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1、高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat TransferChap. 3 Laminar external boundary layers高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer1.The Governing Eqs & BCs3-1 laminar forced convection over a flat plate研究对象：常物性，不可压缩流体，研究对象：常物性，不可压缩流体，2D2D，忽略黏性耗，忽略黏性耗散，无内热源，无体积力，散，无内热源，无体积力，u u，T
2、Tconstconstxy0lxd du u主流区主流区边界层区边界层区高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer22tttuvaxyy22)duuuuuvuxydxy（0yvxu7 7个个BCBC：0 :,0 :0,0,() :,wxuuTTyuvTTyuuTTd 高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer2.The flow solutionx1 1与与x2 2处，层流速度并不相似，但都从处，层流速度并不相似，但都从0-0-u引入：引入：uuyxd 1Re
3、xxLxu xdd xxud1uyxyyxuxd不唯一不唯一高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer引入流函数引入流函数1uuuy,uvyx uuux相似解若存在，则相似解若存在，则fuu 11uyuxfthe quation of ?f高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transferffufuyfyfy112uuyxyxxxx vfuxxx ,ufyxux12uffx12uffuxxx 高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvan
4、ced Heat Transferufuxxufuyy222uuuuffyyxx22uuuuvxyy代入12ufufxx ufuufyx高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer102fff:0(0) :0,uBCyfu1002uvfffx() :1yf 黏性力黏性力惯性力惯性力无量纲切向速度无量纲切向速度无穷级数（无穷级数（1908，Blasius）；数值积分解）；数值积分解(Runge-Kutta) Blasius Eq.高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Tran
5、sfer平板层流边界层的布拉修斯解平板层流边界层的布拉修斯解 uuxyfffvxuu 0 0 0 0.33206 0 4.4 2.69238 0.97587 0.038975.0 3.28329 0.99155 0.015915.4 3.68094 0.99616 0.007938.0 6.27923 1.00000 0.00001 0.860388.4 6.67923 1.00000 0.00000 0.86038.高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer5.0uxdxxRe0 . 5d,0,w xyxuy1,220.66
6、4Re2w xfxxcu12,0121.328ReLffxf LLcc dxcL上述值与实验测定值符合，证明了上述值与实验测定值符合，证明了Prandtl边界层理论边界层理论 3322,0,00.332w xyxuuufyxx,uufyux 高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer3.The heat transfer solution：引入：引入：wwTTTT uyx:wTTorTT xx uyyx 22uyyyx 11122uxyxx ufu12uvffx高等传热学高等传热学 Advanced Heat Transfer
7、Advanced Heat Transfer1Pr02f Pohlhausen Eq.:0 :0 :1BC 1Pr02f 102fff二阶线性常微分方程二阶线性常微分方程三阶非线性常微分方程三阶非线性常微分方程wwTTTTuuPr122uvxyy 高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer直接积分求解：直接积分求解：1200Prexp()2CfddC 20 (from BC: Tw )C1001Prexp()2 (from BC: T)Cfdd0000Prexp()2Prexp()2fddfdd (, Pr)F高等传热学高等传
8、热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer壁面热流：壁面热流：,0,xw xyxThTTy00,xyxhudydx10dCd1 200ReRe , PrPrexp()2xxxxh xNuffdd高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer分段拟合：分段拟合：xNu1 21 20.564 RePr, Pr0.05x1 21 30.332 RePr, Pr0.610 x1 21 30.339 RePr, Pr10 x012LmxLhh dxhL2mLNuNu1 2,xxhxxh?0
9、, xxh高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer3-2 laminar forced convection with pressure gradients1.The Governing Eqs & BCs研究对象：常物性，研究对象：常物性，2D2D，低速层流，低速层流22tttuvaxyy 22)duxuuuuvuxxydxy（0yvxu0 :0,0,() :,0 :,wyuvTTyuuxTTxuuxTTd 高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer存在相
10、似解存在相似解muxcx2m 12mmduxdpmuxcx mcxudxdxx0,00,dpmpvdx 顺 压 梯 度 流 动0,00,dpmpvdx 逆 压 梯 度 流 动0,00,dumdx外 掠 平 板 流 动xy,uT高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer2.Flow solutions( )12uxmyxfuufuyfy udfufuyydy2221212mumc xfy112mmumcxfcxmffxx11221121212mmvcxfxxmmmcxffm 1uy112muyux ( )2112muxdfmux
11、cxfmdx331( )1122muxmmc xuffx高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer:0 :0(0),0(0) :1BCfvfuf 由由210ffff Falkner-Skan Eq.三阶非线性常微分方程三阶非线性常微分方程引入相似变量不同所致引入相似变量不同所致0代入动量方程代入动量方程0fff( )12uxmyxuyx10?2fff高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer解的三种特例解的三种特例0,0,muconst外 掠 平 板 流 动1
12、,1,dumuxcxcdx二 维 滞 止 流 动 ，00.1988,0,uy y边 界 层 分 离0.1988, 流 动 边 界 层 从 壁 面 脱 离 并 在 紧 靠 壁 面 处 产 生 回 流15.03.62Rexuxxddd高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transferuu0( )12uxyx高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer 33,0,1 02mw xyxumc xfyx 33,2212 022mw xf xmc xfxcuu获得速度分布后获得速度
13、分布后muxcx0,0,(0)0.4696mf 1 21 2,21 Re 00.664 Refxxxcmf 1 221 Re 0 xmf高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer3.Heat transfer solutions22uvxyy ( )12uxmyx12mxxx 112mmcxywwTTTT 21212mmcxy 22 tttuvaxyy高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer代入边界层能量方程代入边界层能量方程Pr0f :0 :0 :1BC
14、二阶齐次线性常微分方程二阶齐次线性常微分方程Pr0Prddffdd 0Pr1fdc e0Pr120fdcedc 20c01Pr01fdced00Pr0Pr0Pr,fdfdedFed 高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat TransferPr0f Pr=1 Pr=1 ? ?210ffffPr=1,=0Pr=1,=0高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer壁面热流：壁面热流：,0,xw xyxThTTy00,( )12xyxhuxdmydx0dd1 200Re1, Re ,
15、 Pr2exp(Pr)xxxxh xmNufmfdd01Pr01fdcedmuxcx12mxhx120,0,xmhx1,1,xmhconst高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer0pNuNu11.60.2Pr0,00,dpmpvdx 边 界 层 外 主 流 加 速 导 致0,00,dpmpvdx 边 界 层 外 主 流 减 速 导 致高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer应用边界层概念应注意的问题应用边界层概念应注意的问题: :(1)(1)上述边界层概
16、念及分析是以沿平板的无界外部流上述边界层概念及分析是以沿平板的无界外部流动为例进行介绍的，内部流动的边界层情况不同动为例进行介绍的，内部流动的边界层情况不同(2)(2)在平板前缘很短的一段距离内，边界层理论不适在平板前缘很短的一段距离内，边界层理论不适用用(3)(3)若出现边界层脱体，或发生回流情况，边界层的若出现边界层脱体，或发生回流情况，边界层的特性也将改变特性也将改变高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer通过引入适当的相似变量，变换边界层动量方程、通过引入适当的相似变量，变换边界层动量方程、能量方程与边界条件，消除其
17、对能量方程与边界条件，消除其对x x的依赖关系，将的依赖关系，将偏偏微分方程微分方程转化为转化为常微分方程常微分方程。但相似解存在条件苛刻。但相似解存在条件苛刻。求解不相似层流边界层问题求解不相似层流边界层问题数值求解，将数值求解，将偏微分方程偏微分方程离散成离散成代数方程代数方程局部相似解和局部不相似解局部相似解和局部不相似解边界层积分方程边界层积分方程对于工程实际情况，复杂壁面，复杂对于工程实际情况，复杂壁面，复杂BCBC，任意变化的位，任意变化的位流速度，依赖于近似解；但积分方程所包含的动量、热量流速度，依赖于近似解；但积分方程所包含的动量、热量以及质量传递信息比边界层微分方程要少，基本
18、上已被高以及质量传递信息比边界层微分方程要少，基本上已被高精度的数值计算所代替。精度的数值计算所代替。高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer3-3 Integral Equation一、边界层积分方程组一、边界层积分方程组1.1.基本思想基本思想边界层微分方程边界层微分方程: :要求对边界要求对边界层内每一个层内每一个微元体微元体都满足守恒都满足守恒定律定律边界层积分方程边界层积分方程: :对包括固体对包括固体边界及边界层外边界在内的边界及边界层外边界在内的有有限大小的控制容积限大小的控制容积满足动量及满足动量及能量守恒定
19、律即可。能量守恒定律即可。xxxWF高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer能量平衡能量平衡0Hxpc Tudyxxxxdxdx0 HFpdc Tudyxdx0WyTxy xxxWF00()Hydttt udyadxy00)(yytadyuttdxdtd000()()yduduuu udyuu dydxdxydd00)(yyudyuuudxdd0Hxxxpdc Tudyxdx穿过cd面进入控制体的质量流量高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer2.Note
20、:(1)(1)由有限控制体方法推导积分方程时，只要求在其研究的区由有限控制体方法推导积分方程时，只要求在其研究的区域内以整体方式满足守恒方程，而不像微分方程要求在域内以整体方式满足守恒方程，而不像微分方程要求在其区域内每一点上满足守恒方程。其区域内每一点上满足守恒方程。(2)(2)从数学上看，对于由微分方程得到的积分方程，满足原微从数学上看，对于由微分方程得到的积分方程，满足原微分方程的解一定满足积分方程，而满足积分方程的解不分方程的解一定满足积分方程，而满足积分方程的解不一定满足原微分方程（弱解）一定满足原微分方程（弱解）(3)(3)积分方程忽略了积分方程忽略了v-方向的动量和能量的变化，因
21、此积分方方向的动量和能量的变化，因此积分方程包含的流场和温度场的信息比各自相应的边界层微分程包含的流场和温度场的信息比各自相应的边界层微分方程要少。方程要少。(4)(4)积分方程积分方程不能不能给出求解区域上每一点速度、温度分布的精给出求解区域上每一点速度、温度分布的精确结果。确结果。高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer3.3.用边界层积分方程求解对流换热问题的基本步骤用边界层积分方程求解对流换热问题的基本步骤: :(1)(1)针对包括针对包括固体边界固体边界及及边界层外边界边界层外边界在内的有限大小的控制在内的有限大小
22、的控制容积，建立边界层积分方程容积，建立边界层积分方程( (对有限大小的控制容积建立对有限大小的控制容积建立动量及热量平衡动量及热量平衡/ /或或直接对边界层微分方程作积分直接对边界层微分方程作积分) )(2)(2)对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数形式对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数形式为多项式为多项式(3)(3)利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分布代入积分方程，解出分布和温度分布代入积分方程，解出d d和和d dt t的计算式的计算式(4)(4)根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上
23、的根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的00fyyutcNuyy及和高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer00)(yytadyuttdxdtd能量积分方程：能量积分方程：动量积分方程：动量积分方程：00)(yyudyuuudxdd2 2个方程，个方程，4 4个未知量：个未知量：u, t, u, t, d d, , d dt t 。要使方程。要使方程组封闭，还必须补充两个有关这组封闭，还必须补充两个有关这4 4个未知量的方个未知量的方程。这就是关于程。这就是关于u u 和和 t t 的分布方程。的分布方程。231111
24、uab yc yd y232222tab yc yd y高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer4.动量积分方程求解动量积分方程求解00)(yyudyuuudxdd23uyyyabcduddd220:0:0,0:,0yyBCuyuyuyuuydd32123ddyyuu3 2,0,0.323w xyxuuyx1,2220.646Rew xfxxcu4.64Rexxd14013ddxud d高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer5. 能量积分方程求解能量积分
25、方程求解00)(yytadyuttdxdtd00:,0:,:wtBCtxxyttxxyttd离散的电子发热模块wTT引入00()tydudyadxyd00,0:0,:txxyxxydTwT txd xd,uT0 x高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer23tttyyyabcdddd2200:0,0:,0tytyyyyydd32123ttWWyyttttdd如何利用已求解的速度分布？如何利用已求解的速度分布？假设流体假设流体Pr1，则，则t，整个温度边界层处于速度边，整个温度边界层处于速度边界层内界层内高等传热学高等传热学
26、Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transferassume:,tttyydddd1 ,tuUu 100(1)tttttdaUddxudd将将 的表达式代入上式的表达式代入上式,U 133031313(1)22222tttttdaddxudd2333()202802ttdadxudd高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer210dadxu dd 变量分离分别对变量分离分别对x积分积分 23102ddadxdxud d d4.64Rexxd33413314Prdxdx关于关于3的一阶线性
27、常微分方程的一阶线性常微分方程33 41314Prcx0,0 xx3 401314Prcx 1 33 41 31 3013Pr114txxdd高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer换热换热03322wtyTqydd 1 33 41 31 200.332PrRe1wwxttxqxx1 33 41 31 200.332PrRe1wxxwqxhttxx1 33 41 31 20Nu0.332PrRe1xxxh xxx4.64Rexxd1 33 41 31 3013Pr114xx高等传热学高等传热学 Advanced Heat T
28、ransferAdvanced Heat TransferNote:1 31 2Nu0.332PrRexxxh x如果如果x0=0，全板长都有换热，全板长都有换热1 31 313Pr14tdd1 31 3134.64Pr14RetxxdPr1,tdd1 2,ttxxdd1 31 2001Nu0.664PrReLLxLNu dxL高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat TransferIf Pr1 ，即，即， Pr1，但对气体（但对气体（Pr1）仍适用。）仍适用。如果如果Pr UWTUHF的壁面温度梯度更大。的壁面温度梯度更大。层流的热边界条
29、件影响较大。而湍流不明显层流的热边界条件影响较大。而湍流不明显高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer7. Flat plate with varying surface temperature1020,0:,:0:wwtxxyttxxyttxtt 22tttuvaxyy方程具有线性齐次特征方程具有线性齐次特征(速度场与温度场不耦合的情况速度场与温度场不耦合的情况)，在一些特定情况下，获得的特解，叠加仍是原方程的解在一些特定情况下，获得的特解，叠加仍是原方程的解superposition principle。叠加方法叠加方法
30、是传热传质学基本研究是传热传质学基本研究方法之一方法之一0 x1wt2wt高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer12,ttx yx y 引入11110:,0:00:0wyttxyx 21112uvaxyy22222uvaxyy02210220, 00:,:00:0wwxxyttxxyx 各含一个非齐次各含一个非齐次BC120120,0,x yx yxxt x ytx yx yxx0 x1wt0 xt21wwttt1020,0:,:00:0wwttxxyttxxyx 高等传热学高等传热学 Advanced Heat Tran
31、sferAdvanced Heat Transfer 11 31 201 33 41 31 2012100.332PrRe,00.332PrRe1,wwxwxwwwttqxxxxqttttxxxx12 wwif tt1 wif tt0,0UWT x 0,UWT x高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer8. 用积分方程求解时注意的问题用积分方程求解时注意的问题全场完整的数学描写：椭圆型非线性偏微分方程全场完整的数学描写：椭圆型非线性偏微分方程边界层方程：抛物线型非线性偏微分方程边界层方程：抛物线型非线性偏微分方程积分方程：常
32、微分方程积分方程：常微分方程用积分方程求解时，得到的解不是唯一的用积分方程求解时，得到的解不是唯一的积分方程解的误差积分方程解的误差q常微分方程常微分方程q解的精度与假设的速度，温度分布有关解的精度与假设的速度，温度分布有关(相容性边界条件相容性边界条件)边界层厚度的定义随假定的速度与温度分布表达式相关，边界层厚度的定义随假定的速度与温度分布表达式相关，比较边界层厚度绝对值毫无意义，最好用无量纲形式表达比较边界层厚度绝对值毫无意义，最好用无量纲形式表达积分方程的解。积分方程的解。高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer3-4
33、 其他情形其他情形1.The properties of fluids depend on temperaturemTTnTTWater(0-100): m= -6, n=0.95-0.22ntTTTuvaxyyTymuuTuuvxyyTy高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat TransferIntroduce:uyxwwTTTT fuxTT:0 :0 :1BC 1102mfmfff:0 :0,0 :1BCfff 11Pr02nnf 利用龙格库塔法数值积分求解利用龙格库塔法数值积分求解高等传热学高等传热学 Advanced Heat Tr
34、ansferAdvanced Heat Transfer对工程上常壁温情形：对工程上常壁温情形：Pr1 500w0.62 0.25wTT0.251 21 3,Pr0.33RePrPrfx fx ffwNu0.251 21 3Pr0.66RePrPrffffwNu结果表明：结果表明：物性变化的影响与流体被加热或冷却有关：物性变化的影响与流体被加热或冷却有关：高等传热学高等传热学 Advanced Heat TransferAdvanced Heat Transfer2.The effects of blowing and suctionq降低阻力降低阻力q加热表面加热表面0wv q高温环境中保护壁面高温环境中保护壁面Hot EnvironmentCoolantFilm