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1、一、三角形的相关概念一、三角形的相关概念1.1.三角形的定义：三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形做三角形. .三条线段叫做三角形的边，公共的端点叫做三角形三条线段叫做三角形的边，公共的端点叫做三角形的顶点，两边所形成的夹角叫做三角形的内角的顶点，两边所形成的夹角叫做三角形的内角. .三角形用符号三角形用符号“”及顶点字母表示及顶点字母表示. .2.2.与三角形有关的线段：与三角形有关的线段：三角形的高线、中线、角平分线：三角形的高线、中线、角平分线：(1)(1)三线都经过顶点三线都经过顶点. .(2
2、)(2)都是线段都是线段. .(3)(3)除直角三角形的两条高线在三角形的两条直角边上除直角三角形的两条高线在三角形的两条直角边上, ,钝角三钝角三角形的两条高线在三角形外部角形的两条高线在三角形外部, ,其他各线均在三角形内其他各线均在三角形内. .(4)(4)锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形的高交于锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形的高交于三角形的直角顶点，钝角三角形的高的延长线交于三角形外部三角形的直角顶点，钝角三角形的高的延长线交于三角形外部一点一点. .(5)(5)三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角
3、形. .(6)(6)根据面积法可得，三角形的各边与这边上的高的乘积相等根据面积法可得，三角形的各边与这边上的高的乘积相等. .3.3.三角形的分类：三角形的分类：(1)(1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. .(2)(2)按边分类：按边分类：4.4.全等三角形的定义：全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. . 没有相等边的三角形没有相等边的三角形等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形底与腰不相等的等腰三角形底与腰不相等的等腰三角形 三角形三角形二、三角形的相关性质和判定二、三角
4、形的相关性质和判定1.1.三角形的性质：三角形的性质：(1)(1)三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状大小三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状大小就都确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性就都确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性. .(2)(2)三角形三边之间的性质：三角形任意两边之和大于第三边，三角形三边之间的性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边任意两边之差小于第三边. .2.2.三角形内角和定理：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180. .3.3.三角形外角性质：三角形外角性质：(1)(1)三角形的
5、一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. .(2)(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角. .4.4.全等三角形：全等三角形：(1)(1)全等三角形的性质：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高线，对应角的角平分线分别相等；全等三角形的周长、面积分线，对应角的角平分线分别相等；全等三角形的周长、面积分别相等别相等. .全等三角形的性质是证明线段、角相等的重要依据全等三角形的性质是证明线段、角相等的重要依据. .(2)(
6、2)全等三角形的判定方法：全等三角形的判定方法： 注：有两边及其中一边的对角对应相等和三个角对应相等的两注：有两边及其中一边的对角对应相等和三个角对应相等的两个三角形不一定全等个三角形不一定全等. .(3)(3)证明两个三角形全等时要认真分析条件和图形结构，理清已证明两个三角形全等时要认真分析条件和图形结构，理清已知与未知之间的内在联系，从而选择恰当的方法，一般的思路知与未知之间的内在联系，从而选择恰当的方法，一般的思路有：有：已知两边已知两边已知一角一边已知一角一边找角的另一邻边找角的另一邻边SASSAS找夹边的另一角找夹边的另一角ASAASA找边的对角找边的对角AASAAS找夹角找夹角SA
7、SSAS找第三边找第三边SSSSSS边为角的对边边为角的对边找任一角找任一角AASAAS已知两角已知两角找夹边找夹边ASAASA找两角中任一角的对边找两角中任一角的对边AASAAS边为边为角的邻边角的邻边(4)(4)以后将会学到的平移、旋转、翻折都是全等变换以后将会学到的平移、旋转、翻折都是全等变换. .在学习的在学习的过程中，对两个三角形进行不同的组合变换，拼成不同的图形，过程中，对两个三角形进行不同的组合变换，拼成不同的图形，在复杂的图形当中，学会对图形进行分离、整合，准确找出全在复杂的图形当中，学会对图形进行分离、整合，准确找出全等三角形的对应元素等三角形的对应元素. .理解并熟记全等三
8、角形中经常出现的图形结构，充分挖掘其中理解并熟记全等三角形中经常出现的图形结构，充分挖掘其中的隐含条件，如图的隐含条件，如图. .平移型：平移型：旋转型：旋转型：翻折型：翻折型：组合型：组合型：三、全等三角形的应用三、全等三角形的应用1.1.全等三角形的应用主要体现在证明线段或角的相等问题中，全等三角形的应用主要体现在证明线段或角的相等问题中，在实际问题中，往往构造全等三角形，再利用全等三角形的性在实际问题中，往往构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决测量质解决测量( (不能直接度量长度不能直接度量长度) )问题、三角形物体复原问题等问题、三角形物体复原问题等. .2.2.涉及实际问题中的
9、测量方案设计问题时，要考虑测量工具及涉及实际问题中的测量方案设计问题时，要考虑测量工具及条件的局限性，叙述测量方案时要严谨条件的局限性，叙述测量方案时要严谨, ,有条理有条理. . 三角形的边角关系三角形的边角关系【相关链接【相关链接】 三角形的性质分为边的性质与内角的性质三角形的性质分为边的性质与内角的性质1.1.三边关系：任意两边之和大于第三边三边关系：任意两边之和大于第三边, ,任意两边之差小于第任意两边之差小于第三边三边. .2.2.内角关系：三角形内角和是内角关系：三角形内角和是180180. .【例【例1 1】(2012(2012海南中考海南中考) )一个三角形的两边长分别为一个三
10、角形的两边长分别为3 cm3 cm和和7 7 cm cm，则此三角形的第三边的长可能是，则此三角形的第三边的长可能是( )( )(A)3 cm(A)3 cm(B)4 cm(B)4 cm(C)7 cm(C)7 cm(D)11 cm(D)11 cm【思路点拨【思路点拨】【自主解答【自主解答】选选C.C.设第三边长为设第三边长为x cmx cm，则由三角形三边关系定，则由三角形三边关系定理得理得7-37-3x x7+37+3，即，即4 4x x10.10.因此，本题的第三边应满足因此，本题的第三边应满足4 4x x1010，把各项代入不等式符合的即为答案，把各项代入不等式符合的即为答案.3.3，4
11、4，1111都不符合都不符合不等式不等式4 4x x1010，只有，只有7 7符合，故选符合，故选C.C.三边关系三边关系第三边取值范围第三边取值范围查找答案查找答案 全等三角形的判别全等三角形的判别【相关链接【相关链接】 三角形全等的三角形全等的4 4种判别方法：种判别方法：SSSSSS、SASSAS、ASAASA、AASAAS，说明，说明三角形全等的三类条件：直接条件、隐含条件、间接条件三角形全等的三类条件：直接条件、隐含条件、间接条件. .【例【例2 2】 (2011(2011乌鲁木齐中考乌鲁木齐中考) )如图，在如图，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC
12、，BECEBECE于点于点E E，ADCEADCE于点于点D.D.说明说明BEC BEC CDA.CDA.【思路点拨【思路点拨】【自主解答【自主解答】因为因为BECEBECE于点于点E E，ADCEADCE于点于点D D，所以所以BEC=CDA=90BEC=CDA=90，在在RtRtBECBEC中，中，BCE+CBE=90BCE+CBE=90，在在RtRtBCABCA中，中，BCE+ACD=90BCE+ACD=90，所以所以CBE=ACDCBE=ACD，在在BECBEC和和CDACDA中，中，BEC=CDABEC=CDA，CBE=ACDCBE=ACD，BC=ACBC=AC，所以，所以BEC B
13、EC CDA.CDA. 全等三角形的应用全等三角形的应用【相关链接【相关链接】 全等三角形是说明线段或角相等的重要方法之一全等三角形是说明线段或角相等的重要方法之一, ,用全等用全等三角形解题的关键是确定或构造两个三角形全等三角形解题的关键是确定或构造两个三角形全等, ,全等三角形全等三角形的周长和面积相等也是中考考查的内容的周长和面积相等也是中考考查的内容. .【例【例3 3】(2012(2012北京中考北京中考) )已知：如图，点已知：如图，点E E，A A，C C在同一直线在同一直线上，上，ABCDABCD，AB=CEAB=CE，AC=CD.AC=CD.求证：求证：BC=DE.BC=DE
14、.【教你解题【教你解题】【命题揭秘【命题揭秘】 三角形在中考中是重要考查点之一，对于三角形的性质和三角形在中考中是重要考查点之一，对于三角形的性质和相关概念，只进行一般性考查，题目比较简单，题型多为选择相关概念，只进行一般性考查，题目比较简单，题型多为选择或填空；三角形全等及其应用是中考的命题热点，重点考查全或填空；三角形全等及其应用是中考的命题热点，重点考查全等三角形的判别，命题方式比较广泛，在解答题目中更为常见等三角形的判别，命题方式比较广泛，在解答题目中更为常见. .1.1.ABCABC的内角和为的内角和为( )( )(A)180(A)180 (B)360 (B)360(C)540(C)
15、540 (D)720 (D)720【解析【解析】选选A.A.根据三角形的内角和为根据三角形的内角和为180180，得，得ABCABC的内角和的内角和为为180180. .故故A A正确正确. .2.(20122.(2012郴州中考郴州中考) )以下列各组线段为边，能组成三角形的是以下列各组线段为边，能组成三角形的是 ( )( )(A)1 cm,2 cm,4 cm (B)4 cm,6 cm,8 cm(A)1 cm,2 cm,4 cm (B)4 cm,6 cm,8 cm(C)5 cm,6 cm,12 cm (D)2 cm,3 cm,5 cm(C)5 cm,6 cm,12 cm (D)2 cm,3
16、cm,5 cm【解析【解析】选选B.AB.A选项，选项，1+21+24,4,故不能构成三角形；故不能构成三角形；B B选项，选项，4+64+68,8,故能构成三角形；故能构成三角形；C C选项，选项，5+65+61212，故不能构成三角形；，故不能构成三角形；D D选项，选项，2+3=52+3=5，故也不能组成三角形，故也不能组成三角形. .3.(20123.(2012聊城中考聊城中考) )将一副三角板按如图所示摆放，图中将一副三角板按如图所示摆放，图中aa的的度数是度数是( )( )(A)75(A)75(B)90(B)90(C)105(C)105(D)120(D)120【解析【解析】选选C.
17、aC.a的度数为的度数为180180-45-45-30-30=105=105. .4.4.如图，如图，A+B+C+D+E+FA+B+C+D+E+F等于等于_度度. .【解析【解析】因为因为A+E+C=180A+E+C=180，D+B+F=180D+B+F=180，所以，所以A+B+C+D+E+F=360A+B+C+D+E+F=360. .答案：答案：3603605. (20125. (2012泰州中考泰州中考) )如图，如图，ABCABC中，中，C=90C=90，BACBAC的平分的平分线交线交BCBC于点于点D D，若，若CD=4CD=4，则点，则点D D到到ABAB的距离是的距离是_._.
18、【解析【解析】过点过点D D作作DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，因为，因为C=90C=90，所以，所以ACD=AEDACD=AED，又，又ADAD平分平分BACBAC，所以，所以CAD=EADCAD=EAD，又，又AD=ADAD=AD，所以所以ACDACDAED(AAS)AED(AAS)，所以，所以DE=CD=4DE=CD=4，即点，即点D D到到ABAB的距离为的距离为4.4.答案：答案：4 46.6.如图，如图，E=F=90E=F=90，B=CB=C，AE=AFAE=AF，则下列结论：，则下列结论：1=21=2；BE=CFBE=CF；ACNACNABMABM；MCDMCDNBDNB
19、D中，正确的是中，正确的是_._.【解析【解析】因为因为E=F=90E=F=90，B=CB=C，AE=AFAE=AF，所以所以AEBAEBAFCAFC，所以，所以BE=CF(BE=CF(正确正确) )；因为因为AEBAEBAFCAFC，所以，所以EAB=FACEAB=FAC，所以，所以1=2(1=2(正确正确) )；因为因为AEBAEBAFCAFC，所以，所以AB=ACAB=AC，B=CB=C，因为因为BAM=CANBAM=CAN，所以，所以ACNACNABM(ABM(正确正确) )；所以所以AM=AN.AM=AN.因为因为AB=ACAB=AC，所以，所以BN=CM.BN=CM.因为因为B=C
20、B=C，MDC=NDB, MDC=NDB, 所以所以MCD MCD NBD(NBD(正确正确).).答案：答案：7.(20127.(2012广州中考广州中考) )如图，点如图，点D D在在ABAB上，点上，点E E在在ACAC上，上，AB=ACAB=AC，B=C.B=C.求证：求证：BE=CD.BE=CD.【证明【证明】在在ABEABE和和ACDACD中中, , A=A A=A AB=AC AB=AC B=C, B=C,ABEABEACDACD，所以所以BE=CD.BE=CD.8.8.如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E E为为CDCD的中点，连接的中点，连
21、接AEAE，BEBE，BEAEBEAE，延长，延长AEAE交交BCBC的延长线于点的延长线于点F.F.求证：求证：(1)FC=AD.(1)FC=AD.(2)AB=BC+AD.(2)AB=BC+AD.【证明【证明】(1)(1)因为因为E E是是CDCD的中点，的中点，所以所以DE=CE.DE=CE.因为因为ADBCADBC，所以所以ADE=FCEADE=FCE，DAE=CFE.DAE=CFE.所以所以ADEADEFCE(AAS).FCE(AAS).所以所以FC=AD.FC=AD.(2)(2)因为因为ADEADEFCEFCE，所以所以AE=FE.AE=FE.又因为又因为BEAEBEAE，所以所以B
22、EA=BEF=90BEA=BEF=90，又因为又因为BE=BEBE=BE，所以所以BEABEABEF(SAS).BEF(SAS).所以所以AB=FB.AB=FB.因为因为FB=BC+FC=BC+AD.FB=BC+FC=BC+AD.所以所以AB=BC+AD.AB=BC+AD.9.9.如图，如图，C C是线段是线段ABAB的中点，的中点，CDCD平分平分ACE,CEACE,CE平分平分BCDBCD，CD=CE.CD=CE.(1)(1)试说明试说明ACDACDBCE.BCE.(2)(2)若若D=50D=50，求，求BB的度数的度数. .【解析【解析】(1)(1)因为点因为点C C是线段是线段ABAB的中点，的中点，所以所以AC=BCAC=BC，又因为，又因为CDCD平分平分ACEACE，CECE平分平分BCDBCD，所以所以1=21=2，2=32=3，所以所以1=3.1=3. CD=CE CD=CE，在在ACDACD和和BCEBCE中，中，1=3,1=3, AC=BC, AC=BC,所以所以ACDACDBCE(SAS).BCE(SAS).(2)(2)因为因为1+2+3=1801+2+3=180，所以，所以1=2=3=601=2=3=60，因为因为ACDACDBCEBCE，所以，所以E=D=50E=D=50，所以所以B=180B=180-E-3=70-E-3=70. .