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1、玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品专题二 等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果ABC的A（的余弦值
2、）是确定的，夹A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法如图1，如果ABAC，直接列方程；如图2，如果BABC，那么 ；如图3，如果CACB，那么 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如
3、果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快 【典例指引】类型一 【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1抛物线与轴交于点A，点B（1，0），与轴交于点C（0，3），点M是其顶点（1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足DAB=45°,求点D的坐标；（3）直线 (31)与x轴相交于点H与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形.【
4、举一反三】（2020·江西初三期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标类型二 【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】 典例指引2（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.（l）求抛物线
5、的表达式；（2）如图l，若点为第二象限抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值，并求此时点的坐标；（3）如图2，在轴上是否存在一点使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线yax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，8）（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的
6、坐标；如果没有，请说明理由类型三 【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】 典例指引3（2018济南中考）如图1，抛物线y=-316x2平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探求： t为何值时MAN为等腰三角形； 为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少 【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点点D从C出发，沿
7、线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EFOC，交抛物线于点F（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，当点D与点C重合时，EF长度可看作O；当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出CDF为等腰三角形时所有t的值【新题训练】1（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到点A时停止移动（1
8、）线段OA所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m，问：当m为何值时，线段PA最长？并求出此时PA的长（3）若平移后抛物线交y轴于点Q，是否存在点Q使得OMQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.3（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系
9、中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由4（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线yx2bxc经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线yx2bxc交于第四象限的F点（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如
10、图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动过点P作PHOA，垂足为H，连接MP，MH设点P的运动时间为t秒问EPPHHF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由若PMH是等腰三角形，求出此时t的值5（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点
11、A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积6（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点
12、F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标7（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PEx轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由8（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）
13、的图象与x轴交于A（2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m0，n0），连结PB，PD，BD，求BDP面积的最大值及此时点P的坐标9（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数yx2+bx+c（c0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OBOC3，顶点为M（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的
14、一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQm，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由10（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC求线段PM的最大值；当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标11（2019·
15、;安徽中考模拟）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求此时的面积及点的坐标；（3）在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若PAD为等腰三角形
16、，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值13（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OBOC（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由14
17、（2019·辽宁中考模拟）抛物线yax2+bx3（a0）与直线ykx+c（k0）相交于A（1，0）、B（2，3）两点，且抛物线与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标15（2020·浙江初三期末）如图，抛物线yx2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取ACD一边的两端点
18、和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标16（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在请说明理由；（4）当m0时，探索是否存在点P，使得PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由17（2019&#
19、183;吉林初三）如图1，抛物线与y与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点D是线段AB上一点，且ADCA，连接CD（1）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，在线段BC上有一动点Q，连接PC、PD、PQ，当PCD面积最大时，求PQ+CQ的最小值；（2）将过点D的直线绕点D旋转，设旋转中的直线l分别与直线AC、直线CO交于点M、N，当CMN为等腰三角形时，直接写出CM的长18（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A,B ( A在B的左侧) (1)如图1，若抛物线的对称轴为直线 .点A的坐标为( ， )，点B的坐标为( ， );求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若是等腰直角三角形，求点P的坐标.