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1、2013 届浙江省高考数学难题预测( 理科 ) 1已知函数，0,ln0,)(xxxexfx则)1(effAe1BeCe1De【解析 】 f(1e)=1lne= 1 0； )1(efff(1)=11ee【答案 】A 2已知集合1,1M，11242xNxZ，则MNI（）A1,1B1C0D1,0【答案 】D 3已知直线l，m 与平面， ，满足/llmI， m，则有A且/mB且 lmC/m且 lmD/且【解析 】mm，又lml【答案 】B 4函数3sin(0)yx在区间0,恰有2个零点，则的取值范围为（）A1B12C13D3【解析 】由题知：3sin0yx在区间0,恰有2个解，即sin0 x在区间0,
2、恰有2个解，亦即xk，,()kxkZ，由题将=1，2 带入排除即可的=1 满足，=2 不满足【答案 】 B 5 已知正三棱柱ABCA B C-的正视图和侧视图如图所示设ABC，A B C的中心分别是O、O，现将此三棱柱绕直线OO旋转（包括逆时针方向和顺时针方向），射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数） ，对应的俯视图的面积记为( )S x，则函数( )S x的最大值和最小正周期分别是A4 3，3B4 3，6C8，3D8，23名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
3、第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 【解析 】由题意可知，要使得俯视图最大，需当三棱锥柱的一个侧面在水平平面内时，此时俯视图面积最大，如图所示，俯视图为矩形AA CC，且3,4,BDAA则AC3tan3022o，故面积最大为248当棱柱在水平面内滚动时，因三角形ABC 为正三角形，当绕着OO旋转60o后其中一个侧面恰好在水平面，其俯视图的面积也正好经历了一个周期，所以函数( )S x的最小正周期为3【答案 】C6已知为锐角，则 “31sin且31cos” 是“9242sin” 的A充分必要条件B必要而不充分条件C充分而不必要条件D既不充分也不必要条件【解析 】由于为锐
4、角，注意到“31sin或31cos” 时均有： “9242sin” ，反之也成立不妨设31sin的解为1，设31cos的解为2结合图像由单调性可知31sin且31cos的 解 为 ：21(21,关 于4对 称 ) ， 故21222（2122）， 由 于9242sin2sin21，故9242sin成立，即充分性成立由于为锐角，故以上过程可逆推，即必要性也成立综上得：“31sin且31cos” 是“9242sin” 的充分必要条件【答案 】A 7设向量a，b， c 满足 |a|b|1，agb12，( ac)g( bc)0，则 |c|的最大值为A312B312C3D1【解析 】法一：（几何法）如下图
5、：aOAruu u r，bOBru uu r，cOCruuu r由题意有AOB3，点 C 在圆 M 上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 当点 C 达到点 D 时，maxmaxsincos66cODOMAMru uu ruuuu ruuuu r法二：（建系法或称坐标法）如下图建系，设点C 坐标为（ x，y） 设aOAruu u r32，12，bOBruuu r32，12，cOCruuu rx，y则：32acbcxr
6、rrr，1322yx，12y0化简得：223124xy即图中圆M当点 C 达到点 D 时，maxmaxsincos66cODOMAMru uu ruuuu ruuuu r【答案 】A 8如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的，n个数，分别是1，3，5，12n； （2）从第二行起，各行中的每一个数都等于它肩上的两数之和；（3）数阵共有n行，问：当2012n时，第32行的第17个数是A372B3622012C362D322【解析 】本题规律不易发现规律一：（偶数行）第2m行的第一个数是22mm如241 2，43222规律二：（一行内）第n行数的相邻两个数之间相差2n由以上规律得：第32行的第 1
7、个数是32361622，相邻两个数之间相差322，第32行的第17个数是36323721622【答案 】A 9在高等数学中有如下定义：函数yfx的导数fx叫作函数yfx的一阶导数，类似地，把名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - yfx的导数叫作函数yfx的二阶导数现若有函数1sincos3sin33fxaxbxx在3x处取得极大值，则b的范围为A3b B 12bC1322bD32b【解析 】由题中提示知：二阶导数（记
8、为fx）与极值有关由导数定义有：0limxfxxfxfxx （0 x）对于极值左右两边来说：当为极大值点时，0fxx，0fx所以有0fx成立cossin33cos3fxaxbxx，sin3 cos9sin3fxaxbxx令03f得：6a令33032fab得：3b【答案 】A 10点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是A圆B椭圆C双曲线的一支D直线【解析 】如图， A 点为定圆的圆心，动点M 为定圆半径AP 的中点，故 AM=MP ，此时 M 的轨迹为以A 圆心 ,半径为 AM 的圆如图，以 F1为定圆的圆心，F
9、1P 为其半径，在F1P 截得 |MP|=|MA|，1PFr设，111MFPMMFMArF A，由椭圆的定义可知，M 的轨迹是以F1、A 为焦点，以 |F1A|为焦距，以r 为长轴的椭圆名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 如图，以 F1为定圆的圆心，F1P 为其半径，过P 点延长使得 |MP|=|MA|，则有1MFPMr，1MFMArFA由双曲线的定义可知，M 的轨迹是以F1、 A 为焦点的双曲线的右支若 M 落在
10、以 A 为端点在x 轴上的射线上，也满足条件，此时轨迹为一条射线，不是直线【答案 】D 11已知 i 是虚数单位，设复数113iz，232iz，则21zz在复平面内对应的点为_【解析 】1213i32i1 3i97i32i32i32i11zz，对应点为911，711【答案 】911，71112在10）（yx的展开式中，系数最小的项为第_项【解析 】101011010()( 1)rrrrrrrrTC xyC xy，当 r=5 时，显然10( 1)rrC最小，系数最小的项是第6 项【答案 】6 13若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 值为 _【解析 】先列举几个如下：i=2，S=3，P=
11、11312；i=3，S=6，P=11113612123；i=4，S=10，P=1111113610121231234；i=5，S=15，P= 观察上面几式易得规律名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 考察一个数列求和：P=1111121231234123i可从通项着手：1121121123112nai iii iii故1111111122123344511Piii令291,19110Pii故当20i时，跳出程序【答案
12、 】2014设袋中有8 个形状、大小完全相同的小球，其中2 个球上标有数字0，3 个球上标有数字1，另 3 个球上标有数字2现从中任取3 个球，用随机变量表示这 3 个球上数字的最大值与最小值之差则的数学期望E【解析 】由题知0， 1，2且5622)0(38CP，56272) 1(382313131213CCCCCCP，5627)1()0(1)2(PPP故E)0(0P+)1(1P+)2(2P=5681【答案 】568115过抛物线22(0)ypx p焦点的直线与抛物线交于A、B 两点，3AB，且 AB 中点的纵坐标为12，则 p 的值为【解析 】设直线为：2pxmy，代入抛物线得：2220ym
13、pyp221ABAByympy yp，又：222214114ABABABmyyyymp，即：22213541143mppmp【答案 】354名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 16已知实数x、y 满足205040 xyxyy，若不等式222()()a xyxy恒成立，则实数a 的最小值为_ 【解析 】作出可行域如下所示：则2222222221xyxyxyaxyxyxyyx设ytx（表斜率），则2t，4，则152tt
14、，174，故max2915xyyx，所以95a 即min95a【答案 】9517已知函数2a xbfxxbc0,0abR c，2g xmfxn0mn，给出下列三个命题：函数fx的图像关于x 轴上某点成中心对称；存在实数p 和 q，使得pfxq对于任意的实数x恒成立；关于x 的方程0g x的解集可能为4, 2,0,3，则是真命题的有_ （不选、漏选、选错均不给分）【解析 】 知识储备： 函数 y=f (x)的图像关于x 轴上的点（b， 0） 成中心对称的充要条件是f (b+x)+f (bx)=0代入知正确；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
15、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 2a xbafxcxbcxbxb，由函数kfttt（0k）的性质知22 2f tkorf t故函数afxcxbxb为有界函数（即有上下界，亦即有最值），所以正确；方程20g xmfxn中的m、n同号，所以0g x有两个解（对与fx来说）可设fxA，（ A0）令2a xbfxAxbc，则20A xba xbAc（），对称轴为2axA，2214aA c；同理令2a xbfxAxbc，则20A xba xbAc（），对称轴为2axA，2224aA c由题要想有四个解，则22
16、1240aA c方程（）的两个解之和为aA，方程（）的两个解之和为aA若解集为4, 2,0,3，则不满足上面条件所以错【答案 】18、已知ABC、 、是ABC的三个内角，且满足2sinsinsinBAC，设B的最大值为0B，（1）求0B的大小；（2）当034BB时，求coscosAC的值【解析 】 （1）由题设及正弦定理知，2bac，即2acb由余弦定理知，2222222cos22acacacbBacac223()23(2)21882acacacacacac因为cosyx在(0,)上单调递减，所以B的最大值为03B7 分（2）设coscosACx， 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
17、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 由（）及题设知sinsin2AC 由2+2得，222cos()2ACx又因为4ACB，所以42x，即4coscos2AC17 分19、设数列na的前n项和为nS，已知1( ,nnSpSq p q为常数，*nN） ，1232,1,3aaaqp（1）求数列na的通项公式；（2）是否存在正整数,m n，使1221mnmnSmSm成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(, )m n；若不存在，说明理由【解析 】 （1）由题意，
18、知2132,SpaqSpSq+即32,333,pqqppq+解之得1,22pq2 分1122nnSS，当2n时，1122nnSS，得，1122nnaan，4 分又2112aa ，所以*112nnaanN，所以na是首项为2，公比为12的等比数列，所以212nna 7 分（2）由得，12(1)124(1)1212nnnS，由1221mnmnSmSm，得114(1)221214(1)2mnmnmm+，即2 (4)422 (4)221nmnmmm， 10 分即212 (4)221nmm，因为210m，所以 2 (4)2nm，所以4m，且122 (4)24nmm+， ( )因为*mN，所以1m或2或3
19、 12 分当1m时，由 ( )得， 2238n，所以1n；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 当2m时，由 ( )得， 22212n，所以1n或2；当3m时，由 ( )得， 2220n，所以2n或3或4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(, )m n 为：（1， 1） 、 （2，1） 、 （2，2） 、 （3，2） 、 （3，3） 、 （3，4） 14 分20、 如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD A B
20、 C D， DD 底面 ABCD， DAB =60 ， AB=2AD， DD =3AD，E、F 分别是 AB、DE的中点，（1）求证： DF CE； （2）求二面角AEFC的余弦值【解析 】（）,60ADAEDAEDAEo为等边三角形，设1AD，则1,3,2,90DECECDDECo，即CEDE3分QDD底面ABCD，CE平面ABCD，CEDDCEDECEDD ECEDDCEDFDFDD EDEDDDI平面平面6分（）取AE中点H，则12ADAEAB，又60DAEo，所以DAE为等边三角形则DHAB，DHCD分别以DHDCDD、所在直线为xyz、 、轴建立空间直角坐标系，设1AD，则3 131
21、3 1 3(0,0,0),(,0),(,0),(0,0,3),(,),(0, 2,0)222244 2DEADFC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 31 333(,),(0,1,0),(,0)44 222EFAECEu uu ru uu ruuu r设平面AEF的法向量为1( , , )nx y zu r，则31304420 xyzy，取1(2 3,0,1)nu r 10 分平面CEF的法向量为2( , , )
22、nx y zu u r，则313044233022xyzxy，取2(3 3,3,2)nu u r12分13130401320,cos212121nnnnnn所以二面角AEFC的余弦值为1301315 分21、如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且1AF FBuuu r uuu r，1OFu uu r（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点F 作直线 l1，l2，直线 l1与椭圆分别交于点M、N，直线 l2与椭圆分别交于点P、Q，且2222MPNQNPMQuu uruu u ruu u ruuu u r，求四边形MPNQ 的面积 S的最小值名师资料总结 - - -精品资
23、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 【解析 】（）设椭圆的方程为)0( 12222babyax，则由题意知1c，又, 1?FBAF即.2,1)(222acacaca1222cab，故椭圆的方程为：1222yx4分（）设),(),(),(),(QQPPNNMMyxQyxPyxNyxM则由题意：2222MQNPNQMP即：22222222)()()()()()()()(QMQMPNPNQNQNPMPMyyxxyyxxyyxxyyxx整理得：0QN
24、PMQMPNQNPMQMPNyyyyyyyyxxxxxxxx即0)()(QPMNQPMNyyyyxxxx所以21ll (注：证明21ll，用几何法同样得分) 若直线21,ll中有一条斜率不存在，不妨设2l的斜率不存在，则可得xl2轴，2,22PQMN，故四边形MPNQ的面积22222121MNPQS若直线21,ll的斜率存在 ,设直线1l的方程：)0)(1(kxky，则由)1(1222xkyyx得：0224)12(2222kxkxk设),(),(2211yxNyxM，则1222,12422212221kkxxkkxx12)1(2212)22(4)124(14)(1122222222212212
25、212kkkkkkkxxxxkxxkMN同理可求得，222)1(22kkPQ故四边形MPNQ的面积：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - Oxy121221121916211242)1(2212)1(222121222222kkkkkkkMNPQS取“=” 综上，四边形MPNQ的面积S的最小值为916 15分22、已知函数dcxbxxxf2331)(，设曲线)(xfy在与x轴交点处的切线为124xy，( )fx为(
26、 )f x的导函数，满足)()2(xfxf（1）设( )( )g xxfx，0m，求函数( )g x在0,m上的最大值；（ 2）设( )ln( )h xfx，若对一切0,1x，不等式(1)(22)h xthx恒成立，求实数t的取值范围【22 解析 】 （）2( )2fxxbxc，Q)()2(xfxf，函数( )yfx的图像关于直线1x对称，则1bQ直线124xy与x轴的交点为(3,0)，(3)0f，且(3)4f，即9930bcd，且964bc，解得1c，3d则321( )33f xxxx故22( )21(1)fxxxx，222,1,( )(1)1,1.xx xg xxxx xxxx其图像如图所
27、示当214xx时，122x，根据图像得：（）当102m时，( )g x最大值为2mm；（）当11222m时，( )g x最大值为14；（）当122m时，( )g x最大值为2mm8分（）方法一：2( )ln(1)2ln1h xxx，则(1)2lnh xtxt，(22)2ln 21hxx，Q当0,1x时，2121xx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 不等式2ln2ln 21xtx恒成立等价于21xtx且xt恒成
28、立，由21xtx恒成立，得131xtx恒成立，Q当0,1x时，311,4x，1 2,1x，11t，又Q当0,1x时，由xt恒成立，得0,1t，因此，实数t的取值范围是10t 14分方法二：（数形结合法）作出函数 1,0, 12xxy的图像，其图像为线段AB（如图），txy的图像过点A时，1t或1t，要使不等式21xtx对0,1x恒成立，必须11t，又Q当函数)1(txh有意义时，xt，当0,1x时，由xt恒成立，得0,1t，因此，实数t的取值范围是10t14分方法三：2( )ln(1)h xxQ，( )h x的定义域是1 x x，要使(1)h xt恒有意义，必须tx恒成立，Q0,1x，0,1t，即0t或1t 由(1)(22)h xthx得22()(21)xtx，即223(42 )10 xt xt对0,1x恒成立，令22( )3(42 )1xxt xt，( )x的对称轴为23tx，则有20,3(0)0t或22201,3(42 )43 (1)0ttt或21,3(1)0t解得11t 综合、，实数t的取值范围是10t14分Oxy1211233442AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -