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1、导热微分方程 （1）基本思路 ： 建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式。 1. 导热微分方程 的推导 Heat Diffusion Equation 理论基础：能量守恒定律与傅立叶定律。 2)假设条件 1) 物理问题描述： 三维的非稳态导热体，且物体内有内热源（导热以外 其它形式的热量，如化学反应能、电能等） a)各向同性的连续介质； （2）推导： b) 、c均为已知； c)物体具有内热源（强度qv(w/m3)； d)导热体与外界没有功的交换。 3)推导 建立坐标系，取分析对象，基于能量守恒 净导入微元体的总热流量 内热源生成热 微元体热力学能的增量 导入微元体的热量(Fourier La
2、w) 沿x轴方向、经x处表面导入的热量： 导出微元体的热量 沿 x 轴方向、经 x+dx 处表面导出的热量 净导入 x 方向的热量 dydz x t x zyx x x x x x xdxx ddd x t -d zyx x t x dxxx ddd x xx d 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 同理可得： 净导入y方向的热量 zyx y t y dyyy ddd 净导入z 方向的热量 zyx z t z dzzz ddd 三个方向净导入的热量: dxdydz z t zy t yx t x c)()()( 微元体内热源生成的热量 微元体热力
3、学能（内能）的增量 dxdydz t c dxdydzq v 内热源项非稳态项三个坐标方向净导入的热量 4)导热微分方程的基本形式 v q z t zy t yx t x t c )()()( 导热系数为常数 式中，)/(ca 导热系数为常数 、无内热源、稳态 称为热扩散系数 (m2/s)(thermal diffusivity) 5）对上式简化： 0 2 2 2 2 2 2 z t y t x t c z t y t x t a t 2 2 2 2 2 2 -拉普拉斯方程 热扩散率 )/(ca 分子: 是物体的导热系数， 越大，在相同温度梯度下，可以传导 更多的热量。 分母: 是热容，即单位
4、体积的物体温度升高 1 所需的热量。 c 越小，温度升高 1 所吸收的热量越少，可以剩下更多的热量向 物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温度升高而升高。 由定义式: 有缘学习更多+ 谓y g d 3 0 7 6 考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 其的物理意义： 几何尺寸相同的铁板和木 板，当一面温度很高时，短 时间内另一面的感觉有何不 同？ 越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，也是材料 传播温度变化能力大小的指标，亦称导温系数。 越大，表示物体受热时，其内部各点温度扯平的能力越大。 1） 圆柱坐标系（r, ,z） zzryrx ;sin ;cos )()( 1 )( 1 2 z t z t rr t r rr t c 2.其它坐标系中的导热微分方程式 cos ;sinsin ;cossinrzryrx )( sin 1 )sin( sin 1 )( 1 222 2 2 t r t rr t r rr t c 2）球坐标系（r, ， ） THANKS