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1、关于导热微分方程推导现在学习的是第1页，共21页第二章第二章 导热的基本定律及稳态导热导热的基本定律及稳态导热2-1 2-1 导热的基本概念和定律导热的基本概念和定律2-2 2-2 导热微分方程导热微分方程2-3 2-3 一维稳态导热一维稳态导热2-4 2-4 通过肋片的导热分析通过肋片的导热分析现在学习的是第2页，共21页温度场温度场t=f(x,y,z,)等温面与等温线等温面与等温线t tt-tt-tt+tt+t等温线疏密程度的物理意义等温线疏密程度的物理意义温度梯度温度梯度nntnntLimgradtn0gradtq热流密度矢量热流密度矢量t+ttt-tgradt2-1 2-1 导热的基本
2、概念和定律导热的基本概念和定律现在学习的是第3页，共21页导热系数导热系数 影响导热系数的因素影响导热系数的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等度、压力、密度等。gradtq 不同物质的导热性能不同：不同物质的导热性能不同：非金属金属气体液体固体现在学习的是第4页，共21页 2-2 2-2 导热微分方程式及定解条件导热微分方程式及定解条件 确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务gradtq傅里叶定律傅里叶定律确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场:t=f(x,y
3、,z,)W/(mC)理论基础：傅里叶定律理论基础：傅里叶定律+热力学第一定律热力学第一定律现在学习的是第5页，共21页一、导热微分方程的推导一、导热微分方程的推导定义定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的的温度场应满足的数学表达式温度场应满足的数学表达式，称为，称为导热微分方程导热微分方程。假设：假设：(1)(1)所研究的物体是所研究的物体是各向同性各向同性的的连续介质连续介质 (2)(2)热导率、比热容和密度均为已知热导率、比热容和密度均为已知 (3)(3)物体内具有内热源物体内具有内热源；强度；强度q qv v W/m W/m3 3
4、;内热源内热源均匀分布均匀分布；q qv v 表示单位体积的导热体在单位时间内放表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量出的热量现在学习的是第6页，共21页导热体内取一微元体导热体内取一微元体热力学第一定律：热力学第一定律：W=0,Q=UQ：微元体：微元体与环境交换的热与环境交换的热 ：微元体热力学能（内能）的增量：微元体热力学能（内能）的增量W：微元体：微元体与环境交换的功与环境交换的功 =Q W现在学习的是第7页，共21页d 时间内微元体中：时间内微元体中：导入与导出净热量导入与导出净热量+内热源发热量内热源发热量=热力学能的增加热力学能的增加导入与导出净热量导入与导出净热量 Q=U Q
5、 导入与导出净热量导入与导出净热量 内热源发热量内热源发热量现在学习的是第8页，共21页d 时间内、沿时间内、沿x 轴方向、轴方向、经经x+dx 表面导出的热量：表面导出的热量：dQx+dx=qx+dx dydz d Jdxxqqqxxdxxd 时间内、沿时间内、沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微元体净热量：d 时间内、沿时间内、沿x 轴方向、轴方向、经经x 表面导入的热量：表面导入的热量：dQx=qx dydzd JJddxdydzxqdQdQxdxxx1、导入与导出微元体的净热量、导入与导出微元体的净热量现在学习的是第9页，共21页d 时间内、沿时间内、沿x 轴方向导入
6、与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微元体净热量：d 时间内、沿时间内、沿y 轴方向导入与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微元体净热量：d 时间内、沿时间内、沿z 轴方向导入与导出微元体净热量：轴方向导入与导出微元体净热量：ddxdydzxqdQdQxdxxxddxdydzyqdQdQydyyyddxdydzzqdQdQzdzzz导入与导出净热量导入与导出净热量:ddxdydzzqyqxqzyx)(1 JJJJ现在学习的是第10页，共21页 导入与导出净热量导入与导出净热量:傅里叶定律：傅里叶定律：xtqxytqyztqzddxdydzzqyqxqzyx)(1 dxdydzdztzytyxt
7、x)()()(1 JJ现在学习的是第11页，共21页 导入与导出净热量导入与导出净热量+内热源发热量内热源发热量=热力学能的增加热力学能的增加 2 2、微元体内热源的发热量微元体内热源的发热量ddxdydzqv2d d 时间内微元体中内热源的发热量：时间内微元体中内热源的发热量：J3、微元体热力学能的增量、微元体热力学能的增量d 时间内微元体中热力学能的增量：时间内微元体中热力学能的增量：dtcdxdydzmcdt3ddxdydztc 3导入与导出净热量导入与导出净热量内热源发热量内热源发热量热力学能的增加热力学能的增加现在学习的是第12页，共21页 1 +2 =3 导入与导出净热量导入与导出
8、净热量+内热源发热量内热源发热量=热力学能的增加热力学能的增加 ddxdydzqv2ddxdydztc3()()()vttttcqxxyyzz由1+2=3：dxdydzdztzytyxtx)()()(1 导热微分方程式、导热过程的能量方程导热微分方程式、导热过程的能量方程现在学习的是第13页，共21页笛卡尔坐标系中笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达三维非稳态导热微分方程的一般表达式式。物理意义：物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。化关系。()()()vttttcqxxyyzz非稳态项非稳态项源项源项扩散项扩散项导热微分方程式导热微分方程
9、式现在学习的是第14页，共21页简化该式：简化该式：若物性参数、c 和 均为常数：式中，式中，-热扩散率，热扩散率，m m2 2/s./s.)/(ca()()()vttttcqxxyyzzcqtatv2cqztytxtatv)(222222或 （Thermal diffusivity）2 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 热扩散率a 反映了导热过程中材料的导热能力（）与沿途物质储热能力（c）之间的关系。现在学习的是第15页，共21页 在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处的温度差别越小。各处的温度差别越小。a木材木材=1.5107 m2/s,a
10、铝铝=9.45105 m2/s，a铝铝/a木材木材 600a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力。一致的能力。)/(ca现在学习的是第16页，共21页若物性参数均为常数，且且无内热源无内热源 222222()ttttaxyztat2或()()()vttttcqxxyyzz简化该式：简化该式：若物性参数均为常数，且且无内热源无内热源 ，稳态导热稳态导热 若物性参数、c 和 均为常数：cqtatv2cqztytxta
11、tv)(222222或2222220tttxyz02 t或现在学习的是第17页，共21页二、其他坐标下的导热微分方程二、其他坐标下的导热微分方程（r,?,z）x=r cos?;y=r sin?;z=z)1(kztjtrirttgradtqvqztztrrtrrrtc)()(1)(121.1.对于圆柱坐标系对于圆柱坐标系 现在学习的是第18页，共21页2.对于球坐标系对于球坐标系（r,?）x=r sin cos?;y=r sin sin?;z=r cos)sin11(ktrjtrirttgradtqvqtrtrrtrrrtc)(sin1)sin(sin1)(122222现在学习的是第19页，共21页三、导热微分方程的适用范围三、导热微分方程的适用范围 1 1）适用于）适用于 q q 不很高，而作用时间长。同时傅不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。立叶定律也适用该条件。2 2）若时间极短，而且热流密度极大时，则不）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。适用。3 3）若属极低温度（）若属极低温度（-273 -273 ）时的导热不适）时的导热不适用。用。现在学习的是第20页，共21页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第21页，共21页