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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 第二章 矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由mn个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个mn型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。n阶
2、矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满足AT=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.
3、反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)正交矩阵：若AAT=ATA=E，则称矩阵A是正交矩阵。（1）A是正交矩阵AT=A-1 （2）A是正交矩阵=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: 如果它有零行，则都出现在下面。 如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。3、矩阵的线形运算（1）加(减)法:
4、两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减).（2）数乘: 一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,运算法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: 加法交换律: A+B=B+A. 2加法结合律: (A+B)+C=A+(B+C). 加乘分配律: c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA. 数乘结合律: c(d)A=(cd)A. cA=0 c=0 或A=0.4、矩阵乘法的定义和性质（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A
5、相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.即：矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同: 矩阵乘法有条件. 矩阵乘法无交换律. 即ABBA 矩阵乘法无消去律：即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来. 矩阵乘法适合以下法则: 加乘分配律 A(B+C)= AB+AC, (A+B)C=AC+BC. 数乘性质 (cA)B=c(AB). 结合律 (AB)C= A(BC)（2）n阶
6、矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质: |AB|=|A|B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂 设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E .显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则: A kA h= A k+h. (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A kB k不一定相等! n阶矩阵的多项式： 设f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=amA m+am-1A m-1+ a1A +a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位
7、矩阵E.乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n阶矩阵互相都是互相可交换的,则乘法公式成立.例如当A和B可交换时,有:(AB)2=A22AB+B2; A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二项展开式成立: 等等.前面两式成立还是A和B可交换的充分必要条件.(3)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是mn矩阵B是ns矩阵，A的列向量组为a1,a2,an，B的列向量组为b1, b2,bs，AB的列向量组为g1, g2,gs，则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形): AB的每个列向量为:gi=A
8、bi,i=1,2,s.即A(b1, b2,bs)= (Ab1,Ab2,Abs). b=(b1,b2,bn)T,则Ab= b1a1+b2a2+bnan.应用这两个性质可以得到:如果bi=(b1i,b2i,bni)T,则 gi=AbI=b1ia1+b2ia2+bnian.即:乘积矩阵AB的第i个列向量gi是A的列向量组a1, a2,an的线性组合，组合系数就是B的第i个列向量bi的各分量。类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数就是A的第i个行向量的各分量。以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的. 利用以
9、上规律容易得到下面几个简单推论: 用对角矩阵L从左侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量， 用对角矩阵L从右侧乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量。 数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵。 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂。5、矩阵的行列式 A为n阶方阵，由A的元素所构成的行列式称为A的行列式，表示为|A|。 若A的行列式|A|0，称A为非奇异方阵，|A|=0，称A为奇异方阵|AB|=|A|B| |cA|=Cn|A|.6、矩阵的转置把一
10、个mn的矩阵A行和列互换，得到的nm的矩阵称为A的转置，记作A T(或A)。有以下规律：(AT)T= A. (A+B)T=AT+BT. (cA)T=cAT. (AB)T=BTAT. |AT|=|A|7、矩阵的等价 定义：两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价.矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.命题：两个m*n 矩阵A与 B等价的充要条件是存在m阶满秩矩阵P及n阶满秩矩阵Q，使得A=PBQ8、矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B. (II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵
11、，在此条件下，这两个方程的解都是存在并且唯一的(否则解的情况比较复杂.)。当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设 B=(b1, b2,bs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,Xs),则有AXi=bi,i=1,2,s,这是s个线性方程组，由克莱姆法则,它们都有唯一解，从而AX=B有唯一解。这些方程组系数矩阵都是A，可同时求解，即得 (I)的解法：将A和B并列作矩阵(A|B)，对它作初等行变换，使得A变为单位矩阵,此时B变为解X (A|B)(E|X)。(II)的解法：对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT，再用解(I)的方法求出XT，转置得
12、X.：(AT|BT)(E|XT)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解。(2) 可逆矩阵的定义与意义定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=E， BA=E，则称A为可逆矩阵，此时B是唯一的，称为A的逆矩阵，通常记作A-1。如果A可逆，则A在乘法中有消去律：AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)； BA=0B=0；BA=CAB=C. (右消去律)如果A可逆，则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边)：AB=CB=A-1C，BA=CB=CA-1由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：(I) AX=B
13、的解X=A-1B (II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆，但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质 定理 n阶矩阵A可逆|A|0.证明 充分性：对AA-1=E两边取行列式,得|A|A-1|=1,从而|A|0. (并且|A-1|=|A|-1.)必要性：因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论 如果A和B 都是n阶矩阵,则AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩
14、阵. 可逆矩阵有以下性质:如果A可逆,则 A-1也可逆,并且(A-1)-1=A. AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T. 当c0时, cA也可逆,并且(cA)-1=c-1A-1. 对任何正整数k, Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(Ak)-1=(A-1)k.) 如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.) 初等矩阵都是可逆矩阵,并且 E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c)-1=E(i(c-1), E(i,j(c)-1= E(i,j(-c). (4) 逆矩阵的计算和伴随矩
15、阵 计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换或列变换求A-1:初等行变换：初等列变换：这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多. 伴随矩阵若A是n阶矩阵，记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式，规定A的伴随矩阵 A11 A21 An1 A*= A12 A22 An2 =(Aij)T.A1n A2n Amn 请注意，规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆，但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系。基本公式: AA*=A*A=|A|E. A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是
16、求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵 a b * d -b c d = -c a ,因此当ad-bc0时, 二 例题一、填空题1设a1, a2, a3, a, b均为4维向量, A = a1, a2, a3, a, B = a1, a2, a3, b, 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A3B| = _.解：=2 设，则 ， 解：3若对任意n1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = _.解：假设, ai是A的列向量。对于j = 1, 2, , m, ，第j个元素不为0，所以 (j = 1, 2, , m).
17、，A = 0。4设n维向量, 矩阵, 其中E为n阶单位矩阵, 则AB = 解：5设矩阵= _.解：= 或者：6设n阶矩阵A满足= _.解：由得. 所以, 于是A可逆. 由得7设=_.答案： 8若A2-2A+E=0，则（A-2E）-1=解：二、单项选择题1设n阶矩阵A与B等价，则必有A 当时， B 当时，C 当时， D 当时，解：2.下列命题正确的是( )，并说明理由.A若A是n阶方阵且AO，则A可逆B若A，B都是n阶可逆方阵，则A+B可逆C若AB=O，且AO，则必有B=O D设A是n阶方阵，则A可逆AT必可逆.3. 设A、B都是n阶方阵, 下面结论正确的是A 若A、B均可逆, 则A + B可逆
18、. B 若A、B均可逆, 则AB可逆. C若A + B可逆, 则AB可逆. D 若A + B可逆, 则A, B均可逆.解：若A、B均可逆, 则4.则在中与A等价的矩阵为 ，5. 下述命题正确的是( )A若A与B等价，则A=B. B 若方阵A与方阵B等价，则.C 若A与可逆矩阵B等价，则A也是可逆矩阵.D 若A，B，C，D均为n阶方阵，若A与B等价，C与D等价，则A+C与B+D等价.6. 设A、B为同阶可逆矩阵, 则A AB = BA B 存在可逆矩阵P, 使 C 存在可逆矩阵C, 使 D 存在可逆矩阵P和Q, 使解：因为A可逆, 存在可逆.因为B可逆, 存在可逆.所以 = . 于是令 , .
19、(D)是答案.7已知 与等价，则a =1 D 2 D 3 B 4 C 5 C 6 D 7 a=4 8以下命题是正确的是( )，且说明理由：(1) 对任何矩阵A，均有.解：只有当A是方阵时，(2) A，B, C，D均为n(n1)阶方阵，若，则.解：分块矩阵不满足这样的公式。(3) A，B，C，D均为n阶方阵，若, 则. 解：， （4）题答案：(4) A，B为n(n1)阶方阵则.(5) A，B为可逆矩阵，则有惟一解.(6) 等价于 三、计算题1. 设, . 求: i. ABBA ii. A2B2 iii. BTAT2. k取什么值时, 可逆, 并求其逆。解：，3. 解下列矩阵方程：解：4. 已知三
20、阶矩阵A满足，其中，试求矩阵A. 解：5. 计算下列矩阵的值（1） （2）设, 求An解：使用数学归纳法假设 =则=所以：=6. 设矩阵A（1） 证明: n 3时, (E为三阶单位矩阵) （2） 求A100.解：因为 所以 ，假设 则 =所以 ii. 7. 当时, A6 = E. 求A11. 解：因为 , 所以 8. 已知A、B为3阶矩阵，且满足，其中E是3阶单位矩阵（1）证明：矩阵A-2E可逆。（2）若，求矩阵A解：9. 设A，P均为3阶矩阵，为P的转置矩阵，且，若解：此例说明结论:乘积矩阵AB的第i个列向量gi是A的列向量组a1, a2,an的线性组合，组合系数就是B的第i个列向量bi的各
21、分量。类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数就是A的第i个行向量的各分量。四、关于矩阵的初等变化和初等矩阵知识点矩阵有以下三种初等行变换： 交换任意两行的位置。 用一个非0的常数乘某一行的各元素。 把某一行的倍数加到另一行上。类似地, 矩阵还有三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换。对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换，所得到的矩阵称为初等矩阵。有三类初等矩阵：E(i,j)：交换E 的i,j两行(或列)所得到的矩阵。E(i(c)：用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵，也就是把E的对角线上的第i个元素改为c。E(i,j(c)(ij)：把E的第j行
22、的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c。初等矩阵都是可逆矩阵,并且 E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c)-1=E(i(c-1), E(i,j(c)-1= E(i,j(-c).命题：对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.1. 设, , , 设有P2P1A = B, 则P2 = 解：P1A表示互换A的第一、二行. B表示A先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(1)加到第三行. 所以P2 = 。2.设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满
23、足AQ=C的可逆矩阵Q为 解：4.若可逆矩阵A作下列变化，则相应地有怎样的变化?(1) A中行与行互换；(2) A中行乘上非零数；(3) 时， A中第行乘上数加到第行解：（1） 的列与列互换。（2） 的列乘以（3）的列乘以加到第列上。5. 已知3阶矩阵A可逆，将A的第2列与第3列交换得到B，再把B的第1列-2倍加到第3列得C，则满足PA-1=C-1的矩阵P为。解：，6.设A是n阶可逆方阵，将A的第行和第行对换后得到的矩阵为B，（1）证明B可逆，（2）求AB-1 解：，所以B可逆。五、关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若，则：、；（主对角分块）、；（副对角分块）、；（拉普拉斯）、；（拉普拉斯
24、） 若都是方阵（不必同阶）,则 若A, B都是n阶方阵, 1. 求下列矩阵的逆矩阵i. ii. iii. iv. i.解：根据分块矩阵：，i根据分块矩阵iii.，iv. 2. 设A、B都是n阶可逆矩阵, 则等于解： 。3.设A为n阶可逆矩阵，计算：（1） （2） （3） （4） （5） 解：（1）， （2） （3）（4） （5）4. 设A为n阶非奇异矩阵，a为n维列向量，b为常数，记分块矩阵， (1) 计算并化简PQ。解：因为（2）证明：矩阵Q可逆的充要条件是解：5. 设，则方程f(x)=0有几个根。6. 设A、B为n阶矩阵，分别为A、B对应的伴随矩阵，分块矩阵则C的伴随矩阵为：解：因为7.
25、设A、B均为2阶矩阵，分别为A、B对应的伴随矩阵，若则分块矩阵的伴随矩阵为A B C D 解：利用8.设均是阶矩阵，则解：直接利用上述公式简化行列式运算。而 ，。于是 六、关于伴随矩阵的知识点若A是n阶矩阵，记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式，规定A的伴随矩阵 ，因此有AA*=A*A=|A|E. 若A可逆：A*=|A|A-1，即A-1=A*/|A|伴随矩阵的其它性质:如果A可逆，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)* (AT)*=(A*)T (Ak)*=(A*)k (Ak)-1=(A-1)k |A*|=|A|n-1 (cA)*=cn-1A* (AB)*=B*A*
26、 (AB)T=BTAT (AB)-1=B-1A-1当n2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.证明以上性质：（3），所以（4）再证明：，所以 所以，同理还有，（5）（6）（7）（8）同类型公式：，（9）2. 设A为n阶可逆矩阵, 则(A)*等于 (A) A* (B) A* (C) (1)nA* (D) (1)n1A*3. 设n阶矩阵A非奇异(n 2)，A*是A的伴随矩阵，则(A) (B) (C) (D) 4.设A是任一阶方阵，是其伴随矩阵，又k为常数，且，则解：因为，5.设A、B均为n阶矩阵，则=解：6. 设解：，|A| = 1，A*=|A|A-1，7. 已知A为3阶方阵
27、，且=3，求（1） （2） （3） （4）（5） （6）解：（1） （2）（3）（4）（5）（6）8. 设矩阵A的伴随矩阵，且ABA-1=BA-1+3E，其中E是4阶单位矩阵，求矩阵B.解：因为ABA-1=BA-1+3E，因为9.设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 解：，而，10. 设矩阵A、B满足，其中，E为单位矩阵，为A的伴随矩阵，则B=解：，因为，所以11. 设矩阵，矩阵X满足，其中是A的伴随矩阵，求矩阵X。解：，因为12.设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则A交换的第1列与第2列得. B交换的第1行与第2行得. C交
28、换的第1列与第2列得. D交换的第1行与第2行得.解：，13. 设矩阵，满足，其中是A的伴随矩阵，为A的转置矩阵，若为3个相等的正数，则为 七、关于矩阵的秩(1) 定义：一个矩阵A的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称此数为矩阵A的秩，记作r(A)。于是r(A)=0 A=0。如果A是mn矩阵，则r(A)Minm,n。当r(A)=m时，称A为行满秩的；当r(A)=n时，称A为列满秩的。对于n阶矩阵A，则行满秩和列满秩是一样的，此时就称A满秩。于是：命题：任何满秩矩阵都可以用初等变换化为单位阵。命题：任何满秩矩阵都可以表示成一组同阶初等矩阵的乘积。因此n阶矩阵A满秩有以下性质：n阶矩阵A满秩r(A)
29、=n|A|0A可逆与单位矩阵等价。矩阵的秩还可以用它的非0子式来看：A的r阶子式:任取 A的r行和r列，在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式，如果它的值不为0，就称为非0子式。关于矩阵秩的描述：，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话），中有阶子式全部为0。，中有阶子式不为0。(2) 计算命题 初等变换保持矩阵的秩不变. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 矩阵秩的计算:用初等变换将其化为阶梯形矩阵，则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩。 (3) 在矩阵运算中，矩阵的秩有性质：A是mn矩阵，B是ns矩阵，若A列满秩，则，若B行满秩，若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） A是n阶矩
30、阵，证明：解：设A为矩阵，为维列向量。若满足，则有，则。若满足，则有即和同解，因此证明： 解：设，即矩阵方程有解，则满足又因为设，所以：证明：解：设A、B为n阶矩阵，因为证明： 解：设矩阵B的列向量，则由分块矩阵的乘法可知，B的列向量是齐次方程组的解，所含解向量的个数为，所以 证明：解：因为可逆，所以是方阵，同理A也是方阵。设都是n阶方阵， 又因为，利用性质：所以：所以，同理证明：若A列满秩，则，若B行满秩，证明：A是n阶矩阵， 解：若若至少存在一个n-1阶子式不为0，至少存在一个元素的n-1阶子式不为0，所以若A的所有n-1阶子式全为0，所以 求解下列问题：1. 已知A是mn矩阵，B是ns矩
31、阵,=n，AB=0，证明A=0.解：因为，又因为所以，已知A是mn矩阵，所以，所以，所以A=0或者：因为B的列向量是的解，又因为 所以至少有n个线性无关的解，至多有个线性无关的解， 所以，所以，所以A=02.设A是矩阵，B是矩阵，满足，试证明的行向量组线性无关，的列向量组线性无关。证明：若，则。又因，和假设矛盾，只能 所以，又因为所以的行向量组线性无关，的列向量组线性无关。2. 设, 是秩为1的矩阵，问矩阵的秩为多少?解：因为，根据：，所以矩阵的秩为1.3. 设A为mn矩阵, C是n阶可逆矩阵, 矩阵A的秩为r1, 矩阵B = AC的秩为r, 则(A) r r1 (B) r r1 (C) r
32、= r1 (D) r与r1的关系依C而定4. 设A为矩阵(1) 秩()必 (2) 齐次线性方程组()为( ).(A) 无解； (B) 有惟一解；(C) 有无穷多解； (D) 解不确定，可能有解，可能无解.解：，所以5. 设A是43矩阵。B是34矩阵，则（A） 必有非解（）只有解（） 必有非解（）只有解6. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于n (D) 都等于n解：若, 矛盾. 所以 . 同理. (B)是答案.7.设矩阵的秩为，为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是：A A的任意m个列向量必线性无关 B
33、A的任意m阶子式不等于零C 若矩阵B满足BA=0，则矩阵B=0 DA通过初等行变化必可以化形式8. 设A=，B是3阶非0矩阵，且，则解：有非零解，9.设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有A ，B C D 解：由已知得：，10.，为的转置，为的转置.（1）证；（2）若线性相关，则.八、综合性题1.设A是n阶矩阵，满足（E是n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵， ，求 解：2. 设为整数，则解:，3.设，其中E是4阶单位矩阵，是4阶矩阵A的转置矩阵，已知矩阵B、C，求矩阵A。 答案：解：由已知得：4. 设，E为4阶单位矩阵，且，则 解：5.设三阶方阵A、B满足关系式，且，则B=解：，6. 解：可以化为：7.设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵。解：因为, 所以. 因为B可逆, 所以所以 . 所以都可逆.8. 设n阶方阵A满足证明： A及都是可逆矩阵，且写出及.解： 【精品文档】第 16 页