2022年变化率和导数 .pdf

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1、精品教学教案第一章导数及其应用第一课时：变化率问题教学目标：1理解平均变化率的概念；2了解平均变化率的几何意义；3会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、 函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念教学过程：一创设情景为了描述现实世界中运动、 过程等变化着的现象， 在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线 ; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数

2、增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题： 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案二新课讲授（一）问题提出问题 1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现 ,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度 ,如何描述这种现象呢 ? 气球的体积V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV

3、如果将半径 r 表示为体积 V 的函数 ,那么343)(VVr分析: 343)(VVr，当 V 从 0增加到 1 时,气球半径增加了)(62.0)0()1 (dmrr气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr当 V 从 1增加到 2 时,气球半径增加了)(16.0) 1()2(dmrr气球的平均膨胀率为)/(16.012)1 ()2(Ldmrr可以看出，随着气球体积逐渐增大， 它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从 V1增加到 V2时,气球的平均膨胀率是多少 ? 1212)()(VVVrVrh t o精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

4、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案问题 2 高台跳水在高台跳水运动中 ,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5 .00t和21t的平均速度v在5 .00t这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(smhhv；在21t这段时间里，)/(2.812)1()2(smhhv探究：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度， 并思考以

5、下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms， 但实际情况是运动员仍然运动， 并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态（二）平均变化率概念 : 1上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf表示, 称精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

6、- - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案为函数 f(x)从 x1到 x2的平均变化率2若设12xxx, )()(12xfxfy(这里x看作是对于x1的一个 “ 增量” 可用 x1+x代替 x2,同样)()(21xfxfy代替可用) 3则平均变化率为xyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212思考：观察函数 f(x)的图象平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么 ? 直线 AB 的斜率三备选例题44.043. 041.040.01.0,21)(12、的值为（）时，则在、已知函数例DCBAyxxxxfy例 2、已知函

7、数f(x)=xx2的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB,则xy解：)1()1(22xxy，xxxxxy32)1()1(2四课堂练习1质点运动规律为32ts，则在时间)3,3(t中相应的平x1 x2 O y y=f(x) f(x1) f(x2) x= x2-x1y =f(x2)-f(x1) x 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案均速度为五回顾总结1平均变化率的概念2函数在某点处附近的平均变化率六布置作业上

8、的平均变化率在区间，变式训练，求函数、金榜时平均变化率值变化率，并求当上的平均的在区间，求，例、金榜2, 212221, 1,12)(12120002xxyPxxxxxxxfyP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案第二课时导数的概念教学目标：1了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、 导数的概念；教学难点

9、：导数的概念教学过程：一创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然h t o精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，

10、共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态二新课讲授1瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t时的瞬时速度是多少？考察2t附近的情况：思考：当t趋近于 0 时，平均速度v有什么样的变化趋势？结论：当t趋近于 0 时，即无论t从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t时的

11、瞬时速度是13.1/m s精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案为了表述方便，我们用0(2)(2)lim13.1ththt表示“当2t，t趋近于 0 时，平均速度v趋近于定值13.1”小结： 局部以匀速代替变速， 以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念从函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率是 : 0000()()limlimxxf xxf xfxx我们称它为

12、函数( )yf x在0 xx出的导数，记作0()fx或0|xxy，即0000()()()limxf xxf xfxx说明： （1）导数即为函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率（ 2 ）0 xxx， 当0 x时 ，0 xx， 所 以0000()()()l i mxfxfxfxxx三典例分析例 1求函数 y=3x2在 x=1处的导数 .例 2 （课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热， 如果第xh时，原油的温度（单位：C）为2( )715(08)f xxxx，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的精品资料 - - - 欢迎下载

13、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案意义解： 在第2h时和第6h时， 原油温度的瞬时变化率就是(2)f和(6)f根据导数定义，0(2)()fxf xfxx22(2)7(2)15(27215)3xxxx所以00(2)limlim (3)3xxffxx同理可得 :(6)5f在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3/C h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/C h的速率上升注：一般地，0()fx反映了原

14、油温度在时刻0 x附近的变化情况例 3、质点运动规律为32ts，求质点在3t的瞬时速度为四课堂练习1例 2 中，计算第3h时原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义2求质点运动规律为22ts，求质点在2t的瞬时速度五回顾总结1瞬时速度、瞬时变化率的概念2导数的概念精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案六布置作业、课本 P10 A 组 第 2 和第 4 题)(2141)4,1(3)(64435)(,333/22xfxyyxPxx

15、fyPxxxxfyP）（）求：（），及附近一点（的图像上取一点、曲线，、金榜处的导数在求函数，例、金榜精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案第三课时导数的几何意义教学目标：1了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2理解曲线的切线的概念；3通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点： 曲线的切线的概念、 切线的斜率、 导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义教学过程：一创设情景（一）平均变化率

16、、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率，反映了函数 y=f(x)在 x=x0附近的变化情况，导数0()fx的几何意义是什么呢？二新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,() (1, 2, 3, 4nnnPxfxn沿着曲线( )f x趋近于点00(,()P xf x时， 割线nPP的变化趋势是什么？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案我们发现 ,

17、当点nP沿着曲线无限接近点P 即x0 时,割线nPP趋近于确定的位置， 这个确定位置的直线PT 称为曲线在点 P 处的切线.问题： 割线nPP的斜率nk与切线 PT 的斜率k有什么关系？切线 PT 的斜率k为多少？容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnfxf xkxx,当点nP沿着曲线无限接近点 P 时，nk无限趋近于切线 PT 的斜率k，即0000()()lim()xf xxf xkfxx说明： （1）设切线的倾斜角为 ,那么当 x0 时,割线PQ的斜率 ,称为曲线在点 P 处的切线的斜率 .这个概念 : 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;图 3.1-2 精品资料 - - -

18、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案切线斜率的本质 函数在0 xx处的导数 . （2）曲线在某点处的切线 :1)与该点的位置有关 ;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限 ,则在此点有切线 ,且切线是唯一的 ;如不存在 ,则在此点处无切线;3)曲线的切线 ,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个 . （二）导数的几何意义 ：函数 y=f(x)在 x=x0处的导数等于在该点00(,()xf x处的切线的斜率，即0

19、000()()()limxfxxf xfxkx说明： 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 P 点的坐标 ; 求出函数在点0 x处的变化率0000()()()limxfxxf xfxkx，得到曲线在点00(,()xf x的切线的斜率；利用点斜式求切线方程. （二）导函数 ：由函数f(x)在 x=x0处求导数的过程可以看到,当时,0()fx是一个确定的数，那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数 ,我们叫它为 f(x)的导函数 .简称导数，记作：( )fx或y，即:0()( )( )limxf xxf xfxyx三典例分析精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

20、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案例 1 （课本例 7）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2( )4.96.510h xxx，根据图像，请描述、比较曲线( )h t在0t、1t、2t附近的变化情况解：我们用曲线( )h t在0t、1t、2t处的切线，刻画曲线( )h t在上述三个时刻附近的变化情况（1）当0tt时，曲线( )h t在0t处的切线0l平行于x轴，所以，在0tt附近曲线比较平坦，几乎没有升降（2）当1tt时，曲线( )h t在1t处的切线1l的斜率1(

21、 )0h t，所以，在1tt附近曲线下降，即函数2( )4.96.510h xxx在1tt附近单调递减（3）当2tt时，曲线( )h t在2t处的切线2l的斜率2( )0h t，所以， 在2tt附近曲线下降，即函数2( )4.96.510h xxx在2tt附近单调递减从图 3.1-3 可以看出，直线1l的倾斜程度小于直线2l的倾斜程度，这说明曲线在1t附近比在2t附近下降的缓慢例 2:求曲线 y=f(x)=x2+1 上的横坐标为 1 的点处的切线方程.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14

22、页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案四课堂练习1课本 P10 A 组第 5 题2.（备选练习）2抛物线 y=x 在点P处的切线与直线 4x-y+2=0平行，求点 P坐标和切线方程五回顾总结1曲线的切线及切线的斜率；2导数的几何意义六布置作业2200001112213322x、（金榜 P5，变式训练）求曲线y=在点（,2 ）处的切线斜率，并写出切线方程、（金榜 P7，课堂基础达标）求曲线y=2x-x 在点 (1,1) 处的切线方程、（金榜 P7，课堂基础达标）已知曲线y=x -2 上一点 P(1,-)，则过点的切线的倾斜角为（）A、30 B、45 C、135 D

23、、165精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 精品教学教案精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - - -