OHOGcos303，GHOGsin30，故点G的坐标为（3，）；故点
11、G的坐标为（1，）或（3，）；当点G在x轴下方时，根据圆的对称性，则点G的坐标为（1，）或（3，）；综上，点G的坐标为（1，）或（3，）或（1，）或（3，）6如图所示，抛物线yax2+bx+c的图象过A（0，3），B（1，0），C（3，0）三点，顶点为P（1）求抛物线的解析式；（2）设点G在y轴上，且OGB+OABACB，求AG的长；（3）若ADx轴且D在抛物线上，过D作DEBC于E，M在直线DE上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N使以A、M、N为顶点的三角形与APD相似？若存在，请求出点M、N的坐标【解答】解：（1）把A（0，3），B（1，0），C（3，0）代入yax2+bx+c
12、，得，解得，抛物线的解析式为yx2+2x+3（2）如图1，过点G作GFAB，交AB的延长线于点F，则BFG90OAOC3，ACB45，GBFOGB+OABACB45，FGB45GBF，FBFGtanBAO，AB，FBFG，AF+，AG5；作点G关于点O的对称点G，则点G也满足OGB+OABACB，此时，OGOG532，AG321综上所述，AG的长为5或1（3）存在由B（1，0），C（3，0）得，抛物线的对称轴为直线x1，点D与点A关于直线x1对称，且A（0，3），D（2，3），E（2，0）；当x1时，y1+2+34，P（1，4），作PHAD于点H，则H（1，3），PHAHDH1，APD90，且
13、APDP，APD是等腰直角三角形，当AMN是等腰直角三角形时，以A、M、N为顶点的三角形与APD相似.如图2，AN为斜边，点M、N分别在DE、OE上，ADMMENAMN90，AMD90EMNMNE，又AMMN，AMDMNE（AAS），ADME2，DMEN1，ON211，M（2，2）、N（1，0）；如图3，AN为斜边，点M、N分别在DE、OE的延长线上，ADMMENAMN90，AMD90EMNMNE，又AMMN，AMDMNE（AAS），ADME2，DMEN3+25，ON2+57，M（2，2）、N（7，0）；如图4，AM为斜边，点M、N分别在DE、EO的延长线上，AONNEMANM90，OAN90
14、ONAENM，又ANNM，AONNEM（AAS），ONEM1，M（2，1）、N（1，0）；如图5，AM为斜边，点M、N分别在DE、OE的延长线上，AONNEMANM90，OAN90ONAENM，又ANNM，AONNEM（AAS），OAEN3，ONEM2+35，M（2，5）、N（5，0）综上所述，M（2，2）、N（1，0）或M（2，2）、N（7，0）或M（2，1）、N（1，0）或M（2，5）、N（5，0）7如图，已知直线yx4与坐标轴分别交于点B、点C，二次函数yx2+2x的图象经过点C（1）求直线与抛物线的另一个交点A的坐标及线段AB的长；（2）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构
15、成的三角形与OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）直线yx4与y轴、x轴分别交于点B、点C，B（0，4），C（4，0）.由，得，A（2，6），AB2；（2）存在OBOC4，BOC90，BC4，OBCOCB45，BCDABO135，如图1，当CBDBOA时，则CBDBOA，解得CD4，OD4+48，D（8，0）；如图2，当CBDBAO时，则CBDBAO，解得DC8，OD4+812，D（12，0）综上所述，点D的坐标为（8，0）或（12，0）8已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C直线yx4经过B，C两点（1）求抛物线的
16、解析式；（2）如图1，动点M，K同时从A点出发，点M以每秒4个单位的速度在线段AB上运动，点K以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为t（t0）秒如图1，连接MK，再将线段MK绕点M逆时针旋转90，设点K落在点H的位置，若点H恰好落在抛物线上，求t的值及此时点H的坐标；如图2，过点M作x轴的垂线，交BC于点D，交抛物线于点P，过点P作PNBC于N，当点M运动到线段OB上时，是否存在某一时刻t，使PNC与AOC相似若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）直线yx4经过B，C两点，B（8，0），C（0，4），将B、C两点代入
17、抛物线解析式得：，b，c4，；（2）由题意得A（2，0），OMAMOA4t2，AK，过K作KVx轴于V，由ACOAKV可知，AVt，KV2t，OV2t，MV3t，在MKV和HMN中，MKMH，KVNMNHKMH90，VMKMHN，MKVHMN（AAS），MNKV2t，HNMV3t，H（6t2，3t），点H恰好落在抛物线上，解得t1，t20（舍），H（6，4）（3）当OACNCP时，tanNCPtanOAC，2，由RtBOCRtGHB，GH16，BH8，G（16，16），直线CP的解析式为：yx4，点P在抛物线上，x10，x23，P（3，），t当OCANCP时，OCAOBC，NCPOBC，CPx
18、轴，C、P关于对称轴x3对称，P（6，4），t2综上所述：t或t29如图，直线y2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线yx2+bx+c与直线BC交于点D（3，4）（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）在y2x+2中，当x0时，y2，B（0，2），当y0时，x1，A（1，0），抛物线yx2+bx+c过点B（0，2），D（3，4），解得：，抛物线的解析式为yx2+x+2，设
19、直线BD的解析式为ykx+n，代入B（0，2），D（3，4）得，解得：，直线BD的解析式为：y2x+2；（2）存在；如图，设M（m，m2+m+2），MNx轴，MNm2+m+2，ONm，直线BD的解析式为：y2x+2，y0时，x1，C（1，0），OC1，B（0，2），OB2，若BOCMNO，则，即，解得：m11，m22（舍去），m1时，m2+m+22，M（1，2）；若BOCONM，则，即，解得：，（舍去），m时，m2+m+2，M（，），综上所述，M（1，2）或M（，）10如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+6与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物
20、线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC与OP，交于点D，当PD：OD的值最大时，求点P的坐标；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使CMN90，且CMN与BOC相似，若存在，请直接写出点M的坐标【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y2x2+4x+6； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，6），由B、C的表达式得，直线BC的表达式为y2x+6，过点P作y轴的平行线交BC于点H，则PDHODC，则PD：ODPH：OC，设点P的坐标为（x，2x2+4x+6），则点H（x，2x+6），则PH（2x2+4x+6）（2x+6），2x2+6x，OC6，PD：ODPH：OC（2x2+6x），20，故PD：OD存在最大值，此时x，故点P的坐标为（，）； （3）存在，理由：过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点G，交过点N与x轴的平行线于点H，在RtBOC中，OB3，OC6，则当CMN与BOC时，两个三角形的相似比为2或，即MN：CMOB：OC1：2或MN：CMOB：OC2：1，设点M的坐标为（x，2x2+4x+6），设点N的坐标为（0，t），CMG+HMN90，HMN+HNM90，CMGHNM，MHNCGM90，MHNCGM，2或，即2或，解得x0（舍去）或3或，故点M的坐标为（3，0）或（，）