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1、1 / 8 7.6 直线与圆的位置关系知识梳理直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系. 0，直线和圆相交. =0，直线和圆相切. 0，直线和圆相离. 方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径 R 的大小加以比较. dR，直线和圆相交. d=R，直线和圆相切. dR，直线和圆相离. 2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况. 3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. 点击
2、双基1.（ 2005年北京海淀区期末练习题）设m0，则直线（x+y）+1+m=0 与圆 x2+y2=m的位置关系为A.相切 B. 相交C.相切或相离 D.相交或相切解读：圆心到直线的距离为d=，圆半径为. dr=（m2+1）=（1）2 0，直线与圆的位置关系是相切或相离. 答案： C 2.圆 x2y24x+4y+6=0 截直线 xy 5=0所得的弦长等于A. B. C.1 D.5 解读：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为 2=. 答案： A 3.（ 2004年全国卷，4）圆 x2+y24x=0 在点 P（1，）处的切线方程为A.x+y2=0 B. x+y4=0 C.xy+4=0 D. xy+2
3、=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 / 8 解法一：x2+y24x=0 y=kxk+x24x+（kxk+）2=0. 该二次方程应有两相等实根，即=0，解得 k=. y=（x1），即 xy+2=0. 解法二：点（1，）在圆 x2+y2 4x=0 上，点 P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直. 又圆心为（2，0），k=1. 解得 k=，切线方程为xy+2=0. 答案： D4.（ 2004 年上海，理8）圆心在直线2x y7=0 上的圆C 与 y 轴交于两点A（0，4）、 B（0， 2），则圆 C 的方程为
4、 _. 解读：圆C 与 y 轴交于 A（0， 4）， B（0， 2），由垂径定理得圆心在y= 3这条直线上 . 又已知圆心在直线2xy7=0 上，y=3，2xy7=0. 圆心为（ 2， 3），半径 r=|AC|=. 所求圆 C 的方程为（ x2）2+（y+3）2=5. 答案：（ x2）2+（y+3）2=5 5.若直线 y=x+k与曲线 x=恰有一个公共点，则k 的取值范围是_. 解读：利用数形结合. 答案： 1k1或 k=典例剖析【例 1】 已知圆 x2+y2+x6y+m=0 和直线 x+2y3=0 交于 P、Q 两点，且 OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径. 剖析：由于OPOQ
5、，所以 kOPkOQ=1，问题可解 . 解：将 x=32y 代入方程 x2+y2+x6y+m=0，得 5y220y+12+m=0. 设 P（x1，y1）、 Q（x2，y2），则 y1、y2满足条件y1+y2=4，y1y2=. OPOQ， x1x2+y1y2=0. 联立解得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 / 8 而 x1=32y1，x2=32y2，x1x2=96（ y1+y2）+4y1y2. m=3，此时 0，圆心坐标为（， 3），半径r=. 评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必
6、须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑. 【例 2】 求经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（y+3）2=37 的交点，且圆心在直线xy4=0 上的圆的方程. 剖析：根据已知，可通过解方程组（x+3）2+y2=13，x2+（y+3）2=37 由圆心在直线xy4=0 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）2 37=0，再由圆心在直线xy 4=0 上，定出参数 ，得圆方程 . 解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（y+3）2=37 的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2
7、13+x2+（y+3）237 =0. 展开、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+. 圆心为（，），代入方程xy4=0，得 =7. 故所求圆的方程为（x+）2+（ y+）2= . 评述：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆 C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（ x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（ R 且 1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆 . 特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程. 【例 3】 已知圆C：（ x1）2（
8、 y2）2 25，直线l：（ 2m+1）x+（m+1） y7m4=0（mR）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程 . 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明： l 的方程（ x+y4）+m（2x+y 7）=0. 2x+y7=0，x=3，x+y4=0，y=1，即 l 恒过定点 A（3，1）. 圆心 C（1，2）， AC5（半径），点 A 在圆 C 内，从而直线l 恒与圆 C 相交于两点 . （2）解：弦长最小时，lAC，由 kAC，l 的方程为2xy5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要
9、什么条件呢？得圆上两点，mR，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 / 8 思考讨论求直线过定点，你还有别的办法吗？闯关训练夯实基础1.若圆（ x 3）2（ y+5）2r2上有且只有两个点到直线4x3y=2 的距离等于1，则半径 r 的范围是A.（4， 6） B.4， 6） C.（4，6 D. 4，6解读：数形结合法解. 答案： A 2.（ 2003 年春季北京）已知直线ax+by+c=0（abc0）与圆x2+y2=1 相切，则三条边长分别为 a、 b、 c的三角形A.是锐角三角形 B.是直角三角形C.是钝角三角形
10、 D.不存在解读：由题意得=1，即 c2=a2+b2，由 a、 b、 c构成的三角形为直角三角形. 答案： B 3.（ 2005 年春季北京， 11）若圆 x2+y2+mx=0 与直线 y=1 相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为 _. 解读：圆方程配方得（x+）2+y2=，圆心为（，0）. 由条件知0. 又圆与直线y=1 相切，则 0（ 1）=，即 m2=3， m=. 答案：4.（ 2004 年福建， 13）直线x+2y=0 被曲线x2+y26x2y 15=0 所截得的弦长等于_. 解读：由 x2+y26x2y15=0，得（ x3）2+（y 1）2=25. 知圆心为（ 3，1）， r=
11、5. 由点（ 3，1）到直线x+2y=0 的距离 d=. 可得弦长为 2，弦长为4. 答案： 45.自点 A（ 3，3）发出的光线l 射到 x 轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆 x2y24x4y70 相切，求光线l 所在直线的方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 / 8 解：圆（ x2）2（ y2）21 关于 x轴的对称方程是（x2）2（ y2）21. 设 l 方程为y3k（x3），由于对称圆心（2， 2）到 l 距离为圆的半径1，从而可得 k1，k2故所求 l 的方程是3x4y 30 或 4x3y
12、30. 6.已知 M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r0）内异于圆心的一点，则直线x0 x+y0y=r2与此圆有何种位置关系? 分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小. 解：圆心 O（0，0）到直线x0 x+y0y=r2的距离为d=. P（ x0， y0）在圆内，r ，故直线和圆相离. 培养能力7.方程ax2+ay24（a1）x+4y=0 表示圆，求a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程 . 解：（ 1） a0时，方程为x2+（ y+）2=，由于 a22a+20 恒成立，a0 且 aR 时方程表示圆 . （2）r2=4=42()2+，a=2 时， rmin2=2. 此时圆的方程为（
13、x1）2+（y1）2=2. 8.（文）求经过点A（ 2， 4），且与直线l：x+3y26=0 相切于（ 8，6）的圆的方程. 解：设圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组3DE= 36，2D+4EF=20，8D+6E+F=100. D=11，E=3，F=30. 圆的方程为x2+y211x+3y30=0. （理）已知点P 是圆 x2+y2=4 上一动点，定点Q（4，0）. （1）求线段PQ 中点的轨迹方程；（2）设 POQ 的平分线交PQ 于 R，求 R 点的轨迹方程 . 解：（ 1）设PQ 中点M（ x， y），则P（2x 4，2y），代入圆的方程得（x 2）2+y2=1. （2）
14、设 R（x，y），由=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 / 8 设 P（m，n），则有m=，n=，代入 x2+y2=4 中，得（x）2+y2=（y0） . 探究创新9.已知点 P 到两个定点M（ 1，0）、 N（1，0）距离的比为，点 N 到直线 PM 的距离为 1，求直线PN 的方程 . 解：设点 P 的坐标为（ x，y），由题设有=，即=，整理得 x2+y26x+1=0. 因为点 N 到 PM 的距离为1，|MN|=2，所以 PMN=30，直线PM 的斜率为. 直线 PM 的方程为y=（x+1）. 将代入整
15、理得x24x+1=0. 解得 x1=2+，x2=2. 代入得点P 的坐标为（ 2+，1+）或（ 2， 1+）；（ 2+， 1）或（ 2，1）. 直线 PN 的方程为y=x1或 y=x+1. 思悟小结1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数 . 2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化. 教师下载中心教案点睛1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定. 2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距
16、离等于半径，求切线长一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 / 8 般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形. 3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用. 4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用. 拓展题例【例1】 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1， 2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范
17、围 . 解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C 的坐标为（，1），半径r=，条件是 43a20，过点 A（1， 2）所作圆的切线有两条，则点A 必在圆外，即. 化简得 a2+a+90. 43a20，a2+a+90，a，aR. a. 故 a 的取值范围是（，）. 【例 2】 已知 O 方程为 x2+y2=4，定点 A（4，0），求过点A 且和 O 相切的动圆圆心的轨迹 . 剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程. 解法一：设动圆圆心为P（x，y），因为
18、动圆过定点A，所以 |PA|即动圆半径 . 当动圆 P 与 O 外切时， |PO|=|PA|+2；当动圆 P 与 O 内切时， |PO|=|PA|2. 综合这两种情况，得|PO|PA|=2. 将此关系式坐标化，得|=2. 化简可得（ x2）2=1. 解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系|OP|PA|=2，即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点， 2由解之得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 / 8 为实轴长的双曲线，中心在OA中点（ 2， 0），实半轴长a=1，半焦距c=2，虚半轴长b=，所以轨迹方程为（x2）2=1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页