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1、大学物理上大学物理上5-3一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成)cos()(1011tAtx已已知知：)cos()(2022tAtx21xxx 求求：5 53 3 简谐振动的合成简谐振动的合成研究方法：研究方法：1 1、解析法、解析法2 2、振动曲线合成法、振动曲线合成法)cos(10202122212 AAAAA2021012021010 coscossinsintgAAAA 3 3、旋转矢量合成法（如图）、旋转矢量合成法（如图）)cos(021 tAxxx设设同频率谐振动的合成A.exe2A1AA10200 1x2xx1M2MM12 102012 1 1、振动方向相
2、互垂直、频率相同的简谐振动的合成、振动方向相互垂直、频率相同的简谐振动的合成求：合成运动的运动方程和轨道方程求：合成运动的运动方程和轨道方程)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx已知：已知：)cos(11 tAx)cos(22 tAy三、相互垂直的简谐振动的合成三、相互垂直的简谐振动的合成jtAitAj yi xr)cos()cos(2211 消去时间参数，可得其轨道方程消去时间参数，可得其轨道方程一般情况下，其运动方程为：一般情况下，其运动方程为：该结果说明，其合成运动一般情况下是椭圆运动该结果说明，其合成运动一般情况下是椭圆运动其具体轨迹依赖于两分振动的其具体轨
3、迹依赖于两分振动的振幅和相位差振幅和相位差动动方方程程条条件件下下的的轨轨迹迹方方程程和和运运012 0)(221 AyAxxAAy12 合振动的轨迹为通过原点且在第一、合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线第三象限内的直线12AA其其斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移(运动方程运动方程)结果分析：结果分析：yx)cos(r1222122 tAAyx120AA时时，质质点点将将在在斜斜率率为为该该结结果果表表明明： 的的直直线线上上作作简简谐谐振振动动)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx动动方方程程条条件件下下的的轨轨迹迹方方程程和和运
4、运120)(221 AyAxxAAy12 合振动的轨迹为通过原点且在第二、合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线第四象限内的直线12AA 斜斜率率质点离开平衡位置的位移（运动方程）质点离开平衡位置的位移（运动方程）yx)cos(r1222122 tAAyx)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx12AA 时时，质质点点将将在在斜斜率率为为该该结结果果表表明明： 的直线上作简谐振动的直线上作简谐振动时时，212 1222212 AyAx合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆，运动方程为为轴线的椭圆，运动方程为)cos(11 tAx质点沿椭
5、圆的运动方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。yx)2cos(11 tAy)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAxyx2(4)12 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆)cos(11 tAx质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。)2cos(11 tAy)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx1222212 AyAx = 3 /4 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /20 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。 0时，顺时针方向转动。时，顺时针方向
6、转动。Q = /4PLsrt1.swf 可看作两频率相等而可看作两频率相等而 2- 1随随t 缓慢变化，其合成运动轨迹将按上缓慢变化，其合成运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。页图依次缓慢变化。yxA1A2o o- -A2- -A10t)()( xyxyt但在两分振动频率相差很小的情况下但在两分振动频率相差很小的情况下在两振动的频率成在两振动的频率成整数比整数比的的特殊情况下，其合成运动具有特殊情况下，其合成运动具有封闭的稳定的轨迹。这些封闭的稳定的轨迹。这些轨迹轨迹统称为统称为李萨如图形李萨如图形2 2、振动方向相互垂直、频率不同的简谐振动的合成、振动方向相互垂直、频率不同的简谐振动的合成一般情
7、况下的合成很难用函数来明确表达一般情况下的合成很难用函数来明确表达 垂直振动的合成轨迹可垂直振动的合成轨迹可利利用运动方程或旋转矢量，通过用运动方程或旋转矢量，通过作图的方法获得作图的方法获得 李莎茹图23.avi李萨如图形李萨如图形21:31:32 : 例例 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. . 若这若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为A/2-AOxt（1） （2）2/3（4）0（3）2/ 例例 一质点作谐振动，周期为一质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置，当它由平衡位置向向 x 轴正方向运动时，
8、从二分之一最大位移处到最大轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为位移处这段路程所需要的时间为（1）T/4 （2）T/12 （3）T/6 （4）T/8xAA0aAbA2ATt2326Tt 例例 已知一谐振动曲线如图所示，由图确定：已知一谐振动曲线如图所示，由图确定：（1）在）在_s时速度为零时速度为零 （2）在）在_s时动能最大时动能最大（3）在）在_s时加速度取正的最大值时加速度取正的最大值kk+1/22k+1/2ox(cm)12t（s）（2） 为最小时，为最小时， 为为_ 21xx 则（则（1） 为最大时，为最大时， 为为_21xx 3/2k3/42k 例例
9、已知两个同方向的简谐振动：已知两个同方向的简谐振动：),310(cos04. 01tx)10cos(03. 02tx)cos(tAx000vxt2xAA0vmx00AAx2TTt例例 用旋转矢量法求初相位用旋转矢量法求初相位2A 例例 一简谐运动的运动一简谐运动的运动曲线如图所示，曲线如图所示，求求振动周振动周期期 .020vAxt0t00s5 . 7vxt65TTt5 .72s18Tst5 . 70Ax)(st2A0Av5 .7xAA00 AAx2A*abt 例例 已知谐振动的已知谐振动的 A 、T ，求，求 1）如图简谐运动方）如图简谐运动方程，程， 2）到达）到达 a、b 点运动状态的时
10、间点运动状态的时间 . )cos(tAx解法一解法一从图上可知从图上可知0,2, 0vAxtcos2AA21cos)35,3(3或或0sin,00v353或或)3cos(tAxv)3cos(tAx)3cos(atAA4,2,03at2)3(at032atT6Tta)3cos(2btAA37,35,33bt2)3(bt332btT3Ttb0 AAx2A*abvt解法二解法二)cos(tAxA/20,2,0vAxt3xAA0矢量位于矢量位于 轴轴下方下方时时0vx0 AAx2A*abvt用旋转矢量法求初相位用旋转矢量法求初相位A/2)3cos(tAx0txAA0A/262TTtaatt 3)3(0
11、0 AAx2A*abvt)3cos(tAxbtt 32)3(332TTtb 例例 求两个同方向同频率的简谐振动的合振幅求两个同方向同频率的简谐振动的合振幅)6cos()m103(21tx)3cos()m104(22tx2)6(312A2221AAAm10520 x1A2A12)cos(212212221AAAAA 例例 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，求合振动的振幅和初相位。动，求合振动的振幅和初相位。)(cos()(mtx6210421 )(cos()(mtx65210322 m1012A61)6s2cos()m101 (12tx1A2A12x
12、0A323N2N0321xxxx0A例例 已知如下的三个简谐振动，已知如下的三个简谐振动，求求合振动合振动.tAxcos11)32cos(22tAx)34cos(33tAx321xxx求求：321AAA已知已知321A2A3AOx32火车的危险速率与轨长火车的危险速率与轨长 例例 车轮行驶到两铁轨接缝处时，受到一次撞击，使车轮行驶到两铁轨接缝处时，受到一次撞击，使车厢受迫振动车厢受迫振动 当车速达某一速率时（使撞击频率与车当车速达某一速率时（使撞击频率与车厢固有频率相同）发生激烈颠簸，这一速率即为危险速厢固有频率相同）发生激烈颠簸，这一速率即为危险速率率 设车厢总负荷为设车厢总负荷为 m = 5.5104 kg，车厢弹簧每受力，车厢弹簧每受力F = 9.8 103 N 被压缩被压缩 x = 0.8 mm，铁轨长，铁轨长 L = 12.6 m，求求 危险速率危险速率 已知已知：m = 5.5104 kg；受力受力F = 9.8 103 N，压缩压缩 x = 0.8 mm；铁轨长铁轨长 L = 12.6 m，mk解：解：s 42. 0s108 . 9108 . 01055222333FxmkmTxFkxkF 长轨有利于高速行车，无缝轨能避免受迫振动长轨有利于高速行车，无缝轨能避免受迫振动11hkm 108)sm(0 .3042. 06 .12TLv32 结束语结束语