2022年二次函数与一元二次不等式 .pdf

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1、2.3 二 次 函 数与 一元 二 次 不等 式预备 知识一 元二 次方 程 的 解法二 次函 数的 图 象乘 积的 符号 法 则因 式分 解重点解 一元 二次 不 等 式求 数集 的并 集难点求 一元 二次 不 等 式的 解集学习 要求掌 握一 元二 次 不 等式 的求 解 方 法， 能结 合 二 次函 数图 象求 一 元 二次 不等 式 的 解集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页在前 两 节， 出 现在 不等 式中 的 变 量总 是一 次 的 但在客 观实 际中 有 很 多问 题， 必 须要 用 到 含有 变量

2、 二 次方的 不等 式 这 类 不等 式就 是 本节 要 学 习的 内容 一元 二次 不等 式 为了 表示 这 种不 等 式 的解 集， 你 还将学 习集 合的 并 集 的概 念1. 一 元 二次 不等 式(1) 一 元 二次 方程在初 中 你 已经 学习过 一元 二 次 方程ax2+bx +c=0(a 0)(2-3-1)它的 解集 是由 满 足 (2 -3-1 ) 的 全 部 x 构 成 你不 要 觉得这 种说 法很 新 奇 ，本 质上 就 是那 么 一 回事 我 们 已经知 道， 满足 ( 2-3-1 ) 的x 称 为一 元二 次方 程 ( 2-3-1 )的 根 ， 因 此 (2-3-1

3、)的 解 集 是 由 (2-3-1 )的 根 组 成 ， 所 谓解方 程(2-3-1)，实际 上就 是求 它 的 解 集 ， 也 就是 求出它的 全部 根(2-3-1 )有没有 根 、有 几个 根 ， 取决 于判 别 式=b2-4ac的符 号： (2-3-1 )有两 个 相 异实 根x1=a21(-b+)， x2=a21(-b-)，方程 (2-3-1 )的 解 集 是x1, x2； (2-3-1 )有两 个 相 同重 根x1= x2=ab2，方程 (2-3-1 )的 解 集 是x1 ； (2-3-1 )没有 实 根 ，方程 (2-3-1 )的 解 集 是空 集(2) 二 次 函数在初 中 你

4、还学 过与二 次方 程 密 切相 关的 二 次 函数0=00 时 开 口向 上， a0 时 的 三种 情况 的 示意图 如图 2-5：0=00在a0 时 ，(2-3-2 )的图 象与 x 轴 的位 置 关系是， 图象 与 x 轴有个交 点 ；当=b2-4ac=0 时 ，(2-3-2 )的图 象与 x 轴 的位 置 关系是， 图象 与 x 轴有个交 点 ；当=b2-4ac0 时 ，(2-3-2 )的图 象与 x 轴 的位 置 关系是， 图象 与 x 轴有个交 点 把二 次函 数(2-3-2 )与 一 元 二次 方程 (2-3-1 )关 联 起来 看 ， 你 可 以 发 现 ， 其 实 ， ( 2

5、-3-1 ) 的 根 就 是 使 函 数( 2-3-2 ) 等 于 零 的 点 称 为 函 数 的 零 点 ， 也 就 是(2-3-2 )的 图象与 x 轴交 点 的 横坐 标， 因 此 (2-3-1 )的 解图 2-5x y x1 x2 -ab2-a4o x y x1,x2 -ab2o x y -ab2o -a4单 击 此 处 可 以 打 开课 件（ 此 课 件 由 “ 几何 画 板 ” 制 作 ， 请确 认 您 的 系 统 中 已正 确 安 装 了 “ 几 何画 板 ” ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页集也

6、 就是 (2-3-2 )的图 象 与 x 轴交 点 的横 坐标 所 构 成的数集 这 样可 以 从 图象 中， 直 观地 得 到 关于 一元 二 次方程 存在 根的 结 论 (3) 一 元 二次 不等 式一元 二 次 方程 反映 数 量 相等 关 系 我们 来 看 一个实例 人 口控 制 是 我国 的一 项 基本 国 策 ，今 年我 国 的人口 是 A=13 亿 ； 设 年出 生率 是 x， 年死 亡 率 是 2，则实 际增 长率 为 x-0.002 ， 那 么明 年 我 国的 人口 总 数将是B=A (1+x-0.002) =13(x+0.998 ) =13x+12.974 (亿 )，后年

7、我国 的人 口 总 数将 是y=B (x+0.998 )=( 13x+12.974)(x+0.998 ) 即y=13x2+25. 948x+12. 948052 ( 亿 ) ( 2-3-3 ) 计划 生育 通过 控 制 x 来 控制 人口 y 的 增长 如 果 要求后年 人口 是 13. 1 亿， 那 么 ( 2-3-3 ) 给 出一 个 等 量关 系13. 1=13x2+25. 948x+12. 948052即13x2+25. 948 x- 0. 151948 =0，这表 明，为 了 使 后年 人口 正 好 是 13.1 亿 ，出 生率 x 应该满 足一 个一 元 二 次方 程如果 要 求

8、后年 的总 人 口 不要 超 过 13.1 亿，那 么 从(2-3-3 )得 到的将是 一 个不 等式13x2+25. 948 x+12. 94805213. 1，即13x2+25. 948 x- 0. 1519480( 2-3-4 ) 我们 的任 务也 就 是 求出 不等 式( 2-3-4 ) 的解 集 (2-3-4 ) 与 你 以 前接 触到 的 不 等式 相比 ，式中 的 变量 x 虽然 只 有 一个 ，但 它是 二 次方 我 们称 它 为 一 元二次 不等 式一般 地 ，如果 不 是要 求二 次 函 数( 2-3-2 ) 的函 数 值等于 某个 量，而是 要 求 它小 于( 或 大 于

9、, 或 不小 于, 或 不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页大于 ) 某 个 量 ，就 会遇 到 一 元二 次不 等 式 问题 . 因 此 一元二 次不 等式 的 一 般形 式是ax2+bx +c0,或0, 或0) ( 2-3-5 ) 2. 一 元 二次 不等 式的 解法下面 我 们 学习 如何 解 一 元二 次 不等 式 前 面 已经学习 了解 一元 一 次 不等 式， 因 此首 先 考 虑能 不能 用 它来解 一元 二次 不 等 式(1) 化 为 一元 一次 不等 式组 解 法这种 解 法 的基 础是 对 一

10、元二 次 式作 因式 分 解 例 1求不 等 式 x2- x- 120 的 解集解对 x2- x- 12 作 因 式分 解， 不 等 式 化 为( x+3)( x- 4) 0，根据 乘积 的符 号 法 则， 这个 不 等式 相 当 于x+30 x+30 x- 44， 解集 为A=( 4,+) ；解不 等式 组( 2) ， 得 x- 3，解 集 为 B=(-,- 3) 注意 ，当 ( 1) 成立 ， 即 x A ， 原不 等式 就 成 立；当( 2) 成 立 ， 即 x B ， 原不 等 式也 成 立 ，因 此原 不 等式的 解集 应该 是 A 中的 元素 与 B 中 的 元 素合 并起 来 所

11、构成 的数 集 C， 我 们把 数集 C 称为 数 集 A 和 数 集 B的并 集， 记作 C=AB(2) 数 集 的并 集用特 性 描 述法 表示 A 和 B 合 并 后的 数集 C， 应该是C= xxA 或 xB 回忆 两个 数集A,B的 交 集D是D =AB= xxA 且 xB ，虽然 只有 一字 之 差 ，但 意义 和 结果 大 不 相同 ！我 们 形(1)(2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页象 地 用一 个 圆 圈表 示 一 个 数 集 ( 我 们 在 第 一 章 就 这 么表示 过) ， 交 集是

12、取它 们 的 公共 部分 ， 而 并集 则是 取它们 的全 部覆 盖 部 分( 见 图2- 6) 在 数 轴上 表示 ， 你也能 看出 数集 的 并 与交 之间 的 区别 ( 图 2- 7 是例 1 的(1),(2) 的解 集的并 和 交， 显 然 交集 是一个 空集 ) ：一般 地 ， 设A,B是两 个数 集 ， 由A,B的全 部 元素组 成的 数集 C 称为 A, B 的 并集 数 集的 并 也 是一种数 集间 的 运 算，数集 A 并数 集 B 的结 果得 到 一 个新的、由 数 集 A,B 的 全 部 元素 构成 的 数 集 C 数 集 的 并运算 的符 号是 “ ” ， 因 此 数集

13、 A,B 的 并集 可以记 为A B用特 性描 述法 表 示 并集 ，则 是A B= xxA 或 xB 引用 并 集 的概 念， 例 1 的解 集 C 是C=(-,- 3) ( 4,+) =x x(-,- 3) 或 x( 4,+) 把例 1 改 为求 不等 式x2-x- 120 的 解集 ，你 能 不能准 确地 填好 下 面 的空 格：x2- x- 120 相当 于ABAB图 2-6ABABx-4-5-3 -2 -101234567图 2-7(A)(B)ABx-4-5-3 -2 -101234567(A)(B)AB=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

14、 - - -第 6 页，共 14 页x+30 x+30 x- 40 x- 40，不 等 式 组 ( 1) 的 解 集是A= ； 不等 式 组 ( 2)的解 集是 B= ， 原不 等式 的 解 集是 AB=小结 一 下 用化 为一 元 一 次不 等 式组 方法 解 题 的步骤：第一 步对二 次式 分 解 因式 ；第二 步据乘 积符 号 法 则列 出 两个 一元 一 次 不等式组 ；第三 步分别 解两 个 一 元一 次 不等 式组 ， 得 到它们的 解集 A, B；第四 步求出 A, B 的 并集 ， 得 原不 等式的 解集 课内 练习 1 1.用化 为 一 元一 次不 等 式 组的 方法 解 下

15、 列一 元二 次不 等式 ： (1) x2+x- 120；( 2) x2- 2x- 30(3) 图 象 求解 法化为 一 元 一次 不等 式 组 解法 的 基础 是对 二 次 三项式作 因式 分解 但 并非 所有 的 二次 三 项 式都 能很 方 便地作 因式 分 解 ，例如 很难 对二 次 三 项式 ( 2-3-4 ) 作 因 式分解 所 以我 们 还 必须 学习 一 元二 次 不 等式 的更 一 般的解 法， 这就 是 下 面要 介绍 的 图象 求 解 法图象 求 解 法是 受启 示 于 二次 函 数的 图象 设要 求 不 等式ax2+bx +c0,或0, 或0) (2-3-5 ) 的解

16、集， 其中 x 的 二次 项 系数a0让 我们 来 回 忆一下二 次函 数(1)(2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页y= ax2+bx +c的 图 象 ( 见 图2-5)， 则 你 立 即 能 发 现 如 下 规 律 (记 住=b2-4ac， 并 注意 y 的 正 负 )： 当0 图 象 与x 轴 有 两 个 交 点方 程ax2+bx +c=0 有 两个 相 异 实根 x1,x2(x1x2)在 两 根之间 ，即 当 x1xx2时 ，有 y0， 在 两 根之 外， 即 当xx2时 ， 有 y0； 当=0 图 象

17、与x 轴 相 切 于 一 点方 程ax2+bx +c=0 有两 个 相 同重 根 x1=x2对 任何 x x1的 实数， 均有 y0；当0据此 ，立即 就 能 得到 一元 二 次 不等 式( 2-3-5 ) 的 解集， 请你 填充 下 一 页的 表来 完 成这 项 任 务( 注 意 a0，解集 用区 间形 式 表 示) ：总结 上面 的 讨 论， 得 到 解一 元二 次 不 等式 (2-3-5)的步 骤如 下：第一 步把系 数 a 化 为 正数 ；第二 步作二 次函 数 的 草图 ， 讨论 一元 二 次 方程ax2+bx +c=0的根 ；第三 步据 表 2-1 或 观察 草图 得 到 解集 的

18、结 论 例 2 解下 列 不 等 式 ：( 1) x2- 2x+30；第二 步作y=x2- 2x+3 的 草图( 见附 图 ) ，=b2-4ac =4-120(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)ax2+bx+c0(a0)y=ax2+bx+c的图形0,有相异实根x1x2=0,有相同重根x1=x20；第二 步作 y=2x2- 2x+4 的草图 ( 见 附 图 ) ；因为=b2-4ac=4-320 的解 集，y0 的解 集；( 2) y0 的解 集，y0 的解 集；( 3) xyo123-121-2-3xyo3232141-1xyo3232141-15xyo1/2 1 3/23/2

19、11/225/227/29/2345精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页y0 的解 集，y0 的解 集2. 解下 列 不 等式 ：( 1)- x2- 3x- 3 0； ( 2) x2- 4x+4 0( 3) 4x2- x- 3 0如果 你 能 记住 表 2- 1 的 结 论， 也 可 以免 去第 二 步作 草 图 的 操 作 ， 直 接 得 到 不 等 式 解 集 为 了 记 住 表2-1 ，你 只要 记住 一 个 前提 ( a0) 和三句 话：根 上 等于零， 根间 小于 零 ， 根外 大于 零 下 面 例 子中

20、 我们 将 不再作 草图 ，你 能 接 受吗 ？如 果 你实 在 觉 得有 困难 ， 可以在 草稿 纸上 画 一 个草 图， 以 帮助 你 确 定图 象的 大 致位置 例 2解下 列 不 等式 ，并 用 区 间表 示解集 ：( 1)- x2+5x0； (2) x2+6x+90解( 1) 化 x2项 为 正 系数 ，得x2- 5x0；令 x2- 5x=0，解 得 x1=0, x2=5；据“ 根间 小 于 零” 的结 论 ， 即得 x2- 5x0 的 解集 为 ( 0,5) 解( 2) x2项的 系 数 已 为正 数；令 x2+6x+9=0， 得解x1=x2=- 3；据“ 根上 等 于 零，根 外

21、 大 于零 ” 的 结论 ，即 得 x2+6x+90的解 集为解( 3) 化x2项 为 正 系数 ，得x2- 2x+3 0；令x2- 2x+3=0 因为=b2-4ac =4-12=- 80 的解 集 为 (-,31) (31,+) 现在 让我 们 回 过头 来看 所 谓化 为 一 元一 次不 等 式组的 解法 这 种 解 法的 基础 ， 是对 一 元 二次 式作 因 式分解 ，一 旦因 式 分 解成 功， 一 元二 次 方 程的 根也 就 得到了 ，以 下完 全 可 以按 图像 法 来得 到 解 集， 不必 化 为一元 一次 不等 式 组 来解 了 按 照这 个 思 路， 来重 解 一下例 1

22、( 求 不等 式 x2- x- 120 的 解集 ) ， 你会 发现 ， 要比化 为一 元一 次 不 等式 组的 解 法简 便 得 多分解 因式x2- x- 12=(x+3)( x-4) 得根x1=-3, x2=4；根 据 “ 根 外 大 于 零 ” 的 结 论 ， 即 得 解 集 为 (-,- 3) ( 4,+) 这表 明， 能 用 化为 一元 一 次不 等 式 组解 法的 ， 必定可 以用 图像 法 计 算 因此 对 一元 二 次 不等 式， 我 们强调 图像 法最后 ， 让 我们 来解 决 本 节最 初 提出 的人 口 控 制问题 不等 式13x2+25. 948 x- 0. 15194

23、80是为 了保 证二 年 后 人口 不超 过 13. 1 亿 ，出生 率 x 所必须 满足 的不 等 式 应 用图 解 法， 并 借 助计 算器 ， 精确到 小数 点后 4 位 ，你 可以 得 到它 的 解 集是- 2. 0021 , 0. 0061 即每 年出 生率 不 超 过千 分之 六 具 体 解 算过 程， 是 课精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页内练 习任 务之 一 课内 练习 31. 解下 列 不 等式 ，并 用 区 间表 示解 集 ：( 1)( x+1)( x- 2)0； ( 4) x2+2x+1

24、0； (5)- x2- 4x52. 借助 计 算 器解 不等 式13x2+25. 948 x+12. 94805213 (实现 人 口 负增 长的 出 生 率) 课 外 习题A 组1.在数 轴 上 表示 下列 数 集 ：(1) x x-1 或 x 2 ；(2) x 0 x6 ；(3) x x5 ；(4) x -3x2 2. 用区 间 法 表示 下列 数 集 ：(1) x x-3 ；(2) x x3 或 x4 ；(5) x x0 ；(4) x2-8x+160 B 组1. 求下 列 不 等式 的解 集 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页(1) x20；(2)2 x2+3x-20 ；(3)6+ x-x20 的解 集为 ：(1) R=(-,+)；(2) 空 集；(3) 一个 区间 ；(4) 两个 区 间 的并 C 组1. 求下 列 不 等式 的解 集 ： (1)2x2+3x-12x-1 ；(2) x2+4x-32x2+2x-7；(3) x2+14 x+32. 试确 定 b,c 应 满 足的 不等 式 ， 使-x2+bx +c6x+2 对一 切 xR 都成 立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页