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1、课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课）一、教学设计1. 教学内容解析在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在必修5的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习必修1的“集合”、 “函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到必修1之前，或是安排在必修1的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的
2、关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个 “ 二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”. 如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题， 导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时， 此部分内容又是培养函数与方程思想、 数形结合思想、 分类讨论思想以及等价转化
3、思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点： 一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2. 学生学情诊断本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总
4、结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点： 含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3. 教学目标设置(1) 理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系；(2) 能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性；(3) 引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养.4. 教学策略分析本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，
5、有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 锥曲线等核心概念必然联系的高度，着眼于继续学习，而又必须遵循数学的自然顺序，避免后继内容的前移。这种课的关键是整合和提升，形成基本套路并了解它在进一步学习中的基本价值。这些都需要问题驱动，循序渐进，在师生互动中不断地归纳总结。教学流程：5教学过程环节一：回顾师：同学
6、们，我们初中学过一元一次不等式，同学们说说这个不等式023x的解集是多少啊？生：32x. 师：诶，怎么算出来的啊？哪位同学来说说？生：把2移到右边去，再不等式左右两边同时除以3. 师：你的解题依据是什么呢？生：不等式的性质. 师：很好，请坐，这位同学利用不等式的性质，从代数的角度把这个不等式解出来了，还有其它的解法吗？生：可以先画出一次函数的图象，从图象可以看出不等式的解集. 师：好，我们先画图象，怎么画这个函数的图象？生：找两个点. 师：找那两个点比较好？生：与坐标轴的交点. 师：与x轴的交点是多少? 生：)0,32(. 师：这32是怎么出来的啊？生：令0y. 即023x，这个方程的根. 师
7、：很好，与x轴的交点的横坐标恰好是对应一次方程的根. 与y轴的交点是多少？生：令0 x. 得2y，交点)2,0(. 师：所以这个不等式的解集就是？生：32x，即图象在x轴上方时所对应的x的范围 . 师：很好， 请坐， 由此可以看出一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的联系，谁来概括一下？生：一次方程的根就是一次函数图象与x轴交点的横坐标（即一次函数的零点），一次不等式的解集就是一次函数图象在x轴上方时所对应的x的范围，一次方程的根也是一次不等式解集的端点师：同学们再想一想，这三者之间为什么会有关系呢？生：师：我们从代数表达式来看一看，一次方程、一次不等式和一次函数，这个三个表达式有什
8、么共同点？，都含有一次式，对吧，所以它们之间有关系.【评析】 回顾初中知识，利用一次函数的图象理解一次方程和一次不等式. 由三个“一次”，类比引出课题，并为三个“二次”的研究提供思路.回顾整合提升展望名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 环节二：整合师：很好，一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的关系. 我们再来看一下一元二次函数)0(2acbxaxy，一元二次方程)0(02acbxax、一元二次不等式)0
9、(02acbxax，)0(02acbxax. 师：从它们表达式来看，好像也有相同的部分，是什么呀？，二次多项式，对吧？那么这三个二次之间是否也有类似三个一次之间的关系呢？这就是我们这节课要研究的内容，首先请同学们画画这个二次函数的图象. （板书课题）画出二次函数322xxy的图象 . 观看几何画板动画， 随着动点 C横坐标 x 的变化，纵坐标 y 的变化情况 .（1） 当x取哪些值时，0y？（2）方程0322xx的根为；当x取哪些值时，0y？不等式0322xx的解集为；当x取哪些值时，0y？不等式0322xx的解集为. 问题 2：一元二次方程0322xx，一元二次不等式0322xx和一元二次函
10、数322xxy，三者之间有什么关系？动画展示：画一画看一看说一说变一变名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 问题 3：对于一般的一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数，三者之间有什么关系？小组合作探究：师：二次函数、方程和不等式三者之间有着密切的联系，函数是核心，图象是载体，可以通过函数的观点来处理方程和不等式问题. 【评析】 以具体的常系数的二次函数、方程、不等式为例， 让学生通过类比三个“一次”，理解三个“二
11、次”之间的内在联系，突出二次函数在“三个二次”中的中心地位。并对一般情形的二次函数、方程和不等式之间的关系进行整合，培养学生的数学抽象、几何直观、逻辑推理等核心数学素养，具体策略是问题驱动，在教学中，鼓励学生自主探索、合作研究.师：好，对于一个具体的一元二次不等式，我们会求解集，如果反过来，已知不等式的解集，你会求这个不等式吗？同学们思考这样的一个问题：【例 1】已知关于x的不等式02cbxx的解集为)3, 1(，求实数cb,的值. 【评析】 逆向变式，强化一元二次函数、方程和不等式的内在联系. 生 1：依题意，3,1是对应一元二次方程02cbxx的两根， 将1x和3x代一元二次函数一元二次方
12、程一元二次不等式图象名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 入方程得，0330)1()1(22cbcb，即09301cbcb， 解得32cb. 生 2：依题意，3, 1是对应一元二次方程02cbxx的两根，由韦达定理有cb3131，解得32cb.师：很好，请坐 . 根据三个“二次”之间的关系，不等式的解集就是函数图象在x轴下方时，所对应的x的取值范围，所以3, 1正好是图象与x轴交点的横坐标，也就是方程02cbxx的两
13、个根，从而根据韦达定理，可以求出cb,的值 . （画图分析）环节三：提升辩证唯物主义告诉我们，任何事物都是运动、变化、 发展的， 当我们将方程和不等式中常系数改为字母时, 随着字母取值的不同，方程的根和不等式的解会发生相应的变化，这类方程和不等式称为含参方程和含参不等式，下面我们一起来研究两个含参问题.师：我们再把前面那个具体的方程变一下，系数上加一个参数，同学们思考这样的一个问题：【例 2】已知关于x的方程0322axx，一根小于1，另一根大于1，求实数a的取值范围 . 【评析】 含参二次方程问题，继续对二次方程和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理方程问题.生 1：设32)(2axxx
14、f，则0)1 (f，解之得2a. 师：有不同意见吗？生 2：不对，应该还要0. 师：诶，生2 好像说得很有道理呢？还有其它观点吗？生 3：我觉得生1 是对的，因为0的作用是控制图象与x轴有两个交点，而这是开口向上的抛物线，0) 1(f也能保证与x轴有两个交点 . 师，同学们同意哪位同学的说法？生：曾子轩 . 师：很好，题目要求这个方程的两根，一个小于1，一个大于1，根据函数与方程的关系，方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标，我们可以通过控制二次函数的图象来控制方程的根，也就是要保证函数图象与x轴的交点，一个在1 的左侧，一个在1 的右侧 . 只需要0)1 (f，就可以控制住这个二次函数的图象
15、了，当然如果把0加进去，可不可以？也是可以的 . 我们从代数的角度来检验一下，看两种解法的答案是否一样？法 1：202-4)1 (aaf法2：2330124202-4)1 (2aaaaaaf或. 师：这是一个方程问题，我们可以根据函数与方程的关系将它转化为函数问题来处理. 师：我们再把前面那个具体的不等式也变一下，系数上加一个参数，同学们思考这样的一个问题：【例 3】若不等式0322axx对任意3, 1x恒成立，求实数a的取值范围 . 【评析】 含参二次不等式问题，继续对二次不等式和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理不等式问题.组内学生相互讨论，分析解题思路，再让学生先分析. 学生分析：
16、只需二次函数32)(2axxxf，在 3 ,1x这一段的图象位于x轴上方，应分三种情况讨论，当对称轴在区间的左边、中间和右边. 师：非常不错啊， 刘钰欣同学将这个不等式问题等价转化为函数图象问题，只需要函数图象在 3, 1x这一段的图象位于x轴上方即可 . 如何保证图象在x轴上方呢？我们边看动画一起来分析. 0 y 1 x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 动画展示： 随着a的取值变化，函数图象与x轴的位置关系.
17、 师：当对称轴在区间的左边时，怎么样就能保证图象在x轴上方？生：只需要0)1(f，师：很好，因为当对称轴在区间的左边时，函数在 3 ,1x这一段的图象是上升的，即y随着x的增大而增大，只需要最小值0)1(f即可 . 师：当对称轴在区间的里面时，怎么样就能保证图象在x轴上方？生：0. 师：还可以通过什么来控制？生：0)(af. 师：就是函数的最小值大于零即可. 师：再来看，当对称轴在区间的右边时，怎么样就能保证图象在x轴上方？生：只需要0)3(f，师：很好，因为当对称轴在区间的右边时，函数在 3 ,1x这一段的图象是下降的，即y随着x的增大而减小，只需要最小值0)3(f即可 . 下面同学们把具体
18、的解答过程写出来，找一个同学上黑板完成具体过程：生：记32)(2axxxf，这个函数的对称轴为ax，则当1a时，只需要024)1(af，解得2a, 又1a，所以12a；当31a时，只需要01242a，解得33a，又31a，所以31a；当3a时，只需要0612)3(af，解得2a,与3a矛盾 . 综上：32a.师：找个同学来点评一下. 生：答案正确，但解题过程有点不对，没有讨论1a和3a的情况 . 师：很好，这两种情况，可以加在哪里比较好. 生：加在中间. 师：很好， 对于含参问题，我们除了要选择恰当的分类讨论标准之外，还应该注意分类讨论还应做到不重不漏. 师：好，这是一个不等式问题，我们仍然将
19、它转化为一个函数问题来处理. 环节四：展望师：同学们，今天莅临我们课堂的还有一位神秘嘉宾，大家想不想见一下？生：想 . 师：掌声有请. 嘉宾：学弟，学妹们好，首先自我介绍一下，我是现在高三（15）班的刘今欣同学，很高兴走进学弟学妹们的课堂，和大家一起交流、学习. 嘉宾： 大家都知道一元二次函数是中考的压轴题，那么， 我们今天学习的二次函数、二次方程和二次不等式在以后的高中学习中有什么作用呢？课前，陈老师给我布置了一个任名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10
20、页 - - - - - - - - - 务，让我归纳整理一下. 二次函数、二次方程和二次不等式在高中数学其它领域的应用. 其实三个 “二次” 及其相关问题的处理方法广泛应用于高中数学的各大核心模块：如数列、三角函数、立体几何、解析几何、导数等. 下面重点以三个“二次”在解析几何中的应用为例，让同学们对三个“二次”在以后学习中的地位和作用有所了解. 【案例 1】直线1:kxyl与双曲线1222yxC：的右支交于不同的两点BA、，求实数k的取值范围 . 解： 联立方程22121ykxxy，消去y，得到x的一元二次方程.022)2(22kxxk直线l与双曲线 C 的右支交于不同两点，等价于方程有两个
21、不相等的正实数根. 即对应二次函数图象与x轴有两个交点， 且交点在y轴右侧 . 我们可以通过以下几个条件控制二次函数的图象. 2222220,(2 )8(2)0,20220.2kkkkkk解得k的取值范围是22k【案例 2】（ 2016 年江苏高考第19 题）试题和答案如下：已知函数0,0,1,1xxfxababab 设2a，12b 求方程2fx的根； 若对于任意xR ，不等式26fxmf x恒成立，求实数m的最大值； 略解：122xxfx，由2f x可得1222xx，则222210 xx，即2210 x，则21x，0 x；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
22、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 由题意得221122622xxxxm恒成立，令122xxt，则由 20 x可得12 222xxt ，原问题等价于不等式2+4tmt 0，对任意的t在),2上恒成立，记2( )+4f ttmt，当对称轴02m，即0m时，显然成立；当对称轴220m，即40m时，只需(2)820fm，即40m；当对称轴22m，即4m时，只需216044mm，与4m矛盾；综上，40m，所以实数m的最大值为 4【案例 3】（ 2016 年全国卷文科高考第11 题）试题和答案
23、如下：函数( )cos26cos()2f xxx的最大值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 解：因为2311( )2(sin)22f xx，而s in 1, 1 x，所以当sin1x时，取最大值 5，以上是最终可以转化为二次函数、二次方程和二次不等式的题目，其实还有更多的考题是考其他类型的方程、不等式问题，也可以用函数的观点，数形结合的思想来处理，如【案例 4】（ 2016 年山东卷文理高考第15 题，填空压轴）试题和答案如下：已知函数)(xf2,24,x xmxmxm xm其中0m若存在实数b，使得关于x的方程bxf)(有三个不同的根，则m的取值范围是 _解：画出函数图像如下图所示：由
24、图所示，要fxb有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224 ,30mmm mm mm，解得3m时间关系， 我暂时只讲这么多，欢迎同学们以后常来找我交流，预祝学弟学妹们早日适应华师一的学习. 也预祝大家在这个顶尖中学度过愉快而又成功的三年高中生活！【评析】 结课：从高中数学的核心问题中回望基础，让学生加深对三个“二次”作用的理解，并试图产生对进一步学习的期待. 师：很好，谢谢这位学长. 高中数学中的许多问题，都与三个“二次”直接有关或间接有关 . 二次函数、 二次方程和二次不等式的研究方法为研究其它函数、方程和不等式提供了套路 . 以后，对于其它类型的方程和不等式问题，我们仍
25、然可以用函数的观点来处理. 师：这里其实还蕴含着一种重要的数学思想方法，同学们说说，是什么？生：数形结合，师：著名数学家华罗庚专为数形结合思想写了一首诗，我们一起来朗诵一下. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 二、教学反思本课力图尝试在解决问题的过程中，让学生经过自主探究、合作学习和教师动态演示，完成知识的回顾、整合、提升、展望通过教学实践，认识到多一点精心预设，就能融一份动态生成，体会到什么是由“ 关注知识 ”
26、 转向 “ 关注学生 ” ，注意到由 “ 给出知识 ” 转向 “ 引起活动” ，由 “ 完成教学任务 ” 转向 “ 促进学生发展 ” 可取之处： 教学设计打破常规，不走寻常路，利用问题驱动完成本节课的教学目标，突出了以生为本，探索了衔接课的一种新模式改进之处： 本课在基本运算，用直观支持运算，以及通过展示未来课题让学生感悟运算价值等，都做了力所能及的工作. 但如何真正驱动学生在运算方面自觉探索、自觉积累、自觉训练，如何提高学生的运算素养，还有待于教学的创新. 数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
27、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 教学点评本节课试图努力的是课型的创新：从衔接课的要义出发，构建了以回顾、整合、提升和展望为要素的基本构架，突破了复习、 或者插入预备知识等传统的衔接方式，实现了衔接课课堂结构的创新. 回顾和整合是复习的基本经验. 只有整合基础的提升，才能奠定进一步学习的基础； 只有提升前提下的展望，才能让学生看到学习内容的真正价值，给进一步学习以持续动力和研究导向. 只有这样的基础和导向，才能实现有效衔接.目标明确， 结构合理，重点突出，围绕本课核心内容“三个二次”
28、关系及其应用”，以函数中心，从常量系数到参数，从分类研究到联系，从基本思路到不同视角，从直观感知揭示规律， 从方法到思想，从图象的静态分析到动态展示，都注意体现了循序渐进，从现象到本质的基本规律. 教学中，根据内容的定位和教育价值，关注数学核心素养的培养，让学生逐渐养成借助直观进行逻辑推理、独立思考、合作交流等学习习惯. 作为难点之一的展望环节，本课通过选取未来学习中具有代表性的问题，通过适当的处理，让学生充分感知当下学习内容的地位和作用，破解了展望环节容易失之空洞的弊端.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -