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1、-南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题答案-第 7 页 南昌大学第六届高等数学竞赛(理工类)试题答案 一、 单项选择题(每题3分，共15分) 1、B. 2、D. 3、A. 4、A. 5、C.二、 选择题(每空3分，共15分) 1、1. 2、. 3、. 4、8. 5、. 三、求由方程所确定的函数在内的极值，并判断是极大值还是极小值. 对两边求导得， ， 令得，代入原方程解得. =320. 故当时，取极大值. 四、 设，求, .=, =. 五、 计算曲线积分，其中是以点（1，0）为中心，为半径的圆周,取逆时针方向., , 当时, 当时,由格林公式知,. 当时, ,作足够小的椭圆曲线,从到. 当
2、充分小时,取逆时针方向,使,于是由格林公式得， 因此 = = 六、设函数在内具有连续的导数，且满足，其中是由所围成的闭区域，求当时的表达式. =, 两边对求导得，且， 这是一个一阶线性微分方程，解得 . 七、设，求级数的和. 令, 则 =. . . = =, 八、设在上连续且单调增加，试证：对任意正数，恒有.令， 则, = =,于是. 九、设具有连续偏导数，由方程=0确定隐函数，求. 两边对求偏导得, 两边对求偏导得, ，, =1. 十、设，判别数列的敛散性. 定义，令，则,当时，, =. , 由可知收敛，从而收敛. 十一、设半径为的球面的球心在球面：上，问当为何值时，球面在球面内部的那部分面积最大？由对称性可设的方程为，球面被球面所割部分的方程为， , , . 球面与球面的交线在平面的投影曲线方程为，令所求曲面面积为, =. 令得驻点, 容易判断当时，球面在球面内部的那部分面积最大.十二、（本题满分8分）注：科技学院考生只作第1题, 其他考生只作第2题. 1.计算，其中曲线弧为：，. , (1) , ， (2) 将(1)、(2)代入得 = =4. 2.计算曲面积分，其中是曲面被平面所截出部分的上侧. 记为平面上被园所围成的部分的下侧，为由与围成的空间闭区域.由高斯公式知 = = =2. =3