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1、 1 第二章 矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由 mn 个数排列成的一个 m 行 n 列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个 mn 型矩阵。例如 2-1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4-2 9 3 3 3-1 8 是一个 45 矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第 i 行第 j 列的数称为(i,j)位元素。元素全为 0 的矩阵称为零矩阵,通常就记作 0。两个矩阵 A 和 B 相等(记作 A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。2、n 阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为 n 的矩阵也常常叫做 n 阶
2、矩阵。n 阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。下面列出几类常用的 n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵:对角线外的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.单位矩阵:对角线上的的元素都为 1 的对角矩阵,记作 E(或 I).数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个常数 c 的对角矩阵,它就是 cE.上三角矩阵:对角线下的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.下三角矩阵:对角线上的的元素都为 0 的 n 阶矩阵.对称矩阵:满足 AT=A 矩阵，也就是对任何 i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的 n 阶矩阵.反对称矩阵:满足 AT=-A 矩阵.也就是对任何 i,j,(i,j
3、)位的元素和(j,i)位的元素之和总等于 0 的 n 阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是 0.)正交矩阵：若 AAT=ATA=E，则称矩阵 A 是正交矩阵。（1）A 是正交矩阵AT=A-1 （2）A 是正交矩阵2A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:如果它有零行，则都出现在下面。如果它有非零行，则每个非零行的第一个非 0 元素所在的列号自上而下严格单调递增。把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非 0 元素所在的位置称为台角。每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵
4、并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。3、矩阵的线形运算（1）加(减)法:两个 mn 的矩阵 A 和 B 可以相加(减),得到的和(差)仍是 mn 矩阵,记作 A+B(A-B),运算法则为对应元素相加(减).（2）数乘:一个 mn 的矩阵 A 与一个数 c 可以相乘,乘积仍为 mn 的矩阵,记作 cA,运算法则为 A 的每个元素乘 c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:加法交换律:A+B=B+A.2 加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.数乘结合律:c(d)A=(cd)A.cA=0 c=0 或 A=0.4
5、、矩阵乘法的定义和性质（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB.AB的行数和A相等,列数和B相等.AB的(i,j)位元素等于A的第 i 个行向量和B的第 j 个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.2 即：nmnssmCBA 矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:矩阵乘法有条件.矩阵乘法无交换律.即 ABBA 矩阵乘法无消去律：即一般地由 AB=0 推不出 A=0 或 B=0.由 AB=AC 和 A0 推不出 B=C.(无左消去律)由 BA=CA 和 A0 推不出 B=C.(无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以
6、下法则:加乘分配律 A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC.数乘性质 (cA)B=c(AB).结合律 (AB)C=A(BC)（2）n 阶矩阵的方幂和多项式 任何两个 n 阶矩阵 A 和 B 都可以相乘,乘积 AB 仍是 n 阶矩阵.并且有行列式性质:|AB|=|A|B|.如果 AB=BA,则说 A 和 B 可交换.方幂 设k是正整数,n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然 A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:A kA h=A k+h.(A k)h=A kh.但是一般地(AB)k和 A kB k不一定相等!n 阶矩阵的多项式：设 f(x
7、)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0,对 n 阶矩阵 A 规定 f(A)=amA m+am-1A m-1+a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n阶矩阵互相都是互相可交换的,则乘法公式成立.例如当A和B可交换时,有:(AB)2=A22AB+B2;A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二项展开式成立:BACBA1)(等等.前面两式成立还是 A 和 B 可交换的充分必要条件.(3)乘积矩阵的列向量组和行向量组 设 A 是 mn
8、矩阵 B 是 ns 矩阵，A 的列向量组为1,2,n，B 的列向量组为1,2,s，AB 的列向量组为1,2,s，则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):AB 的每个列向量为:i=Ai,i=1,2,s.即 A(1,2,s)=(A1,A2,As).=(b1,b2,bn)T,则A=b11+b22+bnn.应用这两个性质可以得到:如果i=(b1i,b2i,bni)T,则 i=AI=b1i1+b2i2+bnin.即:乘积矩阵AB的第 i 个列向量i是A的列向量组1,2,n的线性组合，组合系数就是B的第 i 个列向量i的各分量。类似地,乘积矩阵AB的第 i 个行向量是B的行向量组的线性组合
9、，组合系数就是A的第 i 个行向量的各分量。以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此 3 矩阵的各行向量，用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量。44332211432121aaaaAmnmm 44332211214321aaaaaaaaAmm 数量矩阵 kE 乘一个矩阵相当于用 k 乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵。两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。求对角矩阵的方幂只
10、需把对角线上的每个元素作同次方幂。5、矩阵的行列式 A 为 n 阶方阵，由 A 的元素所构成的行列式称为 A 的行列式，表示为|A|。若 A 的行列式|A|0，称 A 为非奇异方阵，|A|=0，称 A 为奇异方阵|AB|=|A|B|cA|=Cn|A|.6、矩阵的转置 把一个 mn 的矩阵 A 行和列互换，得到的 nm 的矩阵称为 A 的转置，记作 A T(或 A)。有以下规律：(AT)T=A.(A+B)T=AT+BT.(cA)T=cAT.(AB)T=BTAT.|AT|=|A|7、矩阵的等价 定义：两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价.矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.
11、命题：两个 m*n 矩阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶满秩矩阵 P 及 n 阶满秩矩阵 Q，使得 A=PBQ 8、矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1)矩阵方程 矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I)AX=B.(II)XA=B.这里假定 A 是行列式不为 0 的 n 阶矩阵，在此条件下，这两个方程的解都是存在并且唯一的(否则解的情况比较复杂.)。当 B 只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果 B 有 s 列,设 B=(1,2,s),则 X 也应该有 s 列,记 X=(X1,X2,Xs),则有AXi=i,i=1,2,s,这是
12、s 个线性方程组，由克莱姆法则,它们都有唯一解，从而 AX=B 有唯一解。这些方程组系数矩阵都是 A，可同时求解，即得 (I)的解法：将 A 和 B 并列作矩阵(A|B)，对它作初等行变换，使得 A 变为单位矩阵,此时 B 变为解 X(A|B)(E|X)。(II)的解法：对两边转置化为(I)的形式:ATXT=BT，再用解(I)的方法求出 XT，转置得 X.：(AT|BT)(E|XT)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解。(2)可逆矩阵的定义与意义 定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果存在 n 阶矩阵 B，使得 A
13、B=E，BA=E，则称 A为可逆矩阵，此时 B 是唯一的，称为 A 的逆矩阵，通常记作 A-1。如果 A 可逆，则 A 在乘法中有消去律：4 AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)；BA=0B=0；BA=CAB=C.(右消去律)如果 A 可逆，则 A 在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边)：AB=CB=A-1C，BA=CB=CA-1 由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：(I)AX=B 的解 X=A-1B (II)XA=B 的解 X=BA-1.这种解法想法自然，好记忆，但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3)矩阵可逆性的判别与性质 定理 n 阶矩阵 A 可逆|A|0.证
14、明 充分性：对 AA-1=E 两边取行列式,得|A|A-1|=1,从而|A|0.(并且|A-1|=|A|-1.)必要性：因为|A|0,矩阵方程 AX=E 和 XA=E 都有唯一解.设 B,C 分别是它们的解,即 AB=E,CA=E.事实上 B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到 A 可逆.推论 如果 A 和 B 都是 n 阶矩阵,则 AB=EBA=E.于是只要 AB=E(或 BA=E)一式成立,则 A 和 B 都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:如果 A 可逆,则 A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T.当 c0 时,cA 也可逆,
15、并且(cA)-1=c-1A-1.对任何正整数k,Ak也可逆,并且(Ak)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂 A-k=(Ak)-1=(A-1)k.)如果 A 和 B 都可逆,则 AB 也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且 E(i,j)-1=E(i,j),E(i(c)-1=E(i(c-1),E(i,j(c)-1=E(i,j(-c).(4)逆矩阵的计算和伴随矩阵 计算逆矩阵的初等变换法 当 A 可逆时,A-1是矩阵方程 AX=E 的解,于是可用初等行变换或列变换求 A-1:初等行变换：1|AEEA 初等列变换：1A
16、EEA 这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.伴随矩阵 若 A 是 n 阶矩阵，记 Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式，规定 A 的伴随矩阵 A11 A21 An1 A*=A12 A22 An2 =(Aij)T.A1n A2n Amn 请注意，规定 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵并没有要求 A 可逆，但是在 A 可逆时,A*和 A-1有密切关系。基本公式:AA*=A*A=|A|E.A-1=A*/|A|,即 A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较,伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩
17、阵.对于 2 阶矩阵 a b*d-b c d =-c a ,因此当 ad-bc0 时,11abdbcdcaadbc 5 二 例题 一、填空题 1 设1,2,3,均为 4 维向量,A=1,2,3,B=1,2,3,且|A|=2,|B|=3,则|A3B|=_.解：3222|3|321 BA=38321=321(856|)|3|(|8)3321BA 2 设12nAaaa，则TAA ，TA A 解：TAA 222212121,nnnaaaaaaaaa TAA 22122221121212121,nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 3若对任意 n1 矩阵 X,均有 AX=0,则 A=
18、_.解：假设mA1,i是 A 的列向量。对于 j=1,2,m,TjX010，第 j 个元素不为 0，所以m10010jT (j=1,2,m).，A=0。4 设 n 维向量)21,0,0,21(,矩阵TEA,TEB2其中 E 为n 阶单位矩阵,则 AB=解：EaaaaaaEaaEaaEABTTTTT22 5设矩阵12,23,3211BEAABA则=_.解：2A32113211=7841 EAAB232=78419633+2002=0212 21|*1BBB2210=11210 或者：111010021101101210010212 6设 n 阶矩阵 A 满足12,032AEAA则=_.解：由,0
19、322EAA得EEAA3)2(.所以0|3|2|EEAA,于是 A 可逆.由,0322EAA得)2(31,03211EAAAEA 7设)9()3(,10002010121EAEAA则=_.答案：2000101023EA 8若 A2-2A+E=0，则（A-2E）-1=解：AEAEEAAEEAAEAA122222 二、单项选择题 1设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有 A 当0aaA时，aB B 当0aaA时，aB C 当0A时，0B D 当0A时，0B 6 解：2121QBQppA 2.下列命题正确的是()，并说明理由.A 若 A 是 n 阶方阵且 AO，则 A 可逆 B 若 A，B 都是
20、n 阶可逆方阵，则 A+B 可逆 C 若 AB=O，且 AO，则必有 B=O D 设 A 是 n 阶方阵，则 A 可逆 AT必可逆.3.设 A、B 都是 n 阶方阵,下面结论正确的是 A 若 A、B 均可逆,则 A+B 可逆.B 若 A、B 均可逆,则 AB 可逆.C 若 A+B 可逆,则 AB 可逆.D 若 A+B 可逆,则 A,B 均可逆.解：若 A、B 均可逆,则111)(ABAB 4.则在,B C D中与 A 等价的矩阵为 ，5.下述命题正确的是()A 若 A 与 B 等价，则 A=B.B 若方阵 A 与方阵 B 等价，则AB.C 若 A 与可逆矩阵 B 等价，则 A 也是可逆矩阵.D
21、 若 A，B，C，D 均为 n 阶方阵，若 A 与 B 等价，C 与 D 等价，则 A+C 与 B+D 等价.6.设 A、B 为同阶可逆矩阵,则 A AB=BA B 存在可逆矩阵 P,使BAPP1 C 存在可逆矩阵 C,使BACCT D 存在可逆矩阵 P 和 Q,使BPAQ 解：因为 A 可逆,存在可逆EAQPQPAAAA使,.因为 B 可逆,存在可逆EBQPQPBBBB使,.所以 AAAQP=BBBQP.于是BQAQPPBAAB11 令 ABPPP1,1BAQQQ.(D)是答案.7已知 300042021与62852321a等价，则 a=1 D 2 D 3 B 4 C 5 C 6 D 7 a
22、=4 8以下命题是正确的是()，且说明理由：(1)对任何矩阵 A，均有TTAAA A.解：只有当 A 是方阵时，TAA (2)A，B,C，D 均为 n(n1)阶方阵，若ABMCD，则MA DB C.解：分块矩阵不满足这样的公式。(3)A，B，C，D 均为 n 阶方阵，若ABMCD,则TACMBD.解：TTTTTDBCAM，（4）题答案：BAOBAOn21(4)A，B 为 n(n1)阶方阵则OAA BBO.(5)A，B 为可逆矩阵，则AXBC有惟一解11XA CB.(6)111222n nnnn等价于 100000000n n 三、计算题 7 1.设243121013A,143522011B.求
23、:i.ABBA ii.A2B2 iii.BTAT 1618931717641 1326391515649 221153151765 2.k 取什么值时,11100001kA可逆,并求其逆。解：011100001|kkA，1110100011kkA 3.解下列矩阵方程：解：321110016411200164532021)1(222122)2(X 04111)3(X 4.已知三阶矩阵 A 满足)3,2,1(iiAii，其中T)2,2,1(1，T)1,2,2(2，T)2,1,2(3，试求矩阵 A.解：3213213322113,2,3,2,aaaaaaAaAaaAaaAa 232323235032
24、037929192919292929291622342641A 5.计算下列矩阵的值（1）n2312 23122312100123122312（2）设100100A,求 An 解：使用数学归纳法 2222210200100100100100A 1001002102002223A323233)21(0300 假设 kA=kkkkkkkkk121)11(000 则1kA=kkkkkkkkk121)11(000100100=1111)1()1(0)1(00kkkkkkkkk 8 010101001A所以：nA=nnnnnnnnn121)11(000=nnnnnnnnnn1212)1(000 6.设矩
25、阵 A（1）证明:n 3 时,EAAAnn22(E 为三阶单位矩阵)（2）求 A100.解：因为1000110012A 0111020013A 0101010012EAA1010110011000100010111020013A 所以 EAAA2233，假设 EAAAkk22 则 AAAAkk311AEAAAk21=EAAk221）（所以 EAAAnn22 ii.EAAA298100EAEAA4950222296 5005005050005049000490004910500150001 7.当21232321A时,A6=E.求 A11.解：因为 1112116EAAAAEA，12123232
26、1|A,所以|*1AAA21232321 2123232111A 8.已知 A、B 为 3 阶矩阵，且满足EBBA421，其中 E 是 3 阶单位矩阵（1）证明：矩阵 A-2E 可逆。（2）若200021021B，求矩阵 A 解：EEABEAAABBAABBAA824242421 1482842EBEAEEBEA，9.设 A，P 均为 3 阶矩阵，TP为 P 的转置矩阵，且200010001APPT，若 为则AQQ,T3221321aaaaQaaaP 解：9 此例说明结论:乘积矩阵AB的第 i 个列向量i是A的列向量组1,2,n的线性组合，组合系数就是B的第 i 个列向量i的各分量。类似地,乘
27、积矩阵AB的第 i 个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数就是A的第 i 个行向量的各分量。四、关于矩阵的初等变化和初等矩阵知识点 矩阵有以下三种初等行变换：交换任意两行的位置。用一个非 0 的常数乘某一行的各元素。把某一行的倍数加到另一行上。类似地,矩阵还有三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换。对单位矩阵 E 作一次初等(行或列)变换，所得到的矩阵称为初等矩阵。有三类初等矩阵：E(i,j)：交换 E 的 i,j 两行(或列)所得到的矩阵。E(i(c)：用非 0 数 c 乘 E 的第 i 行(或列)所得到的矩阵，也就是把 E 的对角线上的第 i 个元素改为 c。E(i,j(c
28、)(ij)：把 E 的第 j 行的 c 倍加到第 i 行上(或把第 i 列的 c 倍加到第 j 列上)所得到的矩阵,也就是把 E 的(i,j)位的元素改为 c。初等矩阵都是可逆矩阵,并且 E(i,j)-1=E(i,j),E(i(c)-1=E(i(c-1),E(i,j(c)-1=E(i,j(-c).命题：对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.1.设333231232221131211aaaaaaaaaA,233322322131131211232221aaaaaaaaaaaaB,1000010101P,设有 P2P1A=B,则 P2=解：P1A 表示互换 A 的第
29、一、二行.B 表示 A 先互换第一、二行,然后将互换后的矩阵的第一行乘以(1)加到第三行.所以 P2=101010001。2.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C,则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为 BA100001010CB100110001，.100001110100110001100001010CAA 解：112111121121121AppAppAppBpApB 121112111112112AppAppAppBpApB 4.若可逆矩阵 A 作下列变化，则1A相应地有怎样的变化?(1)A 中i行与j行互换；(2
30、)A 中i行乘上非零数k；10(3)ij时，A 中第j行乘上数k加到第i行 解：（1）jiEAjiEAAjiEBAjiEB,11111 1A的i列与j列互换。（2）kiEAkiEABAkiEB11111 1A的i列乘以k1（3）kjiEAkjiEABAkjiEB,1111 1A的i列乘以k加到第j列上。5.已知 3 阶矩阵 A 可逆，将 A 的第 2 列与第 3 列交换得到 B，再把 B 的第 1 列-2倍加到第 3 列得 C，则满足 PA-1=C-1的矩阵 P 为。解：3,2AEB，11123,13,223,13,2AEECEAEC 3,223,123,13,211111EEAAEEACPP
31、AC 0101000213,223,110001020123,1EEE 6.设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第i行和第j行对换后得到的矩阵为 B，（1）证明 B 可逆，（2）求 AB-1 解：ABAjiEB,，所以 B 可逆。jiEAjiEAAjiEB,11111，jiEAB,1 五、关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA，则：111121sAAAA 12sAAAA；、111AOAOOBOB；（主对角分块）、111OAOBBOAO；（副对角分块）、11111ACAA CBOBOB；（拉普拉斯）、11111AOAOCBB CAB；（拉普拉斯）若AB与都是方阵（不必同阶）
32、,则(1)mnAAAA BBBBAA BB 若 A,B 都是 n 阶方阵,|EABBEEA 1.求下列矩阵的逆矩阵 i.3111522100110012 ii.1000cossin0sincosa iii.0001001001001000 iv.1100210000120025 i.解：根据分块矩阵：111110BCABABCOA，2111753301900210011 11 i 根据分块矩阵cossinsincoscossinsincos11000cossin0sincos1A iii.011001101，00010010010010001Aiv.313100323100005200211A
33、 2.设 A、B 都是 n 阶可逆矩阵,则1002BAT等于 解：121|)2(002BABAnT。3.设 A 为 n 阶可逆矩阵，计算：（1）nEAA1 （2）1AEAn （3）nTnEAEA （4）TnnEAEA （5）nnEAEA1 解：（1）1-111EA,AEAAEAAnnn，（2）1111AEAEAAAEAnnn （3）nTTnnTnTnEAAAAEAEAEAEA,（4）nTnTnTnnEAAEAEAEAEA,（5）nnnnnEAAEEAAAAEAEA1111.4.设 A 为 n 阶非奇异矩阵，a 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 AAaEPT*0，baaAQT(1)计算并
34、化简 PQ。解：bAAEAbAAAEAEAPQTTTT10 因为bAaAAabAaAaAAATT11（2）证明：矩阵 Q 可逆的充要条件是baAaT1 解：00)(1QbaAaAAQPPQTbaAaT1 5.设347534453542333322212223212)(xxxxxxxxxxxxxxxxxf，则方程 f(x)=0 有几个根。15673412133001220012373422133101221012xxxxxxxxxxxxxxxf 6.设 A、B 为 n 阶矩阵，BA,分别为 A、B 对应的伴随矩阵，分块矩阵BAC00 则 C 的伴随矩阵为：解：因为BACCC 12 7.设 A、B
35、 均为 2 阶矩阵，BA,分别为 A、B 对应的伴随矩阵，若3,2BA 则分块矩阵00BA的伴随矩阵为 A 0230AB B 0320AB C 0230BA D 0320BA 解：利用EAAA 000000000011111AABBBAABBABABABA032000ABABBA 8.设,A B均是n阶矩阵，*13,1()2AAAa Bb CBO，则_.C 解：直接利用上述公式简化行列式运算。*1*131(1)()3.12()2n nAACBABO 而 1111()222nBBb，1*13333nnnnnAAAa。于是 222*1*1111131(1)()312()2(1)23(1)6nnnn
36、nnnnAACBABObaab 六、关于伴随矩阵的知识点 若 A 是 n 阶矩阵，记 Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式，规定 A 的伴随矩阵 TijAA，因此有AA*=A*A=|A|E.若 A 可逆：A*=|A|A-1，即 A-1=A*/|A|伴随矩阵的其它性质:如果 A 可逆，则 A*也可逆，并且(A*)-1=A/|A|=(A-1)*(AT)*=(A*)T TTAA11 (Ak)*=(A*)k (Ak)-1=(A-1)k|A*|=|A|n-1 (cA)*=cn-1A*(AB)*=B*A*(AB)T=BTAT (AB)-1=B-1A-1 当 n2 时,(A*)*=|A|n-2A；n
37、=2 时,(A*)*=A.证明以上性质：（3）AAAAAAAAAA11111 AAAAAAAA11111，所以 11AA（4）111TTTTAAAAAAAA TTTTTAAAAAAAAAA1111 再证明：TTAA11，EAAAATTT11，所以 TTAA11 13 所以 TTAA，同理还有 kkAA，11kkAA（5）kkkkkkkAAAAAAAA111（6）1111nnAAAAAAAAA（7）ACAACCAACCACACAAAAnnn1111111（8）ABABBAABABAB111 同类型公式：TTTABAB，111ABAB（9）AAAAAAAAnn211 2.设 A 为 n 阶可逆矩阵
38、,则(A)*等于 (A)A*(B)A*(C)(1)nA*(D)(1)n1A*3.设 n 阶矩阵 A 非奇异(n 2)，A*是 A 的伴随矩阵，则(A)AAAn 1*|)(B)AAAn 1*|)(C)AAAn 2*|)(D)AAAn 2*|)(4.设 A 是任一3nn阶方阵，A是其伴随矩阵，又 k 为常数，且1,0 k，则 kA 解：因为 AAAn 2，AAkkAkAkAnnn2122)(5.设 A、B 均为n 阶矩阵，2A，3B，则12BA=解：1211123122nnnnBABA 6.设_)2_()_(,3342122111*1*1AAAA则 解：3722524931A，|A|=1，AAAA
39、|)(1*A*=|A|A-1，1131*4)2(|)2()2(|2|)2(AAAAAA 4)4()2(111*AAA 7.已知 A 为 3 阶方阵，且A=3，求（1）1A（2）A （3）A2（4）13A（5）1431AA（6）1A 解：（1）3111AA （2）9321nAA（3）24223AA（4）8113131341AA（5）934314311111AAAAAA（6）31AAAA 8.设矩阵 A 的伴随矩阵*1000010010100308A，且 ABA-1=BA-1+3E，其中 E 是 4 阶单位矩阵，求矩阵 B.解：因为 ABA-1=BA-1+3EAABAABAABAB33 14 AB
40、AAB3，因为2831AAAAn ABAAB31266262AEBEBAEEBAB 9.设矩阵100021012A，矩阵 B 满足EBAABA*2，其中*A为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B 解：AABAAABA*2，而3A，ABAB 63，ABEA)63(，363ABEA，2763 EA，.91B 10.设矩阵 A、B 满足EBABAA82，其中100020001A，E 为单位矩阵，A为 A 的伴随矩阵，则 B=解：AABABAAA82，因为2AAA，所以EABB822 1444EABEBEABAB242 11.设矩阵111111111A，矩阵 X 满足XAXA21，其中A是 A 的伴
41、随矩阵，求矩阵 X。解：AxExAAxAAxAA221，因为4A 12424AExExAE，10111001141x 12.设 A 为 n（2n）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B,*,BA分别为 A,B 的伴随矩阵，则 A 交换*A的第 1 列与第 2 列得*B.B 交换*A的第 1 行与第 2 行得*B.C 交换*A的第 1 列与第 2 列得*B.D 交换*A的第 1 行与第 2 行得*B.解：BAE12，12*11212*12*12*)(EAEEAEAAEB 13.设矩阵 33ijaA，满足TAA，其中A是 A 的伴随矩阵，TA为 A 的转置矩阵，若131211,a
42、aa为 3 个相等的正数，则11a为 33 1A0323或AAAAAAEAAAEAAATT 七、关于矩阵的秩 (1)定义：一个矩阵 A 的行向量组的秩和列向量组的秩相等，称此数为矩阵 A的秩，记作 r(A)。于是 r(A)=0 A=0。如果 A 是 mn 矩阵，则 r(A)Minm,n。当 r(A)=m 时，称 A 为行满秩的；当 r(A)=n 时，称 A 为列满秩的。对于 n 阶矩阵 A，则行满秩和列满秩是一样的，此时就称 A 满秩。于是：15 命题：任何满秩矩阵都可以用初等变换化为单位阵。命题：任何满秩矩阵都可以表示成一组同阶初等矩阵的乘积。因此 n 阶矩阵 A 满秩有以下性质：n 阶矩阵
43、 A 满秩r(A)=n|A|0A 可逆与单位矩阵等价。矩阵的秩还可以用它的非 0 子式来看：A 的 r 阶子式:任取 A 的 r 行和 r 列，在它们的交叉位置上的元素所构成的行列式，如果它的值不为 0，就称为非 0 子式。关于A矩阵秩的描述：()r An，A中有n阶子式不为 0，1n阶子式全部为 0；（两句话）()r An，A中有n阶子式全部为 0。()r An，A中有n阶子式不为 0。(2)计算 命题 初等变换保持矩阵的秩不变.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.矩阵秩的计算:用初等变换将其化为阶梯形矩阵，则此阶梯形矩阵的非零行数就是原矩阵的秩。(3)在矩阵运算中，矩阵的秩有性质：0,()
44、Ar A若则1 ()()()TTr Ar Ar A A()0()00r Akr kAk 若 若 ()()Arr Ar BB A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，nBrAr)()()r ABmin(),()r A r B()r AB()()r Ar B ,()0,()()m nn sABr ABr Ar B若且则n 若 A 列满秩，则)()(BrABr，若 B 行满秩，)()(ArABr 若P、Q可逆，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）A 是 n 阶矩阵，()()1 ()10 ()1 nr Anr Ar Anr An若若若 证明：()()()TTr
45、 Ar Ar A A 解：设 A 为nm矩阵，x为n维列向量。若x满足0Ax，则有0AxAT，则0 xAAT。若x满足0 xAAT，则有 000AxAxAxxAAxTTT 即0Ax和0 xAAT同解，因此()()()TTr Ar Ar A A 证明：()r ABmin(),()r A r B 解：设CAB，即矩阵方程CAx 有解Bx，则满足 CArAr,又因为 ArABrArCArCr,设CAB，TTTCAB，BrCrBrCrTT 所以：()r ABmin(),()r A r B 证明：BrArBAr 解：设 A、B 为 n 阶矩阵，BABBA 因为 BrArBArBBArBAr,16 证明：
46、,()0,()()m nn sABr ABr Ar B若且则n 解：设矩阵 B 的列向量sBBB21,，则由分块矩阵的乘法可知，0000,0,2121AXABABABABBBBAjss B 的列向量是齐次方程组0AX的解，0AX所含解向量的个数为 Arn，所以 nArBrArnBr 证明：,()()()P Qr PAr AQr A若可逆,则 解：因为QP,可逆，所以QP,是方阵，同理 A 也是方阵。设AQP,都是 n 阶方阵，nQrpr 又因为BAABr,min，ArAQrPAr 利用性质：ABrnBrAr 所以：ArPArArnArPr 所以 ArPAr，ArAQrPAr 同理证明：若 A
47、列满秩，则)()(BrABr，若 B 行满秩，)()(ArABr 证明：A 是 n 阶矩阵，()()1 ()10 ()1 nr Anr Ar Anr An若若若 解：若 nArAAnAr00 若 01AnAr至少存在一个 n-1 阶子式不为 0，至少存在一个元素的 n-1 阶子式不为 0，1Ar 10ArnArArAAA，所以 1Ar 若 01AnArA 的所有 n-1 阶子式全为 0，所以0A 求解下列问题：1.已知 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵,)(Br=n，AB=0，证明 A=0.解：因为 nBrArAB 0，又因为,nBr所以 0Ar，已知 A 是 mn 矩阵，所以 0Ar，
48、所以 0Ar，所以 A=0 或者：因为 0ABB 的列向量是0Ax的解，又因为,nBr 所以0Ax至少有 n 个线性无关的解，至多有 Arn 个线性无关的解，所以 0ArArnn，0Ar，所以 0Ar，所以 A=0 2.设 A 是mn矩阵，B 是nm矩阵，满足，试证明的行向量组线性无关，的列向量组线性无关。证明：若mn，则 nmBrnmAr,。又因 BrArnABr,min，和假设矛盾，只能mn 所以 nBrnAr,，又因为 nABrnBrAr nBrAr2 nBrnAr,所以的行向量组线性无关，的列向量组线性无关。17 2.设227036000A,B是秩为 1 的矩阵，问矩阵AE B的秩为多
49、少?解：因为100620721EA，3 EAr，1Br 根据：ArAQrPAr，所以矩阵AE B的秩为 1.3.设A为mn矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r1,矩阵B=AC的秩为r,则(A)r r1 (B)r r1 (C)r=r1 (D)r 与 r1的关系依 C 而定 4.设 A 为矩阵(1)秩(TAA)必 TAA (2)齐次线性方程组(TAA)XO为().(A)无解；(B)有惟一解；(C)有无穷多解；(D)解不确定，可能有解，可能无解.解：555335TTAAAA，所以0,3TTAAAAr 5.设 A 是 43 矩阵。B 是 34 矩阵，则（A）必有非解 （）只有解（）必有非解 （）只有
50、解 6.设 A、B 都是 n 阶非零矩阵,且 AB=0,则 A 和 B 的秩(A)必有一个等于零 (B)都小于n (C)一个小于n,一个等于n (D)都等于n 解：若0,0.,)(1BABAnAr得由存在则,矛盾.所以 nAr)(.同理nBr)(.(B)是答案.7.设矩阵nmA的秩为 nmAr，mE为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是：A A 的任意 m 个列向量必线性无关 B A 的任意 m 阶子式不等于零 C 若矩阵 B 满足 BA=0，则矩阵 B=0 DA 通过初等行变化必可以化0,mE形式 8.设 A=43025212a，B 是 3 阶非 0 矩阵，且，则 解：0Ax有非零解，0A，