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1、关于二重积分的应用关于二重积分的应用现在学习的是第1页，共15页一、问题的提出一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. d d dyxf),( dyxf),(),(yx 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 DdyxfU ),(dU现在学习的是第2页，共15页二、体积二、体积卫星hoxz现在学习的是第3页，共15页例例 1 1 求椭球面12222
2、22czbyax所围之椭球的体积 解解 由于椭球体在空间直角坐标系八个卦限上的体积是对称的令D表示椭球面在xOy坐标面第一象限的投影区域，则 D0, 0, 1),(2222yxbyaxyx， 体积DdxdyyxzV),(8 作广义极坐标变换sin,cosbryarx, 则此变换的雅可比行列式abrJ ，相对应的积分区域 20, 10),(*rrD， 此时21),(rcyxzz，从而 abrdrrcddrdJbrarzVD2*010218)sin,cos(8 abcdrrrabc10234128 一、体积现在学习的是第4页，共15页三、曲面的面积三、曲面的面积卫星hoxz现在学习的是第5页，共1
3、5页设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影区区域域为为在在,Dd 设设小小区区域域,),( dyx 点点.),(,(的的切切平平面面上上过过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图， d),(yxMdAxyzs o 现在学习的是第6页，共15页,面面上上的的投投影影在在为为xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面S的面积元素曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)(
4、)(1现在学习的是第7页，共15页设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得现在学习的是第8页，共15页例例 1 1 求求球球面面2222azyx ，含含在在圆圆柱柱体体axyx 22内内部部的的那那部部分分面面积积.由由对对称称性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲曲面面方方程程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解)0,( yx现在学习的是第9页，共15页面积面积dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxa
5、a cos0220142ardrrada.4222aa 现在学习的是第10页，共15页例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周,222 azayx在 平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 现在学习的是第11页，共15页 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a现在学习的是第12页，共15页例例 4 平平均均利利润润 某公司销售商品x个单位，商品y个单位的利润 ),( yxP5000)100()200(22yx 现已知一周内商品的销售数量在 150200 个单位之间变化， 一周内商品的销售数量在80100 个单位之间变化求销售这两种商品一周的平均利润 四、其他四、其他现在学习的是第13页，共15页NoImage现在学习的是第14页，共15页感谢大家观看现在学习的是第15页，共15页