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1、高二数学复习讲义导数及其应用知识归纳1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0处有增量x ，那么函数y 相应地有增量 y =f（x0+ x ）f （x 0 ），比值y叫做函数 y=f （x）在 x 0 x 到 x 0 + x之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即y = f (x0 x) f (x0) 。如果当x0时，x x y有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处x 0 可导，并把这个极限叫做 f （x）在点 x 0处的导数，记作f （x 0）或 y| x x0。即 f （x ）= lim y = lim f (x0 x) f (x0) 。0 x0 xx0 x 说明：（
2、1）函数 f （x）在点 x0处可导，是指x 0 时，yx有极限。如果yx不存在极限，就说函数在点 x 0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量 x 在 x 0处的改变量，x0 4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和 ( 或差) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和 ( 或差)，即： ( uv)uv. 法则 2 ：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘 以 第 二 个 函 数 的 导 数 ， 即 ：(uv)uvuv . 若 C 为常数 , (Cu)CuCu0CuCu . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu)Cu. 法则 3
3、：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的 u u v uv 积再除以分母的平方： =v 2 v （v 0 ）。形如 y=f (x )的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法时，而y 是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f （x）在点 x 0处的导数的步骤：（ 1）求函数的增量y=f（x 0 + x）f （x 0）；（2）求平均变化率y=f (x0 x)f (x0)；xx （3）取极限，得导数f (x 0 )= limy。x0 x 2导数的几何意义函数 y=f （x）在点 x 0处的导数的几何意义是曲线 y=f （x）在点 p （
4、x 0，f （x 0）处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （x）在点 p （x 0，f （x 0）处的切线的斜率是f （ x 0）。/ 相应地，切线方程为 y y 0 =f （x 0）（xx 0）。3几种常见函数的导数: C0; xnnxn 1; (sin x ) cos x; (cosx )sinx ; (ex)ex; ( ax)axlna ; ln x1 ; l o gax1 logae. x x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页则：y| X = y | Uu| X 5. 单调区间： 一般地，设函数yf (
5、x) 在某个区间可导，如果f(x)0，则f (x)为增函数；如果 f(x)0 ，则 f (x) 为减函数；如果在某区间内恒有f(x)0，则f (x)为常数；6. 极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0 ，极值点处的导数为 0 ；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7最值 ：一般地，在区间 a ，b 上连续的函数 f (x)在a ，b 上必有最大值与最小值。求函数 ? (x)在(a，b)内的极值；求函数 ? (x)在区间端点的值 ?(a) 、?(b) ；将函数 ? (x)的各极值与 ?(a) 、?(b) 比较，其中最大的是最大值，其中最小的
6、是最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页高考题型解 ： y/ ( xa) ( 3 x 2a，b) 由 y/ 0 得1. 导数定义的应用例 1 ( 北京高考）如图，函数f ( x)的图象是x a , x 2ab，当 xa 时，y取极大值3 折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为0 ，当x2ab时y取极小值且极小值为(0， 4) ，(2 ，0) ， (6， 4) ，3 lim f 1x f 1负故选 C或当xb时y0，当xb时，_y 0 选 Cx 0 x y 4 A C 点评: 通过导数研究函数图像的变化规律, 也
7、3 是考试的热点题型 . 2 3. 利用导数解决函数的单调性问题1 B x 例 5 （ 全 国 高 考 ） 已 知 函 数O 1 2 3 4 5 6 解：由图可知fx 2x 4 0 x 2 f ( x ) x 3 ax 2 x 1，aR，根x 2 2 x 3 （）讨论函数f ( x)的单调区间；据导数的定义知 lim f 1x f 1 f 12（）设函数f ( x)在区间2，1内是减函x 0 x 3 3 例 ( 重 庆 高 考 ) 已 知 函 数f xx2 bx c e x,其中 b, c R ，（）略，（）若 b2 4 c 1 , 且 lim f x c 4 ，试x x0 证：6b2解 ：2
8、 b 2 x b c e x ， 易 知f 0 c 故f x f 0f x c ，x x 0 x0 x0 b c 4, 解得6b2所以b2 4 c1 , 2. 利用导数研究函数的图像例 3 （ 安 徽 高 考 ） 设 a b, 函 数y ( 2 ( x的 b)图像可能是x a) 数，求 a 的取值范围解 ：（ 1 ）f ( x )x3ax2x1 求 导 得f ( x )2 x 1 3 x 2a 当2 3 时， 0 ，0 ，f ( x) 在R 上a f ( x) 递增；当2 3 ，求 得 两 根 为a f ( x)0 x a a23 ，3 即f ( x) a a2 3 在，递 增 ，3 a a
9、2 3 aa2 3 递减，3 ，3 a a2 3 3 ，递增。（2）因为函数f ( x)在区间2 ，1 内是减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页3 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页2 1 函数，所以当x，时 fx0 恒成3 3 2 f 0 3 解立，结合二次函数的图像可知1 3 得a2点评：函数在某区间上单调转化为导函数f x0或 f x0 在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法本题也可以由函数 a a 23 a a2 3 在3 ，
10、3 上递减，所以 a a23 2 3 3 求解 a a23 1 3 3 【 变 式1 】（全 国 高 考 ） 若 函 数f x13 x312 ax 2a 1 x 1 在区间1,4上是减函数，在区间6,上是增函数，求实数 a 的取值范围解： fxx2axa1，令fx0 得x 1 或xa1，结合图像知4a16，故 a5,7 点评：本题也可转化为fx0，x1,4 恒成立且 fx0，x6,恒成立来解【 变 式 2 】（浙 江 高 考 ） 已 知 函 数f ( x ) x 3(1 a ) x 2 a ( a 2)x b ( a, bR) 若函数f ( x) 在区间 ( 1,1) 上不单调，求a 的取值范
11、围解：函数f (x) 在区间( 1,1) 不单调，等价于f x0 在区间( 1,1) 上有实数解，且无重根 2 1 a xa a 2又2 ，由f x0 ，得x1a, x2a32。从而1 a 1, 1 a 2 1, a 2 或3 解得a 2 a , 3 3 . 1 a 1, 5 a 1, 1 1 或a , a , 2 2 5,1 1 所以a 的取值范围是,1 . 2 2 点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问题例 6 （江西高考）若存在过点(1, 0)的直线与曲线yx3和yax215 x 9都相切
12、，则 a 等4 于A 1 或- 25 B 1或21 4 64 C 7 或- 25 D 7 或 7 4 64 4 解：设过( 1, 0 )的直线与yx3相切于点( x0 , x03 )， 所 以 切 线 方 程为y x033 x02( x x0)即 y 3 x02 x 2x03，又(1, 0)在切线上，则x00 或x032，当 x00 时，由y0与yax2154x9相切可得a6425，3 2 7 2 7 当x0 时 ， 由y x 与2 4 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页y ax 2154 x 9 相切可得a1，
13、所以选A . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点【变式】（辽宁高考）设P 为曲线C：y x 22 x 3 上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 0，则点 P 横坐4 标的取值范围为（）A 1 ， 1 B1，0 2 1 2 解：由曲线C在点 P 处切线倾斜角的取值范围为0，可得曲线 C 在点 P 处切线的斜 4 率范围为0 1y 2x 2 ，设点P 的横坐，又标 为x0 ， 则02x021 ， 解 得1 x012，故
14、选A5. 利用导数求函数的极值与最值例7 （ 天 津 高 考 ） 已 知 函 数f ( x ) x 4 ax 32x 2 b （xR）， 其 中a, b R 若函数f ( x)仅在x0处有极值，求 a 的取值范围解： f( x )x (4 x23ax4) ，显然x0不是方程4 x23ax40的根为 使f ( x) 仅 在 x0 处 有 极 值 ， 必 须4 x2 3ax 4 0 成立，即有 9a2 64 0 解不等式，得83a83这时，f (0)b 是唯一极值因此满足条件的a 的取值范围是 83 , 83 6. 利用导数解决实际问题例 8 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要
15、求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为 x（m ），则长为2x (m)，高为h18 12x 4.5 3x(m) 3 0 x . 4 2 故长方体的体积为2 2 3 3 3 V x2x 4.5 3x 9x 6x m 0 x 2 从而 V (x)18x18x2(4.53x)18x(1x). 令 V x0 ，解得x0（舍去）或x1，因此x1. 当 0 x1 时， V x0 ；当1x32时，V x0 ，故在x1处 V x 取得极大值，并且这个极大值就是Vx 的最大值，从而最大体积 VV x912613m3，此时长方体的长为 2 m
16、 ，高为 1.5 m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页导数及其应用基础训练 A 组 一、选择题1若函数yf ( x)在区间 ( a , b) 内可导，且 x0( a, b) 则 lim f ( x0 h ) f ( x0 h) h h0 的值为（B ）Af ( x ) B2 f ( x ) C2 f( x ) D0 0 0 0 lim f (x0 h ) f (x0 h ) lim 2 f (x0 h ) f (x0 h) h 2h h 0 h0 2lim f (x0 h ) f (x0 h) 2 f (x ) h
17、0 2h 0 2一个物体的运动方程为s1tt2其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ C）A 7 米/秒B 6 米/秒C5米/秒D8米/秒s (t )2t 1, s(3)2315 3函数 y = x3+ x 的递增区间是（ C ）A(0,) B(,1) C(,) D(1,) y = 3x2+ 1 0 对于任何实数都恒成立4 f (x ) ax3 3x2 2 ,若 f ( 1) 4 ,则 a 的值等于（ D ）A19 B16 3 3 C13 D10 3 3 f (x )3ax 26x, f ( 1)3a 64, a 10 3 5函数yf (x)在一点的导数值为0是函数yf (x)在这点取极值的（D ）A充分条件B必要条件C充要条件D必要非充分条件对于 f (x )x3, f(x )3x2, f(0)0, 不能推出f (x) 在x0取极值，反之成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页