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1、第六章第六章 导热导热 （Conduction Heat Transfer）主讲：荆海鸥主讲：荆海鸥授课班级：成型授课班级：成型07132009年年11月月主要内容主要内容6.1 导热微分方程导热微分方程6.2 一维稳态导热计算一维稳态导热计算6.3 非稳态导热非稳态导热6.4 一维非稳态导热一维非稳态导热6.5 二维及三维非稳态导热二维及三维非稳态导热主要内容主要内容1. 导热微分方程的建立和分析导热微分方程的建立和分析2. 边界条件和初始条件边界条件和初始条件3. 平壁的稳态导热计算平壁的稳态导热计算 p 单层平壁单层平壁p 多层导热多层导热4. 圆筒壁的稳态导热计算圆筒壁的稳态导热计算p
2、 单层圆筒壁单层圆筒壁p 多层圆筒壁多层圆筒壁1 导热微分方程的建立和分析导热微分方程的建立和分析导热微分方程的概念导热微分方程的概念 导热微分方程是导热温度场内温度分布的微分形式的数学表达。导热微分方程是导热温度场内温度分布的微分形式的数学表达。建立导热微分方程的必要性建立导热微分方程的必要性 傅立叶定律给出了导热量和温度梯度的关系：傅立叶定律给出了导热量和温度梯度的关系： 一维稳态导热可以用傅立叶定律直接求解，多维或非稳态导热的求一维稳态导热可以用傅立叶定律直接求解，多维或非稳态导热的求解必须要首先知道温度场中的温度分布规律才可以求解温度梯度，解必须要首先知道温度场中的温度分布规律才可以求
3、解温度梯度，从而求解导热量的大小。从而求解导热量的大小。nTA1 导热微分方程导热微分方程2|1|21wxxwxxTTTTxTA例如例如T1WT2WTdxAdTcxAT2211cATcTwwATxATTxATWW21ATTWW21分力变量分力变量不定积分不定积分代入边界条件代入边界条件,求解常数项求解常数项将常数代入方程将常数代入方程两式相减两式相减 得得1 导热微分方程导热微分方程 建立导热微分方程的理论依据：建立导热微分方程的理论依据： 能量守恒定律能量守恒定律 傅立叶定律傅立叶定律左图为导热体中的一个微元六面体。左图为导热体中的一个微元六面体。设该六面体的材料为：设该六面体的材料为：常物
4、性；常物性；各向同性；各向同性；内热源均匀。内热源均匀。的的热热量量量量热热量量的的增增量量自自生生导导入入的的热热量量导导出出的的热热则在则在dt时间内：时间内：Mdxdydz1 导热微分方程导热微分方程n设设m(x,y,z)点的温度为点的温度为T。则。则单位时单位时间内间内，导入六面体的热量为，导入六面体的热量为dxdyzTdxdzyTdydzxTzyx MdxdydzdxdydzzTTzdxdzdyyTTydydzdxxTTxdzzdyydxx)()()( dxdydztTc 热热量量的的增增量量设单位时间、单位体积内热源生成设单位时间、单位体积内热源生成的热量为的热量为qv,，则，则d
5、xdydzqv微微元元体体内内热热源源的的生生成成热热导出热量导出热量导入热量导入热量1 导热微分方程导热微分方程整理得：整理得：cqzTyTxTctTv )(2222220222222 zTyTxT若为稳态、无内热源时若为稳态、无内热源时导热微分方程是描述导热过程共性的数学表达式，对于任何导热过程，导热微分方程是描述导热过程共性的数学表达式，对于任何导热过程，都是适用的，是求解一切导热问题的出发点。都是适用的，是求解一切导热问题的出发点。1 导热微分方程导热微分方程在圆柱坐标系中：在圆柱坐标系中：若为一维、稳态、无内热源时若为一维、稳态、无内热源时cqzTTrrTrrTctTv )11(22
6、22220122 rTrrTn在球坐标中：在球坐标中：1 导热微分方程导热微分方程cqTrTrrrTatTv222222sin1)(sinsin1)(n若为一维、稳态、无内热源时，方程若为一维、稳态、无内热源时，方程为：为：0)(22rrT1 导热微分方程导热微分方程有了微分方程，怎样求解？有了微分方程，怎样求解？非稳态导热问题的定解条件：非稳态导热问题的定解条件：初始条件；初始条件； 边界条件。边界条件。定解条件：定解条件：初始时刻的温度分布，即初始条件；初始时刻的温度分布，即初始条件； 物体边界上的温度分布，即边界条件。物体边界上的温度分布，即边界条件。稳态导热问题的定解条件：稳态导热问题
7、的定解条件：边界条件。边界条件。2 初始条件和边界条件初始条件和边界条件 规定了边界上的温度值。规定了边界上的温度值。规定了边界上的热流密度值。规定了边界上的热流密度值。)(01tfTtcTww 时，时， 规定了边界上物体与流体间的对流换热系数规定了边界上物体与流体间的对流换热系数h以及周围流体的温度以及周围流体的温度Tf。)(01tfnTtcqww 时，时，)(fwwTThnT 导热问题的三类边界条件：导热问题的三类边界条件： 3 平壁的稳态导热计算平壁的稳态导热计算大平壁概念大平壁概念厚度厚度长和宽长和宽度方向的温度变化率，所以度方向的温度变化率，所以忽略边界上长度和宽忽略边界上长度和宽度
8、方向的导热。度方向的导热。工程上很多平壁导热都可以看成是大平壁导热。工程上很多平壁导热都可以看成是大平壁导热。10,10hL3 .1 单层平壁的稳态导热计算单层平壁的稳态导热计算T022 dxTd一维稳态无内热源的导热微分方程为一维稳态无内热源的导热微分方程为21;0TTxTTx 时时，时时， 21cxcT 112TxTTT 12TTdxdT )/(221mWTTTTxTq 积分得温度分布通式积分得温度分布通式边界条件边界条件则则此时此时)(21WATTTAARt温度的直线分布规律3.2 多层平壁的稳态导热计算多层平壁的稳态导热计算n根据单层导热可以写出根据单层导热可以写出)()()(4333
9、32222111TTqTTqTTq整理后两端相加得整理后两端相加得)/(233221141mWTTq )/(332211WKAAARt热阻热阻各等温面上的各等温面上的q值相等值相等)(33221141WAAATTqA 3.2 多层平壁的稳态导热多层平壁的稳态导热n若是若是n层平壁，则层平壁，则)/(2111mWTTqiinii)(111WATTqAiinii 小结小结cqzTyTxTctTv )(2222220222222 zTyTxTnTqnTA 或或)/(2111mWTTqiinin )(111WATTqAiinin 导热微分方程：导热微分方程：傅立叶定律：傅立叶定律：平壁稳态导热量计算：
10、平壁稳态导热量计算：导热例题导热例题n炉墙内层为炉墙内层为460mm厚的硅砖，外层为厚的硅砖，外层为230mm厚的轻质粘土砖。内表面温度为厚的轻质粘土砖。内表面温度为1600，外表面温度为，外表面温度为150 。求热流密度。求热流密度q及硅砖和粘土砖交接面上的温度。及硅砖和粘土砖交接面上的温度。n解：查附表解：查附表 )/(5 .20394495. 023. 084. 146. 015016002221131mWTTq 216000007. 093. 00007. 093. 021TT 硅砖硅砖 215000026. 03 . 000026. 03 . 022 TT粘土砖粘土砖 设设T2 =1
11、000 n得得 1=1.84 W/(m K) 和和 2= 0.4495 W/(m K) )/(5 .203921121mWTTq )/(10905 .203925. 0160021112mWCqTT 重设重设T2=1100 得得 1=1.87 和和 2 = 0.4625计算得计算得 q”=1933 W/m2计算得计算得T2=1116 误差：误差：)/(%5 . 1%1001100110011162mW 答：热流密度为答：热流密度为1933 W/m2，接触面温度为，接触面温度为1110。误差误差：)/(%9%1001000100010902mW 4 圆筒壁的稳态导热计算圆筒壁的稳态导热计算102
12、dl当当 时，可忽略轴向的导热。时，可忽略轴向的导热。圆筒壁导热在工程中应用很多。如圆筒壁导热在工程中应用很多。如圆筒式换热器圆筒式换热器。特点：特点： 导热沿半径方向自内向外（或自外向内）；导热沿半径方向自内向外（或自外向内）； 等温面的面积逐渐增大（或减小）；等温面的面积逐渐增大（或减小）； 导热热流量导热热流量沿途不变；沿途不变； 单位面积上的热流量逐渐减小（或增大）；单位面积上的热流量逐渐减小（或增大）； 单位长度上的热流量相等的。单位长度上的热流量相等的。4.1 单层圆筒壁的稳态导热计算单层圆筒壁的稳态导热计算由傅立叶定律可知由傅立叶定律可知drdTrldrdTA 2 1212121
13、2ln2ln2)ln(ln2ddlrrlrrlTT drrldT 2 分离变量得分离变量得 21212122rrrrTTrdrldrrldT 定积分定积分)(ln211221WddlTT 热流量为热流量为)/(ln211221mWddTTlql 单位长度上的热流量为单位长度上的热流量为0122 rTrrT4.1 单层圆筒壁的稳态导热计算单层圆筒壁的稳态导热计算用导热微分方程如何导出其计算式？)(ln211221WddlTT 0drdTrdrd即4.1 单层圆筒壁的稳态导热单层圆筒壁的稳态导热n当当 时，可按平壁计算。时，可按平壁计算。212 dd此时用此时用 来计算导热面积来计算导热面积A。2
14、21dddm 用用 作为厚度作为厚度。221dd 然后代入平壁导热计算公式计算到热量。然后代入平壁导热计算公式计算到热量。即即)(111WATTqAiinii 4.2 多层圆筒壁的稳态导热多层圆筒壁的稳态导热)()ln21(1111WddlTTiiinin n层圆筒壁时热流量为层圆筒壁时热流量为)(ln21ln21ln2134323212141WddlddlddlTT三层圆筒壁导热时，热流量为三层圆筒壁导热时，热流量为单位长度上的热流量为单位长度上的热流量为)/()ln21(1111mWddTTqiiininl 关于例题求解方法关于例题求解方法n请看例题：请看例题：P96的例题的例题 6.1，
15、求解，求解q的大小。的大小。P97 的例题的例题 6.2，求解，求解q和夹层壁面温度和夹层壁面温度T的大小。的大小。P99 的例题的例题 6.3，求解壁厚，求解壁厚的情况。的情况。n求解方法（求解方法（1）：）：由导热问分方程建立温度由导热问分方程建立温度T与坐标和时间的具体关系式；与坐标和时间的具体关系式；求解温度梯度；求解温度梯度；代入傅里叶定律获得热流量计算式；代入傅里叶定律获得热流量计算式；代入已知条件求解题目要求的未知数。代入已知条件求解题目要求的未知数。n求解方法（求解方法（2）：）：直接由傅里叶定律分力变量后积分获得热流量计算式；直接由傅里叶定律分力变量后积分获得热流量计算式；代
16、入已知条件求解题目要求的未知数。代入已知条件求解题目要求的未知数。关于例题求解方法关于例题求解方法n第二种方法对于导热系数为变数，或第二种方法对于导热系数为变数，或沿导热方向导热界面积为变量的情形沿导热方向导热界面积为变量的情形尤为有效。如尤为有效。如dxdTTA)(n分离变量，并注意到分离变量，并注意到与与x无关，得无关，得2121)(TTxxdTTAdxn将上式右端乘以将上式右端乘以 , 得得)/()(1212TTTT)()(12122121TTTTdTTAdxTTxxn所以有所以有21)(12xxAdxTTn所以，只要把具体问题中的所以，只要把具体问题中的A与与x之间的关系代入之后，就可
17、以进之间的关系代入之后，就可以进行计算了。行计算了。n即，回归到即，回归到bT0Tb0n即，用导热系数的算数平均值代即，用导热系数的算数平均值代入后，即适用于变导热系数的计入后，即适用于变导热系数的计算问题。算问题。关于接触热阻关于接触热阻n以上的计算是在假设接触面两侧保持同一温度，以上的计算是在假设接触面两侧保持同一温度，即假定两层壁面之间保持了良好的接触。即假定两层壁面之间保持了良好的接触。n实际上，由于任何固体表面之间的接触都不可能实际上，由于任何固体表面之间的接触都不可能是紧密的。是紧密的。n因此，两壁面之间只有接触的地方才直接导热，因此，两壁面之间只有接触的地方才直接导热，不接触处存
18、在空隙，热量是通过充满空隙的流体不接触处存在空隙，热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐射的方式传递的，因而存在传的导热、对流和辐射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热阻。热阻力，称为接触热阻。 n既然有热阻，两端就存在温差。既然有热阻，两端就存在温差。T关于接触热阻关于接触热阻n目前，不同接触情况下的热阻主要靠实验确定。目前，不同接触情况下的热阻主要靠实验确定。n有关接触热阻数值大小的确定可以参考有关的文献：有关接触热阻数值大小的确定可以参考有关的文献：q杨世铭杨世铭. 传热学传热学. 第二版第二版. 北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，1978.6466qFlether L
19、 S. Recent developments in contact heat transfer. ASME J Heat transfer, 1988.110(4):10591070n强化传热需减小接触热阻。强化传热需减小接触热阻。American Society of Mechanical Engineers 哥伦比亚号在哥伦比亚号在2003年年1月月16日升空，日升空，2月月1日在德克萨斯州上空爆炸解日在德克萨斯州上空爆炸解体，机上体，机上7名太空人全数罹难名太空人全数罹难 解体前的英姿解体前的英姿左翼保温层的裂缝左翼保温层的裂缝7名宇航员名宇航员球壁导热计算问题（自学）球壁导热计算问题
20、（自学）n采用如图的球壁导热仪来确定一种紧密压实的型砂的导热率。被测材料的内、外采用如图的球壁导热仪来确定一种紧密压实的型砂的导热率。被测材料的内、外径分别为径分别为d1=75mm， d2=150mm。达到稳态后读得。达到稳态后读得T1=52.8， T2=47.3，加，加热器电流热器电流I0.123A，电压，电压U15V。试计算砂型的导热率。试计算砂型的导热率。0)(22rrT0222drdTrdrTd即1.导热微分方程导热微分方程2.边界条件和初始条件边界条件和初始条件3.平壁的稳态导热计算平壁的稳态导热计算 p 单层平壁单层平壁p 多层导热多层导热4.圆筒壁的稳态导热计算圆筒壁的稳态导热计算p 单层圆筒壁单层圆筒壁p 多层圆筒壁多层圆筒壁导热问题小结导热问题小结cqzTyTxTctTv )(222222)(121WATTqAiini )()ln21(1111WddlTTiiinii 作业作业n、