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1、精品学习资源本文为自本人保藏版权全部 仅供参考7.6直线与圆的位置关系学问梳理直线和圆1. 直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式 来争辩位置关系 . 0，直线和圆相交 . =0，直线和圆相切 . 0，直线和圆相离 .方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径 R 的大小加以比较 . dR，直线和圆相交 . d=R，直线和圆相切 . dR，直线和圆相离 .2. 直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情形，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3. 直线和圆
2、相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.点击双基1.（ 2005 年北京海淀区期末练习题）设m0，就直线（ x+y） +1+m=0 与圆 x2+y2=m的位置关系为A. 相切B. 相交C.相切或相离D. 相交或相切解读：圆心到直线的距离为d=，圆半径为. d r =（m 2+1） =（ 1） 2 0，直线与圆的位置关系是相切或相离.答案： C2.圆 x2 y2 4x+4y+6=0 截直线 x y 5=0 所得的弦长等于A.B.C.1D.5解读：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为 2=.答案： A3.（ 2004 年全国卷， 4）圆 x2+y2 4x=0 在点 P（ 1，）处的切线方程为A.
3、 x+y 2=0B. x+y4=0C.xy+4=0D. xy+2=0欢迎下载精品学习资源解法一：x2+y2 4x=0 y=kx k+x2 4x+（ kx k+）2 =0.该二次方程应有两相等实根，即=0，解得 k=. y=（ x 1），即 xy+2=0.解法二：点（ 1，）在圆 x2+y2 4x=0 上，点 P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直 .又圆心为（ 2， 0）， k=1.解得 k=，切线方程为 xy+2=0.答案： D4.（ 2004 年上海，理 8）圆心在直线 2x y 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A（0，4）、 B（0， 2），就圆 C 的方程为.解读：圆 C
4、 与 y 轴交于 A（ 0， 4）， B（ 0， 2），由垂径定理得圆心在y= 3 这条直线上 .又已知圆心在直线2x y7=0 上，y= 3，欢迎下载精品学习资源联立解得2x y7=0.欢迎下载精品学习资源圆心为（ 2， 3），半径 r =|AC |=.所求圆 C 的方程为（ x2） 2+（ y+3 ）2=5.答案：（ x 2） 2+（ y+3） 2=55.如直线 y=x+k 与曲线 x=恰有一个公共点，就k 的取值范畴是.解读：利用数形结合 .答案： 1 k 1 或 k=典例剖析【例 1】 已知圆 x2+y2+x6y+m=0 和直线 x+2y 3=0 交于 P、Q 两点，且 OP OQ（O
5、为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于 OP OQ，所以 kOP kOQ= 1，问题可解 .解：将 x=3 2y 代入方程 x2+y2+x 6y+m=0，得 5y2 20y+12+m=0.设 P（ x1， y1）、 Q（ x2， y2），就 y1、y2 中意条件y1+y2=4， y1y2=. OP OQ， x1x2+y1 y2=0.欢迎下载精品学习资源而 x1=3 2y1，x2 =3 2y2， x1x2=9 6（ y1+y2） +4y1y2. m=3，此时 0，圆心坐标为（， 3），半径 r =.评述：在解答中，我们接受了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必需留意这样的交点是
6、否存在，这可由判别式大于零帮忙考虑.【例 2】 求经过两圆（ x+3） 2+y2=13 和 x2+（ y+3） 2=37 的交点，且圆心在直线x y4=0 上的圆的方程 .剖析：依据已知，可通过解方程组（ x+3） 2+y2=13，欢迎下载精品学习资源22x +（ y+3）=37得圆上两点，欢迎下载精品学习资源由圆心在直线 xy 4=0 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可依据已知，设所求圆的方程为（x+3） 2 +y2 13+ x2+（ y+3） 2 37 =0，再由圆心在直线 x y 4=0 上，定出参数 ，得圆方程 .解：由于所求的圆经过两圆（x+3） 2+y2=13 和 x
7、2+（y+3） 2=37 的交点，所以设所求圆的方程为（x+3） 2+y2 13+ x2+（ y+3 ） 2 37 =0.开放、配方、整理，得（x+）2 +（y+） 2=+.圆心为（，），代入方程 x y4=0 ，得 = 7.故所求圆的方程为（ x+） 2+（ y+） 2=.评述：圆 C1： x2+y2+D 1x+E1y+F1=0，圆 C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0，如圆 C1、C2 相交， 那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D 1x+E1y+F1 ） + （ x2+y2+D2x+E2y+F2） =0 （ R 且 1） .它表示除圆 C2 以外的全部经过两圆C1、C2 公
8、共点的圆 .特别提示在过两圆公共点的图象方程中，如= 1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】 已知圆 C：（ x1） 2（ y 2） 2 25，直线 l：（ 2m+1） x+（ m+1） y7m4=0 （ m R） .（ 1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（ 2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程 .剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（ 1）证明： l 的方程（ x+y 4） +m（ 2x+y 7） =0. m 2x+y 7=0，x=3，欢迎下载精品学习资源R，x+y4=0 ，得y=1，欢迎下载精品学习资源即 l 恒过定点 A（ 3，1） .圆心
9、C（ 1，2）， AC5（半径），点 A 在圆 C 内，从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点 .（ 2）解：弦长最小时， l AC，由 kAC， l 的方程为 2x y 5=0.评述：如定点A 在圆外，要使直线与圆相交就需要什么条件呢？欢迎下载精品学习资源摸索争辩求直线过定点，你仍有别的方法吗？闯关训练夯实基础1.如圆（ x 3） 2（ y+5 ） 2 r 2 上有且只有两个点到直线4x 3y=2 的距离等于 1，就半径 r 的范畴是A. （4， 6）B. 4， 6）C. （ 4， 6D. 4， 6 解读：数形结合法解 .答案： A2.（ 2003 年春季北京）已知直线ax+by+c=0（ a
10、bc0）与圆 x2+y2=1 相切，就三条边长分别为 a、 b、 c的三角形A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C.是钝角三角形D. 不存在解读：由题意得=1，即 c2 =a2+b2，由 a、 b、 c构成的三角形为直角三角形 .答案： B3.（ 2005 年春季北京， 11）如圆 x2+y2+mx=0 与直线 y= 1 相切，且其圆心在y 轴的左侧，就 m 的值为.解读：圆方程配方得（x+） 2+y2=，圆心为（，0） .由条件知0.又圆与直线 y=1 相切，就 0（ 1） =，即 m2=3， m=.答案：4.（ 2004 年福建， 13）直线x+2y=0 被曲线 x2+y2 6x 2y 1
11、5=0 所截得的弦长等于 .解读：由 x2+y2 6x 2y15=0 ，得（ x 3） 2+（ y 1） 2=25.知圆心为（ 3， 1）， r=5.由点（ 3， 1）到直线 x+2y=0 的距离 d=.可得弦长为 2，弦长为 4.答案： 45. 自点 A（ 3，3）发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆 x2 y2 4x 4y 7 0 相切，求光线 l 所在直线的方程.欢迎下载精品学习资源解：圆（ x 2） 2（ y 2） 2 1 关于 x 轴的对称方程是（x 2） 2（ y 2） 2 1.设 l 方程为 y 3 k（ x3），由于对称圆心（ 2， 2）到
12、l 距离为圆的半径1，从而可得 k1， k2故所求 l 的方程是 3x 4y 3 0 或 4x 3y 30.6. 已知 M（ x0， y0）是圆 x2+y2=r 2（ r 0）内异于圆心的一点，就直线x0x+y0y=r 2 与此圆有何种位置关系 .分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心 O（0， 0）到直线 x0x+y0y=r2 的距离为 d=. P（ x0， y0）在圆内，r ，故直线和圆相离.培养才能7. 方程 ax2+ay2 4（a 1） x+4y=0 表示圆，求 a 的取值范畴，并求出其中半径最小的圆的方程 .解：（ 1） a0 时，方程为 x 2+（ y+） 2=， 由于
13、 a22a+2 0 恒成立， a0 且 a R 时方程表示圆 .（ 2） r 2=4 =422+， a=2 时， rmin 2=2.此时圆的方程为（x 1） 2+（ y 1） 2=2.8.（文）求经过点A（ 2， 4），且与直线 l： x+3y 26=0 相切于（ 8， 6）的圆的方程.解：设圆为 x2+y2+Dx +Ey+F=0，依题意有方程组3D E= 36，2D+4EF=20 ，8D+6E+F= 100.D= 11， E=3， F= 30.圆的方程为 x2+y2 11x+3y30=0.（理）已知点P 是圆 x2+y2=4 上一动点，定点 Q（ 4， 0） .（ 1）求线段 PQ 中点的轨
14、迹方程；（ 2）设 POQ 的平分线交 PQ 于 R，求 R 点的轨迹方程 .解：（ 1）设 PQ 中点 M（ x， y），就P （ 2x 4， 2y），代入圆的方程得（x 2）2+y2=1.（ 2）设 R（ x， y），由=，欢迎下载精品学习资源设 P（ m，n），就有m=，n=，代入 x2+y2=4 中，得（ x） 2+y2=（ y 0） .探究创新9.已知点 P 到两个定点M（ 1， 0）、 N（ 1， 0）距离的比为，点 N 到直线 PM 的距离为 1，求直线 PN 的方程 .解：设点 P 的坐标为（ x，y）， 由题设有=，即=，整理得 x2+y26x+1=0.由于点 N 到 PM
15、的距离为 1， |MN |=2，所以 PMN =30，直线 PM 的斜率为.直线 PM 的方程为 y=（ x+1） .将代入整理得x2 4x+1=0.解得 x1=2+， x2=2.代入得点P 的坐标为（ 2+， 1+）或（ 2， 1+）；（ 2+， 1）或（ 2，1）.直线 PN 的方程为 y=x 1 或 y= x+1.思悟小结1. 直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法， 比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数 .2. 解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.老师下载中心教
16、案点睛1. 有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2. 当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一欢迎下载精品学习资源般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的运算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3. 有关圆的问题，留意圆心、半径及平面几何学问的应用.4. 在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应娴熟把握，灵敏运用.拓展题例【例 1 】 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，确定点为A（ 1， 2），要使过定点A（1
17、， 2）作圆的切线有两条，求a 的取值范畴 .解：将圆的方程配方得（x+） 2+（ y+1） 2=，圆心C 的坐标为（，1），半径 r=，条件是 4 3a2 0，过点 A（ 1， 2）所作圆的切线有两条，就点A 必在圆外，即.化简得 a2+a+9 0.4 3a20，欢迎下载精品学习资源由 a2+a+9 0，欢迎下载精品学习资源 a， 解之得a R. a.故 a 的取值范畴是（，） .【例 2】 已知 O 方程为 x22+y =4，定点 A（ 4， 0），求过点 A 且和 O 相切的动圆圆心的轨迹 .剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心
18、在运动中所应中意的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程 .解法一：设动圆圆心为 P（ x， y），由于动圆过定点 A，所以 |PA|即动圆半径 .当动圆 P 与 O 外切时， |PO |=|PA|+2； 当动圆 P 与 O 内切时， |PO |=|PA|2. 综合这两种情形，得 |PO| |PA|=2.将此关系式坐标化，得|=2.化简可得（ x 2） 2 =1.解法二：由解法一可得动点 P 中意几何关系|OP| |PA|=2，即 P 点到两定点 O、A 的距离差的确定值为定值2，所以 P 点轨迹是以 O、 A 为焦点， 2欢迎下载精品学习资源为实轴长的双曲线，中心在OA 中点（ 2， 0），实半轴长a=1，半焦距c=2，虚半轴长=，所以轨迹方程为（ x 2） 2b=1.欢迎下载