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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除南昌大学第六届高等数学竞赛（数学专业类06/07级）试卷试题及答案序号： 姓名： _ 学院: 专业： 学号： 考试日期： 2009年10月11日题号一二三四五六七八总分累分人 签名题分3010101010101010 100得分一、 填空题(每空 3 分，共 30分) 得分评阅人 1、=1；2、函数不可导点的个数是2；3、= ；4、的收敛区域为2/3 ,4/3）；5、设是连续函数，且，则6、 具有二阶连续偏导，=；7、设，,其中可微，= ；8、设曲线C为与的交线，则在曲线C上点（1，1，2）的切线方程为； 9、设L为取正向的圆周，则曲线积分 ；
2、10、函数列 在区间一致收敛的柯西准则是，对， ，有二、求极限得分评阅人 =三、证明函数在任何不含原点，也不以原点为端点的区间内一致连续，在（0,1）内不一致连续(1) 若有限区间内不含原点，且左右端点都不为零，由 在与其端点构成的闭区间上连续，所以在一致连续，从而在一致连续。 当为无限区间，或，由于0, 在及上一致连续，故在其任一子区间上一致连续。(2) 对=1，：，四、设在0,1上连续，在（0，1）内可导，试证：（1）存在，使得（2）对任意实数，必存在，使得（3）在0,1上的最大值大于1（1）由知 令，则， 据零点定理知存在，使得，即.（2）令，则在连续，在可导， 据罗尔定理，存在，使得，
3、即（3）由,及极限的保号性，在=1/2的某邻域， 即，而在0,1上有最大值，故在0,1上的最大值大于1五、设，在的某邻域内连续且，证明：（1） 函数在的某邻域内可导；（2） 级数收敛。（1）因为，且函数在0的某邻域内连续，所以，在的某邻域内可导。（2）因为，所以 = 因此，当时，由极限的比较判别法绝对收敛，从而级数收敛。六、求级数的和 =+-+2+-=七、设，若对任意的，收敛，试证明对任意的有由题设知，对任给，下述反常积分是收敛的： ，因此，由中值定理可得 = ， . 【精品文档】第 6 页八、设函数在0, )上存在二阶连续的导数，若存在，且在0, )有界，试证：证明：设= , 取定使得，由泰勒公式知：存在介于与之间，使得，于是有由=，对上述，存在,当时，有，从而故