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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 南昌大学第六届高等数学竞赛（文科类）试题序号 姓名 学院 第 考场专业 学号 考试日期： 2009.10.11 题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分1515101212121212100得分注：本试卷共六页，八道大题，考试时间为8:30-11:30.得分一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）评阅人 1极限= .2设，则= .3设，则的极小值为 .4设，则= .5 = .二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中只有一项符合题目的要求，把所选项前的字母填在题后的横线上）得分评阅
2、人 1若，则 . ， ， ， ， 2的图形在点处的切线与轴交点的坐标是 . 3下列各式中正确的是 . 4= . 1 0 5= . 1 0三、（本题满分10分）得分评阅人 求极限 .四、（本题满分12分）得分评阅人 设，求.得分五、（本题满分12分）评阅人 已知，求. 六、（本题满分12分）得分评阅人 求不定积分.得分七、（本题满分12分）评阅人 过抛物线上点作切线，问为何值时，所作切线与抛物线所围成图形面积最小？ 得分八、（本题满分12分）评阅人 设与在上连续，在内可导，且，证明：存在一点使.南昌大学第六届文科高等数学竞赛试题答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）1、5； 2
3、、； 3、； 4、； 5、.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.）1、D； 2、A； 3、A； 4、B； 5、C三、（本题满分10分）四、（本题满分12分）令，则 当时，时 = =0-=- 五、（本题满分12分）六、（本题满分12分）七、（本题满分12分）设切线斜率为，则切线方程为，即又设该切线与抛物线两交点横坐标为和，不妨设由 所以，因此 ，令（唯一）当时，当时，所以在时有唯一极小值，此即为最小值，从而时所作切线与抛物线所围成图形面积最小. 八、（本题满分12分）证明：令，则在0,1 上连续，在(0,1)内可导，且，又，所以由罗尔定理可知，至少存在使得，因此=0所以【精品文档】第 7 页