《2022年三矩阵的初等变换与线性方程组.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年三矩阵的初等变换与线性方程组.docx（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品学习资源章节Ch3课题矩阵地初等变换与线性方程组方案课时数10授课班级04 级运算机系专升本 10-13教 能娴熟进行初等变换；把握初等矩阵、初等矩阵与初等变换地联系； 案 懂得矩阵等价地概念；娴熟把握用初等变换求逆矩阵地方法；懂得矩目 阵秩地概念；把握其求法；把握秩地一些基本性质；懂得线性方程组地 地有解判别定理；把握求通解地第一种方法 .教案用初等变换求逆矩阵地方法；懂得矩阵等价地概念；秩地概念及求重法；线性方程组地有解判别定理；求通解地第一种方法.点教案初等矩阵与初等变换地联系；秩地性质及其证明方法；运算精确性地难保证.点教案方法讲授、习题课、答疑和手段备注教 学 内 容批注欢迎下载
2、精品学习资源第三章 矩阵地初等变换与线性方程组本章先引进矩阵地初等变换和初等矩阵, 建立矩阵地秩地概念, 并利用初等变换争论矩阵地秩地性质争论线性方程组无解、有惟一解或有无穷多解地充分必要条件, 并介绍用初等变换解线性方程组地方法 .1 矩阵地初等变换矩阵地初等变换是矩阵地一种非常重要地运算,它在解线性方程组、求解逆矩阵以及矩阵理论地探讨中都可起重要地作用.为引进矩阵地初等变换 ,先来分析用消元法解线性方程组地例子.2 x1x2x3x42x1x22 x3x444 x16 x22 x32 x443 x16 x29 x37 x491、引例求解线性方程组1）2、初等变换 行、列）欢迎下载精品学习资源
3、定义 设 A 是 m换：n 矩阵 , 下面三种变换称为矩阵地初等行变欢迎下载精品学习资源（1） 交换 A 地第i 行和第 j 行位置置 , 记为 rir j ；（2） 用非零常数 k 乘以 A 地第 i 行各元素 , 记为 kri ；（3） 将 A 地第 i 行各元素地 k 倍加到第 j 行对应元素 , 记为r jkri .如把定义中地行改为列, 便得到三种对应地初等列变换, 记号分别为cic j ； kci ； c jkci .矩阵地初等行 列）变换统称为矩阵地初等变换.例如：教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源297010123101c4 2 c2r1r 310123
4、101002971235102欢迎下载精品学习资源29717值得留意地是 , 初等变换将一个矩阵变成了另一个矩阵, 在一般情形下 , 变换前后地两个矩阵并不相等 , 因此进行初等变换只能用来表示 , 而不能用等号 . 另外, 矩阵地初等变换可以逆向操作,欢迎下载精品学习资源即如矩阵 A 经过rir j、kri 、 c jkci 变换成了矩阵 B , 那么对 B 施欢迎下载精品学习资源以rir j1、 ri 及 cjkcik, 就可以将矩阵 B 复原为矩阵 A .欢迎下载精品学习资源3、矩阵地等价定义假如矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵B , 就称A 与矩阵 B 行等价, 简记为 A B
5、. 假如矩阵 A 经过有限次初等列变欢迎下载精品学习资源换变成矩阵 B , 就称 A 与矩阵 B 列等价 , 简记为A B. 假如矩阵 A欢迎下载精品学习资源经过有限次初等变换变成矩阵B , 就称 A 等价于矩阵 B , 简记为A B .由定义可以得到以下关于矩阵等价地一些简洁性质：(1) 反身性 ： A A ；(2) 对称性 ： A B, 就B A ；欢迎下载精品学习资源(3) 传递性 ： A B 且 B C , 就A C .欢迎下载精品学习资源应用初等变换来求解引例 , 对比以下过程4、阶梯形矩阵、行最简矩阵、等价标准形1）阶梯形矩阵2）行最简矩阵：非零行地第一个非零元素为1, 并且这写非
6、零元所在列地其他元素为03）等价标准形欢迎下载精品学习资源定理 任意矩阵 AaijEr m n 都与形如00地矩阵0欢迎下载精品学习资源教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Er等 价 . 矩 阵00称 为 矩 阵 A 地 标 准 形 . 数 r 满 足0欢迎下载精品学习资源1rmin m, n ）证 分两种情形争论：欢迎下载精品学习资源（）如 A0, 就r0 , 结论明显成立；欢迎下载精品学习资源（）如 A0, 就总可以通过第一种初等变换将A 变换成左上角位欢迎下载精品学习资源于第一行第一列地元素不为零地矩阵 . 故不失一般性 , 不妨假设换如下：a110, 对 A 施行
7、初等变欢迎下载精品学习资源1a11a12a1n1b12b1n欢迎下载精品学习资源Aa21a22a2 n1 r a11a21a22a2n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源am1a m 2amn1b12am1b1na m2amn欢迎下载精品学习资源riai 1r1 i2,m0b220b m2b2nbmn欢迎下载精品学习资源100欢迎下载精品学习资源令b22A1bm 2c jb1 j c1 jb2 nbmn2, n0b220b m 2b2nBbmn欢迎下载精品学习资源如 A10, 就已经是标准形了 . 如 A10, 同样不妨可以假设b220 ,欢迎下载精品学习资源连续对 B 进行初等变换 ,
8、得教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1r2Bb2210010b320c23 b330c2nb3n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ri bi 2 rc j c 2 j c 20bm21001bm300bmn00欢迎下载精品学习资源i 3, 4,mj 3,4,n00c33c3n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再令 A20c22cm20cm3 c2 ncmncmn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源重复以上步骤 , 必可得到矩阵地标准形时, A 地标准形为Em ,0Er000. 特殊, 当 rmn欢迎下载精品学习资源当rn当rnm时, A 地标准形为En0
9、m 时, A 地标准形为En欢迎下载精品学习资源例：把 AE 化成行最简形 , 其中021A302230教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源2 初等矩阵一、初等矩阵定义 单位矩阵经过一次初等变换后所得矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵 , 它们分别为：1、对调两行或者两列把单位矩阵中第 i , j 两行对调 rir j ）, 得到初等矩阵：1欢迎下载精品学习资源1011Ei , j 1101第i行第j行欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源用m阶初等矩阵Em i , ja11左乘矩阵 Aa12a1n1naij m, 得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Em i, ja
10、j 1A =ai 1a j 2ai 2a jnain第i行第j行欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源am1am2amn欢迎下载精品学习资源教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源很明显 , 其结果相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换. 类似欢迎下载精品学习资源上述做法 , 以n 阶初等矩阵En i , j右乘矩阵 Aaijm, 其结果相欢迎下载精品学习资源n当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换 .欢迎下载精品学习资源2、以数 k以数 k 10 乘某行或者某列0 乘单位矩阵地第 i 行 kri 得到初等行矩阵：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Ei k =1k第i行11n1欢迎下载精品
11、学习资源由矩阵地乘法 , 简洁验证：以Ei k左乘矩阵 Aaij m, 结欢迎下载精品学习资源果相当于以数 k 乘 A 地第 i 行, 同理可证 , 右乘矩阵 A于数 k 乘 A 地第 j 列.aijm n 相当欢迎下载精品学习资源3、以数 k0 乘某行 列）加到另一行 列）上去 .欢迎下载精品学习资源以数 k0 乘单位矩阵地第j 行加到第 i 行上 rikr j） 或以数欢迎下载精品学习资源k0 乘单位矩阵地第 i 列加到第 j 列上 c jkri ） , 得到初等矩阵：教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源1欢迎下载精品学习资源1kEij k 1第i行第j行欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品
12、学习资源不难验证：以 Eij k1左乘矩阵 Anaijm, 结果相当于把 A 地欢迎下载精品学习资源n第 j 行乘数 k 加到 A 地第 i 行上, 右乘矩阵 A第i 列乘数 k 加到 A 地第 i 列上.aijm相当于把 A 地欢迎下载精品学习资源综上所述 ,得到矩阵地初等变换和初等矩阵之间地关系如下： 二、初等矩阵地应用定理对mn 矩阵 A , 施行一次初等行变换 , 相当于在 A 地左边乘以相应地 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 地右边乘以相应地 n 阶初等矩阵 .明显, 初等矩阵都是可逆矩阵 , 其逆矩阵仍是初等矩阵 , 简洁验欢迎下载精品学习资源证：Ei
13、, j 1Ei,j , Ei k E i1,1k欢迎下载精品学习资源1E ij k E ijk.定理 矩阵 A可逆A可分解成如干个初等矩阵之积证明过程要讲一下）推论矩阵 A 可逆A 与单位阵等价；推论设 A 和 B 都是 mn 矩阵,就 A 等价于 B 地充分必要条件为存在m阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q ,使得PAQB教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源三、求逆方法设矩阵 A 可逆 , 就由推论知存在有限个初等矩阵P1 , P2, Ps ,欢迎下载精品学习资源使得A = P1P2Ps就P11Pss 1P 1AE成立欢迎下载精品学习资源11111此式说明 A 可经
14、一系列初等行变换变成 E ；欢迎下载精品学习资源另外PsPs 1P1EA也成立欢迎下载精品学习资源此式说明 E 可经这同一系列初等行变换变成A 1 . 如构造一个欢迎下载精品学习资源11n2n 矩阵 A E , 就有欢迎下载精品学习资源11PsPs 1P1A E = E A欢迎下载精品学习资源即对 n2n 矩阵 A E 作初等行变换 , 当 A 变成 E 时, 原先地 E 就是A 1 了.当 A 为可逆矩阵时 , 用初等行变换求逆矩阵地方法可简记为欢迎下载精品学习资源A E初等行变换E A 1欢迎下载精品学习资源101例用初等行变换法求矩阵A =210地逆矩阵.欢迎下载精品学习资源511122
15、A51171122325欢迎下载精品学习资源教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源在矩阵方程 AXB 中, 假如 A 是可逆阵 , 就有唯独解：XA 1B如构造矩阵 A B , 同上述争论可得：当对其进行初等行变换时, 化欢迎下载精品学习资源其 中地 A为 E时,B就 变 为A 1B了 .即欢迎下载精品学习资源A B初等行变换E XEA 1 B欢迎下载精品学习资源例 用初等行变换解矩阵方程 AXB , 其中12325A221, B3134343欢迎下载精品学习资源3 X2123 .3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源另外,假如求 YCA 1 ,就可对矩阵A作初等列变换 ,使C欢迎下载精品
16、学习资源AECCA 1欢迎下载精品学习资源即可得到 YCA 1, 不过通常都习 惯作 行变换, 那么可该 为对欢迎下载精品学习资源 AT ,CT 作初等行变换 ,使得欢迎下载精品学习资源 AT,CT E, AT 1CT 欢迎下载精品学习资源即可得到 YT AT 1CT,从而求得 Y教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源3、矩阵地秩矩阵地秩是矩阵地一个重要数字特点,它反映出该矩阵所代表地线性变换某种特性地不变量 .利用它,可以证明矩阵标准形地唯独性,在线性方程组地理论争论中也有很重要地作用.1、 k 阶子式、最高阶非零子式1） k 阶子式欢迎下载精品学习资源定义在矩阵中 , 任取 k 行和 k
17、列, 由这些行和列交点上地k 2 个元欢迎下载精品学习资源素按原有次序构成地一个 k 阶行列式 , 称为矩阵地一个 k 阶子式.明显, mn矩阵 A 地 k 阶子式有 Ck C k 个.mn2）最高阶非零子式欢迎下载精品学习资源定义 mn 矩阵 A 中, 有一个 r 阶子式 D 不为零 , 而任意 r1 阶子式欢迎下载精品学习资源均为零 , 称 D 为矩阵 A 地最高阶非零子式 , 称数 r 为矩阵 A 地秩, 记为R A, 并规定零矩阵地秩为0.2、矩阵地秩地有关结论1） A 有一个 k 阶非零子式R Ak ；欢迎下载精品学习资源2） A 地全部 k1子式均为零R Ak .欢迎下载精品学习资
18、源由行列式地性质可知 ,当矩阵 A 中全部 r1 阶子式都为零时 ,全部高于r1 阶地子式也全为零 ,因此 A 地秩 R A 就是 A 中不为零地子式地最高阶数 .3）满秩矩阵和降秩矩阵 对于方阵地分类）3、矩阵地秩地求法1）子式判别法即用定义判别：求最高阶非零子式.适用于低阶矩阵或特殊矩阵 .教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 1：求 A、B 地秩,其中123A235, 24712103203125B. 30004300000欢迎下载精品学习资源2）利用初等变换化为阶梯形矩阵常用方法 例 2：求 A 地秩,并求 A 地一个最高阶非零子式 ,其中3205032361A
19、.320153164143 ）利用三秩相等定理转为向量组地秩下一章介绍 4、秩地一些基本性质及证明欢迎下载精品学习资源a、0R Aminm,n ；欢迎下载精品学习资源b、 R AT R A欢迎下载精品学习资源c、 A B R AR B欢迎下载精品学习资源证明提要：等价矩阵具有相同地标准形注：其逆不真 ,加上条件 A, B 为同型矩阵 ,就逆命题为真欢迎下载精品学习资源d、 P, Q 可逆R PAQRPAR AQR A欢迎下载精品学习资源初等变换不转变矩阵地秩e 、 max R A, R BR A, BR ARB分别对AB中地 A, B 作列变换化为CD,可得 C 中仅有R A 个列非零 , D
20、 中仅有 R B 个列非零 ,故RB 个列非零 ,所以其次个不等式成立CD中仞有 R A 教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f、 R ABR ARB欢迎下载精品学习资源g、 R ABminR A, R B下节证明欢迎下载精品学习资源h、 Am nBn l0R ARBn 下章证明欢迎下载精品学习资源4、线性方程组地解设线性方程组为TTAXb欢迎下载精品学习资源其中 A aij m n , Xx1, x2 , xn , bb1,b2 , bm 当 b0欢迎下载精品学习资源时,称 AXb 为非齐次线性方程组；当 b0 时,称 AX0 为齐次线欢迎下载精品学习资源性方程组如线性
21、方程组有解 ,就称该线性方程组相容 ,否就称为不相容本节我们要争论非齐次线性方程组相容地充要条件 ,以及相容时,方程组有唯独解仍是有无穷多解1、有解判别定理及证明定理 n 元线性方程组 Axb欢迎下载精品学习资源1）无解地充分必要条件是2）有惟一解地充分必要条件是R AR AR A,bR A,bn ；欢迎下载精品学习资源如不然 ,欢迎下载精品学习资源就有某个clk0 r1lm , r1kc1k c2 kn ,就 C 中有 r1 阶子式欢迎下载精品学习资源100010001000crk clkclk0欢迎下载精品学习资源教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源这与 R Cr 冲突于是 C 中右下角
22、地 m rn r子阵为零矩欢迎下载精品学习资源阵,进而对C, D 地后 mr 行施行适当地初等行变换 ,有欢迎下载精品学习资源A经初等行变换100010001c1r 1c2r 1crr 1c1n c2 ncr nd1 d2记drC欢迎下载精品学习资源00000d000000其中当dr+ 1,dm 全为零时 ,d=0；当 dr+ 1, dm 不全为零时 ,d 0而且有R（R AC矩阵 C 对应地线性方程组为欢迎下载精品学习资源x1c1rx2c2 r1 xr 11 xr 1c1n xnd1c2n xnd2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xrcrr0d1 xr 1cr n xndr欢迎下载精
23、品学习资源方程组* 与原方程组同解由此 ,我们可给出充要条件地证明欢迎下载精品学习资源必要性：设方程组 AXd=0易得b 相容,于是方程组也相容 ,就必需欢迎下载精品学习资源A,RCR AR（CrR A欢迎下载精品学习资源充分性：设R Ar（ r , 于是 d=0,就方程组 * 有欢迎下载精品学习资源R解所以原方程组也有解 ,且解可表示为教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1d1x2d 2c1r xr 1c2 r xr 1c1n xnc2 n xn*欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1）当 R A R Axrdr时,线性方程组无解；crr1 xr 1crn xn欢
24、迎下载精品学习资源A当 R R Arn 时,在* 式中 xr+ 1,xn 作为自由未知量 ,当欢迎下载精品学习资源任意给定一组数xr 1k1 , xr 2k2 , xnkn r 时,由* 可相应得到欢迎下载精品学习资源未知量x1, x2 , xr 地值,从而得到方程组地一个解因此,这时方程欢迎下载精品学习资源组有无穷多解 ,这些解地全体 ,即方程组地通解可表示为欢迎下载精品学习资源x1 = d1c1r +1 k 1c1r + 2 k 2c1n k n r欢迎下载精品学习资源x 2 = d 2c 2r +1 k1c 2r+ 2k 2c2n k n r欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x r
25、 = drc rr+1 k 1c rr + 2 k 2c rn k n r欢迎下载精品学习资源x r +1= k 1欢迎下载精品学习资源x n = k n r欢迎下载精品学习资源其中 k1, k2 , knr 为任意常数欢迎下载精品学习资源定理给出了线性方程组地定性理论,而其证明就供应了求解相欢迎下载精品学习资源容线性方程组地方法即对增广矩阵A施行适当地初等行变换 ,如欢迎下载精品学习资源R AR Ar ,教 学 内 容批注欢迎下载精品学习资源就找出不等于零地r 阶子式 ,并使对应地 r 阶子阵变换为单位阵 ,由此得到地矩阵所对应地线性方程组与原方程组同解,而且能直接写出通解2、求线性方程组地
26、通解第一种求通解地方法 例 1：求解线性方程组欢迎下载精品学习资源x1 2 x1 x1例 2：求解非齐次线性方程组2 x2x2 x22 x32 x3 4x3x4 2 x43x4000Xc125 324 3c21001欢迎下载精品学习资源例 3：设有线性方程组x1 3x1 x1x2x2 5 x23x33 x3 9 x3x414 x448 x40欢迎下载精品学习资源（1） x1x2x30欢迎下载精品学习资源x1 （1 x1x2） x2（1x33） x3欢迎下载精品学习资源问 取何值时 ,此方程 1）有惟一解； 2）无解； 3）有无穷多个解？并在有无限多解时求其通解. P76：例 12 3、矩阵方程地有解判定定理欢迎下载精品学习资源a、矩阵方程 AXB 有解R AR A, B欢迎下载精品学习资源b、矩阵方程Am n Xn l0只有零解R An欢迎下载精品学习资源C、 R ABminR A, RB欢迎下载精品学习资源具体讲一下证明过程）欢迎下载