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1、College of mathematics August 11, 20227.3 二重积分的应用二重积分的应用Applications of Double IntegralsCollege of mathematics August 11, 20227.2.1 二重积分的元素法二重积分的元素法College of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。将定积分的元素法推广到二重积分将定积分的元素法推广到二重积分
2、可得二重积分的元素法可得二重积分的元素法College of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 若要计算的某个量若要计算的某个量 U 对于闭区域对于闭区域 D 具有具有可加性可加性DUdU d d dyxf),(),(yx并且在闭区域并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为时，相应地部分量可近似地表示为 的的形式，其中形式，其中 在在 内内则所求量的
3、积分表达式为则所求量的积分表达式为 dyxf),(dU 称为所求量称为所求量U的的元素元素，记为，记为 ，( , )Df x y d二重积分的元素法二重积分的元素法(即当闭区域即当闭区域 D 分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量 U相相应地分成许多部分量，且应地分成许多部分量，且U 等于部分量之和等于部分量之和)，College of mathematics August 11, 20227.3.2 曲面的面积曲面的面积The Area of a SurfaceCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新
4、的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。平面的面积平面的面积:0AxByCzD求平面在有界闭区域求平面在有界闭区域 D上的那一块的面积上的那一块的面积 A DA已知已知求求ACollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。则则cosAcosA设平面与设平面与 z=0 的夹角的夹角 为为DAAACollege of m
5、athematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。:0AxByCzD平面平面与与 z = 0 的夹角余弦为的夹角余弦为222cosCABCn,A B C与与 k 夹角余弦夹角余弦所以所以cosA222ABCCDACollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既
6、开放又相互信任的合作环境。曲面方程：曲面方程：( , )zf x y( , )x yD:D有界闭区域有界闭区域求曲面的面积求曲面的面积 ADCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。dA( , )x ydA( , )zf x y切平面的法矢：切平面的法矢：n,1xyff 切平面与切平面与 z = 0 的夹角余弦：的夹角余弦：221cos1xyff（ n与与 k 的夹角余弦的夹角余弦 ）Colle
7、ge of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。221cos1xyffdA( , )x ydAdAcosd221xydAffd面积元素面积元素ADdA221xyDffdCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2
8、21xyDAffdD曲曲面面面面积积其中其中 D 是曲面在坐标面是曲面在坐标面 z = 0上的投影区域上的投影区域求曲面面积的步骤：求曲面面积的步骤：(1)求曲面在坐标面求曲面在坐标面 z = 0上的投上的投 影区域影区域 D(2) 在区域在区域 D 上计算二重积分：上计算二重积分：221xyDAffdCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。设曲面的方程为：设曲面的方程为：( , )yh z
9、x曲面面积公式为：曲面面积公式为： 221zxyyzxDAdzdx设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： 221yzxxyzDAdydz同理可得同理可得),(zygx yzDzxD),(xzhy College of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。Example22zxy22:D xyx投影区域投影区域Projection22xyx22xyx1College of
10、 mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。22zxy22:D xyx22zxxxy22zyyxy221()()zzxy2222221xyxyxy2A221()()Dzzdxy2Dd22422xyx1College of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开
11、放又相互信任的合作环境。Example222zaxyzh(0)haazhD222zaxyzh球冠在球冠在 xOy 面上面上的投影区域：的投影区域：2222:D xyahCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。222zaxy2222:D xyah222zxxaxy 221()()zzxy222222221xyaxyaxy222zyyaxy 222aaxyazhDCollege of mathem
12、aticsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。A221()()Dzzdxy2222:D xyah221()()zzxy222aaxy222Dadaxy2222200ahadrdrar222202( 1)ahar 2()a ah2 aH()HahazhDCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价
13、值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2AaH2()Aa ahazhH半球面面积：半球面面积：A0lim2()ha ah22 a球面面积：球面面积：24AaaCollege of mathematics August 11, 20227.3.3 平面薄片的重心平面薄片的重心The Center of Mass of a LaminaCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。
14、质点质点 : P(x, y)质量质量 : m质点质点 P 对对 x 轴的轴的静力矩静力矩：xMymy( , )P x yx质点质点 P 对对 y 轴的静力矩：轴的静力矩：yMxmCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。平面薄片占据区域平面薄片占据区域 D( , )x y面密度：面密度：( , )x y取一小块薄片：取一小块薄片：dd位于位于(x, y)近似地看成质点近似地看成质点小薄片质量：小
15、薄片质量：( , )dMx y d质量元素质量元素D薄片质量：薄片质量：DMdM( , )Dx y dCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。yxd小薄片对小薄片对 x 轴的轴的静力矩静力矩：( , )xdMyx y d对对 y 轴的静力矩元素轴的静力矩元素小薄片对小薄片对 y 轴的轴的静力矩静力矩：( , )ydMxx y d对对 x 轴的静力矩元素轴的静力矩元素College of mat
16、hematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。yxd薄片对薄片对 x 轴的轴的静力矩静力矩：xxDMdM( , )Dyx y d薄片对薄片对 y 轴的轴的静力矩静力矩：yyDMdM( , )Dxx y dThe moment about the x-axisThe moment about the y-axisCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新
17、的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。( , )xDMx yyd( , )yDMx yxd薄板的薄板的重心重心坐标：坐标：( , )x yyMxM( , )( , )DDxx y dx y dxMyM( , )( , )DDyx y dx y dThe center of the mass( , )x yCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化
18、氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。DDx dxd DDy dyd 若薄片有均匀密度：若薄片有均匀密度：（常数）（常数）薄板的重心坐标：薄板的重心坐标：DDx dxd DDxdd1DxdCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。DDy dyd DDydd1Dyd此时的中心成为此时的中心成为形心形心1Dxxd1Dxxd1DyydCollege of mathematicsAugust 11, 2
19、022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例3.424yx2yx是常数是常数求形心求形心作图作图implicitplot(y2=4*x,x=-0.2.1.2,y=-0.5.2.2,thickness=3,scaling=constrained);交点：交点：(0,0)(1,2)24yx2yxDdD1202xxdxdy2yx102()xx dx13College of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创
20、新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2yxD2yxDxd1202xxdxxdy102()xxx dx215Dyd1202xxdxydy1201()2xxdx13College of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。13215132yx2yx211532511331形心：形心：( , )x y2( , 1)5DxdDy
21、d1Dxxd1DyydCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例3.3自学自学由对称性，重心在由对称性，重心在 x 轴上：轴上：0y College of mathematics August 11, 20227.3.4 平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量The Moment of Inertia of a LaminaCollege of mathematicsAugust 11, 20
22、22上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。质点质点 : P(x, y)质量质量 : m质点质点 P 对对 x 轴的轴的转动惯量转动惯量：2xIy my( , )P x yx质点质点 P 对对 y 轴的静力矩：轴的静力矩：2yIx my：转动半径：转动半径x：转动半径：转动半径College of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为
23、中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。质点质点 P 对对 原点原点 O 的的转动惯量转动惯量：22()OIxym转动半径转动半径22xyO( , )P x y22xyCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。平面薄片占据区域平面薄片占据区域 D( , )x y面密度：面密度：( , )x y取一小块薄片：取一小块薄片：dd位于位于(x, y)近似地看成质点近似地看成质点小薄片质量：
24、小薄片质量：( , )dMx y d质量元素质量元素DCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。yxd小薄片对小薄片对 x 轴的轴的转动惯量转动惯量：2( , )xdIyx y d对对 y 轴的转动惯量元素轴的转动惯量元素小薄片对小薄片对 y 轴的轴的转动惯量转动惯量：2( , )ydIxx y d对对 x 轴的转动惯量元素轴的转动惯量元素对对 O 的转动惯量元素的转动惯量元素小薄片对小薄片对
25、原点原点O的的转动惯量转动惯量：22() ( , )OdIxyx y dCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。yxd薄板对薄板对 x 轴的轴的转动惯量转动惯量：xIxDdI2( , )Dx yyd薄板对薄板对 y 轴的轴的转动惯量转动惯量：yIyDdI2( , )Dx yxdThe moment of inertia about the x-axisThe moment of inertia
26、 about the y-axis2( , )xdIyx y d2( , )ydIxx y dCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。薄板对原点薄板对原点 O 的的转动惯量转动惯量：OIODdI22( , )()Dxx y dyThe moment of inertia about the origin22() ( , )OdIxyx y dOIxyIIyxdCollege of mathem
27、aticsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。xI2( , )Dx yydyxdy：转动半径：转动半径问：薄片关于直线问：薄片关于直线 y = a 的转动惯量？的转动惯量？yxdya微元的转动半径：微元的转动半径：ya dI2()( , )yax y dCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客
28、价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 DIdI2()( , )Dyax y d2()( , )dIyax y dyxdya转动半径转动半径College of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例3.5222:D xya0y aa2Ddy xI200( sin )adrrdr2300sinadr dr 401(1cos2 )24ad418aCollege of mathematicsAugust 11, 2022上一页 | 首页 | 下一页有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2Ddx yI200( cos )adrrdr2300cosadr dr 401(1cos2 )24ad418aaaOxyIII414a