《2006年高考第一轮复习数学：7.6直线与圆的位置关系.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2006年高考第一轮复习数学：7.6直线与圆的位置关系.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、7.6 直线与圆的位置关系 知识梳理 直线和圆 1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系.0，直线和圆相交.=0，直线和圆相切.0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.dR，直线和圆相交.d=R，直线和圆相切.dR，直线和圆相离.2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.点击双基 1.（2005 年北京海淀区
2、期末练习题）设m0，则直线2（x+y）+1+m=0 与圆x2+y2=m的位置关系为 A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切 解析：圆心到直线的距离为d=21m，圆半径为m.dr=21mm=21（m2m+1）=21（m1）20，直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C 2.圆x2y24x+4y+6=0 截直线xy5=0 所得的弦长等于 A.6 B.225 C.1 D.5 解析：圆心到直线的距离为22，半径为2，弦长为222)22()2(=6.答案：A 3.（2004 年全国卷，4）圆x2+y24x=0 在点P（1，3）处的切线方程为 A.x+3y2=0 B.x+3y4=0 C.x3y
3、+4=0 D.x3y+2=0 解法一：x2+y24x=0 y=kxk+3 x24x+（kxk+3）2=0.该二次方程应有两相等实根，即=0，解得k=33.y3=33（x1），即x3y+2=0.解法二：点（1，3）在圆x2+y24x=0 上，点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.又圆心为（2，0），1230k=1.解得k=33，切线方程为x3y+2=0.答案：D 4.（2004 年上海，理 8）圆心在直线 2xy7=0 上的圆C与y轴交于两点A（0，4）、B（0，2），则圆C的方程为_.解析：圆C与y轴交于A（0，4），B（0，2），由垂径定理得圆心在y=3 这条直线上.又已知圆心在直线
4、2xy7=0 上，y=3，2xy7=0.圆心为（2，3），半径r=|AC|=22)4(32=5.所求圆C的方程为（x2）2+（y+3）2=5.答案：（x2）2+（y+3）2=5 5.若直线y=x+k与曲线x=21y恰有一个公共点，则k的取值范围是_.解析：利用数形结合.答案：1k1 或k=2 联立 解得 x=2，典例剖析【例 1】已知圆x2+y2+x6y+m=0 和直线x+2y3=0 交于P、Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于OPOQ，所以kOPkOQ=1，问题可解.解：将x=32y代入方程x2+y2+x6y+m=0，得 5y220y+12+m=0.设P（x
5、1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件 y1+y2=4，y1y2=512m.OPOQ，x1x2+y1y2=0.而x1=32y1，x2=32y2，x1x2=96（y1+y2）+4y1y2.m=3，此时0，圆心坐标为（21，3），半径r=25.评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.【例 2】求经过两圆（x+3）2+y2=13 和x2+（y+3）2=37 的交点，且圆心在直线xy4=0 上的圆的方程.剖析：根据已知，可通过解方程组（x+3）2+y2=13，x2+（y+3）2=37 由圆心在直线xy4=0
6、 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；得圆上两点，也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0，再由圆心在直线xy4=0 上，定出参数，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13 和x2+（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0.展开、配方、整理，得（x+13）2+（y+13）2=1284+22)1()1(9.圆心为（13，13），代入方程xy4=0，得=7.故所求圆的方程为（x+21）2+（y+27）2=289.评述：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+
7、y2+D2x+E2y+F2=0，若 圆C1、C2相 交，那 么 过 两 圆 公 共 点 的 圆 系 方 程 为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（R 且1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.特别提示 在过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（
8、x+y4）+m（2x+y7）=0.2x+y7=0，x=3，x+y4=0，y=1，即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC55（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由kAC21，l的方程为 2xy5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论 求直线过定点，你还有别的办法吗？闯关训练 夯实基础 1.若圆（x3）2（y+5）2r2上有且只有两个点到直线 4x3y=2 的距离等于 1，则半径r的范围是 A.（4，6）B.4，6）C.（4，6 D.4，6 解析：数形结合法解.答案：A mR，得 2.（2003 年春季北京）
9、已知直线ax+by+c=0（abc0）与圆x2+y2=1 相切，则三条边长分别为a、b、c的三角形 A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 解析：由题意得22|00|bacba=1，即c2=a2+b2，由a、b、c构成的三角形为直角三角形.答案：B 3.（2005 年春季北京，11）若圆x2+y2+mx41=0 与直线y=1 相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为_.解析：圆方程配方得（x+2m）2+y2=412m，圆心为（2m，0）.由条件知2m0.又圆与直线y=1 相切，则 0（1）=412m，即m2=3，m=3.答案：3 4.（2004 年福建，13）直线x+2
10、y=0 被曲线x2+y26x2y15=0 所截得的弦长等于_.解析：由x2+y26x2y15=0，得（x3）2+（y1）2=25.知圆心为（3，1），r=5.由点（3，1）到直线x+2y=0 的距离d=5|23|=5.可得21弦长为 25，弦长为 45.答案：45 5.自点A（3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2y24x4y70 相切，求光线l所在直线的方程.解：圆（x2）2（y2）21 关于x轴的对称方程是（x2）2（y2）21.设l方程为y3k（x3），由于对称圆心（2，2）到l距离为圆的半径 1，从而可得k143，k234故所求l的方程是 3x4y30
11、 或 4x3y30.6.已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r0）内异于圆心的一点，则直线x0 x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心O（0，0）到直线x0 x+y0y=r2的距离为d=20202yxr.P（x0，y0）在圆内，2020yx r，故直线和圆相离.培养能力 7.方程ax2+ay24（a1）x+4y=0 表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.解：（1）a0 时，方程为 xaa)1(22+（y+a2）2=22)22(4aaa，由于a22a+20 恒成立，a0 且aR 时方程表示圆.（2）r2=42222aaa=4
12、2(a121)2+21，a=2 时，rmin2=2.此时圆的方程为（x1）2+（y1）2=2.8.（文）求经过点A（2，4），且与直线l：x+3y26=0相切于（8，6）的圆的方程.解：设圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组 3DE=36，2D+4EF=20，8D+6E+F=100.D=11，E=3，F=30.圆的方程为x2+y211x+3y30=0.（理）已知点P是圆x2+y2=4 上一动点，定点Q（4，0）.（1）求线段PQ中点的轨迹方程；（2）设POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程.解：（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x4，2y），代入圆的方程得（x2）2+y2
13、=1.（2）设R（x，y），由|RQPR=|OQOP=21，设P（m，n），则有 m=243 x，n=23y，代入x2+y2=4 中，得 （x34）2+y2=916（y0）.探究创新 9.已知点P到两个定点M（1，0）、N（1，0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为 1，求直线PN的方程.解：设点P的坐标为（x，y），由题设有|PNPM=2，即22)1(yx=222)1(yx，整理得x2+y26x+1=0.因为点N到PM的距离为 1，|MN|=2，所以PMN=30，直线PM的斜率为33.直线PM的方程为y=33（x+1）.将代入整理得x24x+1=0.解得x1=2+3，x2=23.代入得点P
14、的坐标为（2+3，1+3）或（23，1+3）；（2+3，13）或（23，13）.直线PN的方程为y=x1 或y=x+1.思悟小结 1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.教师下载中心 教学点睛 1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形
15、；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.拓展题例【例 1】已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围.解：将圆的方程配方得（x+2a）2+（y+1）2=4342a，圆心C的坐标为（2a，1），半径r=4342a，条件是 43a20，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即 22)12()
16、21(a4342a.化简得a2+a+90.43a20，a2+a+90，332a332，aR.332a332.故a的取值范围是（332，332）.【例 2】已知O方程为x2+y2=4，定点A（4，0），求过点A且和O相切的动圆圆心的轨迹.剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P（x，y），因为动圆过定点A，所以|PA|即动圆半径.当动圆P与O外切时，|PO|=|PA|+2；当动圆P与O内切时，|PO|=|PA|2.综合这两种情况，得|PO|PA|=2.将此关系式坐标化，得|22yx 22)4(yx|=2.由 解之得 化简可得（x2）232y=1.解法二：由解法一可得动点P满足几何关系|OP|PA|=2，即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值 2，所以P点轨迹是以O、A为焦点，2 为实轴长的双曲线，中心在OA中点（2，0），实半轴长a=1，半焦距c=2，虚半轴长b=22ac=3，所以轨迹方程为（x2）232y=1.