《2022年高考第一轮复习数学直线与圆的位置关系 2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考第一轮复习数学直线与圆的位置关系 2.docx（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_7.6直线与圆的位置关系学问梳理直线和圆1. 直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式 来争论位置关系 . 0,直线和圆相交 . =0,直线和圆相切 . 0,直线和圆相离 .方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d 和半径 R 的大小加以比较 . dR,直线和圆相交 . d=R,直线和圆相切 . dR,直线和圆相离 .2. 直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情形,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
2、料_3. 直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.点击双基1.（ 2022 年北京海淀区期末练习题）设m0,就直线2 （ x+y） +1+m=0 与圆的位置关系为A. 相切B. 相交C.相切或相离 D. 相交或相切22x +y =m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解读：圆心到直线的距离为d= 1m ,圆半径为m .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ d r = 1m m =21 （m 2m +1） =21 （ m 1） 2 0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线与圆的位置关系是相切或相离.答案： C2.圆 x2 y2 4x+4y+
3、6=0 截直线 x y 5=0 所得的弦长等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.6 B. 5 22C.1D.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解读：圆心到直线的距离为答案： A2 ,半径为2 ,弦长为 222 22 22=6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.（ 2022 年全国卷, 4）圆 x2+y2 4x=0 在点 P（ 1, 3 ）处的切线方程为A. x+3 y 2=0B. x+3 y 4=0C.x 3 y+4=0D. x 3 y+2=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解
4、法一：x2+y2 4x=0 y=kx k+3x2 4x+（ kx k+3 ）2 =0.该二次方程应有两相等实根,即=0,解得 k=3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y 3 =3 （ x 1）,即 x 3 y+2=0.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：点（ 1, 3 ）在圆 x2+y2 4x=0 上,点 P 为切点,从而圆心与P 的连线应与切线垂直 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又圆心为（ 2, 0）, 023 k=1.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 k=答案： D3 ,切线方程为 x 3 y+2=0.3
5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.（ 2022 年上海,理 8）圆心在直线 2x y 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A（0,4） 、 B（0, 2）,就圆 C 的方程为.解读：圆 C 与 y 轴交于 A（ 0, 4）, B（ 0, 2）,由垂径定理得圆心在y= 3 这条直线上 .又已知圆心在直线2x y7=0 上,y=3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_联立解得2x y7=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心为（ 2, 3）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_半径 r =|AC |=2 234 2=5 .可编辑资料
6、- - - 欢迎下载精品_精品资料_所求圆 C 的方程为（ x2） 2+（ y+3 ）2=5.答案：（ x 2） 2+（ y+3） 2=5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.如直线 y=x+k 与曲线 x=解读：利用数形结合 .21y恰有一个公共点,就k 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 1 k 1 或 k= 2典例剖析【例 1】 已知圆 x2+y2+x6y+m=0 和直线 x+2y 3=0 交于 P、Q 两点,且 OP OQ（O为坐标原点）,求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于 OP OQ,所以 kOP kOQ= 1,问题可解 .解：将 x=
7、3 2y 代入方程 x2+y2+x 6y+m=0,得 5y2 20y+12+m=0.设 P（ x1, y1）、 Q（ x2, y2）,就 y1、y2 满意条件y1+y2=4, y1y2= 12m .5 OP OQ, x1x2+y1 y2=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 x1=3 2y1,x2 =3 2y2, x1x2=9 6（ y1+y2） +4y1y2. m=3,此时 0,圆心坐标为（1 , 3）,半径 r = 5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22评述：在解答中,我们采纳了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,但必需留意这样的交点是否存在,这可
8、由判别式大于零帮忙考虑.【例 2】 求经过两圆（ x+3） 2+y2=13 和 x2+（ y+3） 2=37 的交点,且圆心在直线x y4=0 上的圆的方程 .剖析：依据已知,可通过解方程组（x+3） 2+y2=13 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x +（ y+3）=37得圆上两点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由圆心在直线 xy 4=0 上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程.也可依据已知,设所求圆的方程为（x+3） 2 +y2 13+ x2+（ y+3） 2 37 =0,再由圆心在直线 x y 4=0 上,定出参数 ,得圆方程 .解：由于所求的
9、圆经过两圆（x+3） 2+y2=13 和 x2+（y+3） 2=37 的交点,所以设所求圆的方程为（x+3） 2+y2 13+ x2+（ y+3 ） 2 37 =0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3232428912 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_绽开、配方、整理,得（x+1） +（y+） =11+ 1 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆心为（3,13）,代入方程 x y4=0 ,得 = 7.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求圆的方程为（ x+1 ） 2+（ y+27
10、） 2=289 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评述：圆 C1： x2+y2+D 1x+E1y+F1=0,圆 C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0,如圆 C1、C2 相交, 那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D 1x+E1y+F1 ） + （ x2+y2+D2x+E2y+F2） =0 （ R 且 1） .它表示除圆 C2 以外的全部经过两圆C1、C2 公共点的圆 .特殊提示在过两圆公共点的图象方程中,如= 1,可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】 已知圆 C：（ x1） 2（ y 2） 2 25,直线 l：（ 2m+1） x+（ m+1） y7m4=0
11、（ m R） .（ 1）证明：不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点.（ 2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程 .剖析：直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.（ 1）证明： l 的方程（ x+y 4） +m（ 2x+y 7） =0.2x+y 7=0 , x=3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ m R,x+y4=0 ,得y=1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 l 恒过定点 A（ 3,1） .圆心 C（ 1,2）, AC5 5（半径）,点 A 在圆 C 内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点 .（ 2）解：弦长最小时, l AC,由 kAC
12、1 ,2 l 的方程为 2x y 5=0.评述：如定点A 在圆外,要使直线与圆相交就需要什么条件了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_摸索争论求直线过定点,你仍有别的方法吗？闯关训练夯实基础1. 如圆（ x 3） 2（ y+5 ） 2 r 2 上有且只有两个点到直线4x 3y=2 的距离等于 1,就半径 r 的范畴是A. （4, 6） B.4, 6） C.（ 4,6 D. 4, 6 解读：数形结合法解 .答案： A2.（ 2022 年春季北京）已知直线ax+by+c=0（ abc0）与圆 x2+y2=1 相切,就三条边长分别为 a、 b、 c的三角形A. 是锐角三角形B. 是直角
13、三角形C.是钝角三角形D. 不存在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解读：由题意得|a 0b 0a 2b2c | =1,即 c2 =a2+b2,由 a、 b、 c构成的三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角形为直角三角形 .答案： B3.（ 2022 年春季北京, 11）如圆 x2+y2+mx 的左侧,就 m 的值为.1 =0 与直线 y= 1 相切,且其圆心在y 轴4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m22m21m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解读：圆方程配方得（x+2） +y =,圆
14、心为（4,0） .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由条件知m 0.2m 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又圆与直线 y=1 相切,就 0（ 1） =,即 m4=3, m=3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：34.（ 2022 年福建, 13）直线x+2y=0 被曲线 x2+y2 6x 2y 15=0 所截得的弦长等于 .解读：由 x2+y2 6x 2y15=0 ,得（ x 3） 2+（ y 1） 2=25.知圆心为（ 3, 1）, r=5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由点（ 3, 1）到直线 x+2y=0 的距
15、离 d= |32 | =5 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 1 弦长为 25 ,弦长为 45 .2答案： 455. 自点 A（ 3,3）发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 x2 y2 4x 4y 7 0 相切,求光线 l 所在直线的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：圆（ x 2） 2（ y 2） 2 1 关于 x 轴的对称方程是（x 2） 2（ y 2） 2 1.设 l 方程为 y 3 k（ x3）,由于对称圆心（ 2, 2）到 l 距离为圆的半径1,从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得
16、 k13 , k244 故所求 l 的方程是 3x 4y 3 0 或 4x 3y 30.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知 M（ x0, y0）是圆 x2+y2=r 2（ r 0）内异于圆心的一点,就直线x0x+y0y=r 2 与此圆有何种位置关系 .分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：圆心 O（0, 0）到直线 x0x+y0y=r2的距离为 d=r.xy22200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 P（ x0, y0）在圆内,x2就有 dr ,故
17、直线和圆相离.培育才能2y0 r .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 方程 ax2+ay2 4（a 1） x+4y=0 表示圆,求 a 的取值范畴,并求出其中半径最小的圆的方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a12224 a22a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1） a0 时,方程为 x由于 a22a+2 0 恒成立, a0 且 a R 时方程表示圆 . +（ y+） =2,aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a 22a211 21可编辑资料 - - - 欢迎
18、下载精品_精品资料_（ 2） r=4 a 2=42a +,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a=2 时, rmin 2=2.此时圆的方程为（x 1） 2+（ y 1） 2=2.8.（文）求经过点A（ 2, 4）,且与直线 l： x+3y 26=0 相切于（ 8, 6）的圆的方程.解：设圆为 x2+y2+Dx +Ey+F=0,依题意有方程组3D E= 36,2D+4EF=20 ,8D+6E+F= 100.D= 11, E=3, F= 30.圆的方程为 x2+y2 11x+3y30=0.（理）已知点P 是圆 x2+y2=4 上一动点,定点 Q（ 4, 0） .（ 1）求线段 P
19、Q 中点的轨迹方程.（ 2）设 POQ 的平分线交 PQ 于 R,求 R 点的轨迹方程 .解：（ 1）设 PQ 中点 M（ x, y）,就P （ 2x 4, 2y）,代入圆的方程得（x 2）2+y2=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）设 R（ x, y）,由| PR | =| RQ |OP | = 1 ,| OQ |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 P（ m,n）,就有m= 3x4 ,2n= 3y ,2代入 x2+y2=4 中,得（ x 4 ） 2+y2= 16 （ y 0） .39探究创新9.已知点 P 到两个定点M（ 1, 0）、 N（ 1,
20、0）距离的比为2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1,求直线 PN 的方程 .解：设点 P 的坐标为（ x,y）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题设有| PM |=2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| PN |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 x1 2y2 =2 x1 2y 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得 x2+y26x+1=0.由于点 N 到 PM 的距离为 1, |MN |=2,所以 PMN =30,直线 PM 的斜率为3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 PM 的方程为 y=
21、3 （ x+1） .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将代入整理得x2 4x+1=0.解得 x1=2+3 , x2=2 3 .代入得点P 的坐标为（ 2+3 , 1+3 ）或（ 2 3 , 1+3 ）.（ 2+3 , 13 ）或（ 2 3 ,1 3 ）.直线 PN 的方程为 y=x 1 或 y= x+1.思悟小结1. 直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法, 比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小.代数法,看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数 .2. 解决直线与圆的位置关系的有关问题,往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.老师下载中心教
22、案点睛1. 有关直线和圆的位置关系,一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2. 当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径,求切线长一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形.与圆相交时,弦长的运算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3. 有关圆的问题,留意圆心、半径及平面几何学问的应用.4. 在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时,常常要用到距离,因此,两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应娴熟把握,敏捷运用.拓展题例【例 1 】 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,肯定点为A（
23、1, 2）,要使过定点A（1, 2）作圆的切线有两条,求a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：将圆的方程配方得（x+a ） 2242+（ y+1） =3a 24,圆心C 的坐标为（a ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1）,半径 r=43a 2,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_条件是 4 3a2 0,过点 A（ 1, 2）所作圆的切线有两条,就点A 必在圆外,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a 2221 2 43a 2.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
24、精品资料_化简得 a2+a+9 0.43a2 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a2+a+9 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 3 a 23 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解之得33a R.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 233 a 2 3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 a 的取值范畴是（23 , 23 ） .33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】 已知 O 方程为 x22+y =4,定点 A（ 4, 0）,求过点 A 且和 O 相切的动圆圆心的轨迹 .剖析：两
25、圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满意的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程 .解法一：设动圆圆心为 P（ x, y）,由于动圆过定点 A,所以 |PA|即动圆半径 .当动圆 P 与 O 外切时, |PO |=|PA|+2. 当动圆 P 与 O 内切时, |PO |=|PA|2. 综合这两种情形,得 |PO| |PA|=2.将此关系式坐标化,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22|xy x224yy2|=2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化简可得（ x 2） 2=1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二：由解法一可得动点P 满意几何关系|OP| |PA|=2,即 P 点到两定点 O、A 的距离差的肯定值为定值2,所以 P 点轨迹是以 O、 A 为焦点, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为实轴长的双曲线,中心在OA 中点（ 2, 0）,实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长c 2a 2 =23 ,所以轨迹方程为（ x 2） y 2b=1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载