2022年平面几何练习题教师版 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载平面几何练习题（高一）教师版1P 是ABC 内一点，且满足 2360PAPBPC，试确定 PAB，PBC，PCA 的面积之比答：6? 2? 3解： 如图 ，分 别在P A、 PB、 PC 的 延 长 线上 取点A1， B1， C1， 使1112,3,6PAPAPBPBPCPC，则1110PAPBPCP 为A1B1C1的重心，1 11111PABPBCPC ASSS1 123PA BPABSS，1 13 6PB CPBCSS，1 162PC APCASS， SPAB? SPBC? SPCA= 6? 2? 32在长方形 ABCD 中，E 为 AB 上一点， AB=14，CE=1

2、3，DE=15CFDE 于F，连接 AF，BF求 ABF 的面积答：36.96解：先求 BE设 BE=x，则 AE=14- x，在直角 ADE 与直角 BCE 中应用勾股定理，得DE2- AE2=AD2=BC2=CE2- BE2，即得方程152- (14- x)2=132- x2，所以 x =5再应用勾股定理，得 AD=BC=132- x2=12 SABCD =12 14=168， 所以 SCDE =84设 DF=y，则 EF=15- y，在直角 CDF 与直角 CEF 中应用勾股定理，得CD2- DF2=CF2=CE2- EF2，即得方程 142- x2=132- (15- x)2，所以 x

3、 =8.4因此， SCDF =848.415=288.45= 47.04又由于 SCDF +SABF=12SABCD = 84，所以SABF=84- SCDF= 84- 47.04 = 36.963 如图， D 为ABC 内一点，使得 BAD=BCD， 且BDC=90 已知 AB=5，BC=6，M 为 AC 的中点，求 DM答：112解：延长 CD 到 E，使得 DE=DC，连 接BE ， 则 BDE BDC ， 所 以BE=BC=6， BED=BCD=BAD， 所以 A、D、 B、 E 四点共圆，因此EAB=EDB=90 所以226511AE，112DMA E C M D B 精选学习资料

4、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载4 在ABC中， ABC=100 ， ACB=65 ， 在 AB 边上取点 M， 使得MCB=55 ，在 AC 边上取点 N，使得NBC=80 试确定NMC 的度数答：25 解：易知BAC=15 ，作MCB 的外接圆，与 BN 的延长线交于点 M1，则在这个圆中弦CM1与 CM 对的圆周角互补，所以CM1=CM又 M1CM = M1BM =100- 80 =20 ，ACM=65- 55 =10 ，所以M1CN =10 ；又 CN=CN，所以 M1CN MCN因此，NMC=NM1

5、C=CMB=BAC+ACM=15 +10 =25 5P 为正方形 ABCD 内一点， PA=1 厘米， PB=2 厘米， PC=3 厘米则PBC 的面积（单位：平方厘米）为（A）222 （B）22 （C）222 （D）22答：A解：将 APB 绕点 B 顺时针旋转 90o ，得CQB，显然CQBAPB，连接 PQ，因为 PBQ=90o，PB=QB=2，所以 PQB=QPB=45o，PQ=22在 PQC中 ， PC=3 ， CQ=1 ， PQ=22， 由 于32=12+( 22)2，所以 PC2=CQ2+PQ2，所以 PQC=90o ，这样，四边形 PBQC 的面积11222212222PBQP

6、QCSS又PQB=45o，BQC = 45o +90o =135o ，作 CHBQ 的延长线于 H，则CQH=45o ，因此22CH，112222222BQCSBQCH所以PBCPBQCBQCSSS22222226如图，两同心圆的半径分别为6 和 10，矩形 ABCD的边 AB、CD 分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，试确定它的周长答：128 3417解：设这两个圆的圆心是点O，则 OAD 的面积是矩形 ABCD 面积的14，所以 OAD 的面积最大时，矩形ABCD 面积取得最大值而 OA、OD 是定值， OA=6，OD=10，所以 OA 与 OD 垂直时， OAD 的面积最大，此时，矩形

7、ABCD 的周长为128 3417C D A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载7如图所示，线段OA = OB = OC =1， AOB = 60o，BOC = 30o，以 OA，OB，OC为直径画3 个圆，两两的交点为M，N，P，则阴影部分的曲边三角形的面积是解 ： 如 图 ， 连 接AC ， AN ， BN ， AM ， BM ，MP，NP，OM，ON，OP，易知 OPA=OPC =90o，ANO =BNO = 90o，BMO = CNO = 90o，所以 A，P， C 共线； A， N，

8、 B 共线； B， M， C 共线 由 OA=OB=OC=1，可知 P，M，N 分别是 AC，BC，AB 的中点， MPNB 为平行四边形， BN=MP，BM=NP，所以BN与MP长度相等，BM与NP长度相等，因此，曲边三角形MPN 的面积 = SMPNB =12SABC，而SABC = SAOCB SAOC = SAOB + SBOC SAOC=311314424，所以，曲边三角形MPN 的面积 =12SABC =3188如图，过 O 外一点 M 引圆的切线切圆于点B，连接MO 交圆于点 A，已知 MA= 4 厘米，MB=4 3厘米 N 为AB的中点曲边三角形 (阴影部分 )的面积等于平方厘

9、米答：4(6)3. 解根据条件 , 延长 MO 交圆于 C，设圆的半径为 r，MC = 4+2r由切割线定理得MB2= MA MC，即 48= 4( 4+2r)解得 r= 4 cm，OC=OA=AM= 4cm 连接 OB，在直角 OBM 中，4 33sin82MBMOBOM所以 MOB=60 ，因此AB为 60 ，而 N 为AB的中点，30AN，连接 ON，则MON=30，所以111sin 30848222MONSOMON(cm2). 而扇形 AON 的面积230443603(cm2), 所以阴影图形的面积42444(6)8333(cm2)A N B M O A N B M O C 精选学习资

10、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载9. 如右图 , AB 与O 切于点 A. 连接 B 与O 内一点 D 的线段交圆于点 C.并且 AB=6， DC=CB =3，OD=2，则 O 的半径等于. 解: 延长 BD 交圆于 E，延长 OD交圆于 F，G（如左图） .FG 是O的直径 . 设O 的半径为 r，由切割线定理，有2,B CB EB A即23(6)636.DE所以 DE=6. 由相交弦定理可得,DE DCDFDG即63(2)(2),rr所以2184.r解得22r. 10如右图，在半径为1 的圆 O中内接

11、有锐角三角形ABC，H 是ABC 的垂心，角平分线 AL 垂直于 OH，则 BC = 解：易知，圆心 O 及垂心 H 都在锐角三角形ABC 的内部，延长 AO 交圆于 N，连接 AH 并延长至 H1与 BC 相交， 连接 CN， 在 RtCAN 和 RtAH1B 中， ANC=ABC，于是有 CAN=BAH1，再由 AL 是ABC的角平分线， 得1=2由条件 APOH，得 AH=AO= 1连接 BO 交圆于 M，连接 AM、CM、CH，可知 AMCH 为平行四边形，所以CM=AH=AO =1，BM=2，因为 MBC 是直角三角形，由勾股定理得22213.BC11分别以锐角三角形ABC 的边 A

12、B，BC，CA 为直径画圆，如图所示已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为w 平方厘米，在三角形内的阴影曲边三角形面积为 u 平方厘米，试确定三角形ABC 的面积解：由于三角形ABC 是锐角三角形，因此以三边为直径的圆，两两的交点是三角形高线的垂足，分别落在三角形的边上，图中13 个区域如图分别用字母表示： x, y, z 为形外的 3 个阴影曲边三角形面积， 则 w=x+y+z，u 为形内的阴影曲边三角形面积，a, b, c, d, e, f 是 6 个弓形，p, q, r 是三角形内阴影曲边三角形 之 外 部 分 可 以 看 出 ， x+(a+b)=u+p+q+(c+f) ，y+(c+d)=

13、u+q+r+(e+b)，z+(e+f)=u+r+p+(a+d)，这三式的等号左右分别相加，得x+ y+ z =2(u+p+q+r)+u，即 w=2SA B C O H L M P N H1 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载ABC+u，所以 SABC =12(w- u)平方厘米12.如图, 四个阴影三角形的面积都等于1 （1）求证 : 212212212,CBC BACACBAB A；（2）求证 : 122122122AB B CBC C ACA A BSSS；（3） 求ABCS的值. 解

14、答： （1）设11ABB C，连接 AB2， 则12.AB BS连接 B1C2，CA2，则 B1C2/CA2，所以21221.ACABC AB C2222122222,2 .AB CAB CAB B CA B CSSSS由2121,AB CAB CSS所以122.C BB C同理，设12212211,2,.BC C ABCSACC AC A同法可得设12212211,2 ,.CA A BCASBAA BA B同法可得因此，得212212212,.CBC BACACBAB A（2） 由上所证，122.C BB C易知122.BC BBB CSS也就是12212211,BC C ACA A BSS

15、所以122122BC C ACA A BSS.同理由 BA2=B1A2可证得122122.AB B CBC C ASS因此122122122.AB B CBC C ACA A BSSS（3）由122122122.AB B CBC C ACA A BSSS即111111222 ,.ABBCCAB CC AA B这样由2222212121,10.1AA BCA BAB BCB BSSSS解得512（负根舍去！）. 所以12212212251.AB B CBC C ACA A BSSS因此43( 51)73 5.ABCS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

16、- - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载13. 如图，在菱形 ABCD 中， ABC=120 ，BC=63，P 是 BC 延长线上向远离点 C 方向运动的一个动点，AP交 CD 于点 E， 联结 BE并延长交 DP 于点 Q 如果动点 P 在初始位置时 QBP=15 ，在终止位置时QBP=35 ，试确定 P 运动时点 Q 走过的曲线段的长度答：43解连接 BD，作ABD 的外接圆交AP于 F，连接 BF, DF, FC 和 CQ，易知DFB=DFP=BFP=120 ， BFE=ECP=120 ，所以 B, F, E, C 四点共圆，所以1=2，由于 DFP=DCP=120 ，所以D

17、, F, C, P 四点共圆，所以 2=3，因此 1=3，所以 B, C, Q, D 四点共圆 即点 Q 在BCD 的外接圆上易知，当 P 在 BC 延长线上由 C 向外运动时， Q 在BCD 的外接圆的CD上从点 C 起沿逆时针方向运动BCD 是边长为6 3的正三角形，它的外接圆半径为326 3623，所以外接圆周长为2 6=12 由于 Q 在 BCD 的外接圆上运动的圆周角等于35- 15 =20 ，所以 Q 在BCD 的外接圆上运动的弧为40 ，是整个圆周的19，所以，动点 P 运动时 Q 走过的这段曲线12QQ 的长度为12493B A D C P Q E 精选学习资料 - - - -

18、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载.O N C D A B K M 14.如图所示，在平行四边形ABCD 中， BAD 的平分线交 BC 于点 M，交 DC的延长线于点 N，CMN 的外心为 O，CMN 的外接圆与 CBD 的外接圆的另一交点为 K证明：( 1) 点 O 在CBD 的外接圆上；( 2) AKC =90 证明( 1) 由于平行四边形ABCD 中， BAD 的平分线交 BC 于点 M，交DC 的延长线于点N，所以 BMA=MAD=BAM，因此BA=BM，同理可得MC=CN连接 OC，则 OC 平分 NCM连接 O

19、B，OM ，OD，设 BAD = ，则OCD =BCD +OCM = +12(180- ) = 90+2BMO =180- OMC =180- OCM=90 +2，所以 BMO =OCD因此，OBMODC，所以 OBC=ODC于是 B，O，C，D 四点共圆，也就是点O 在CBD 的外接圆上（ 8 分）( 2) 由( 1) 知 BO=OD，又 KO=OC，因为 B，K，O，C 和D 都在同一个圆上，则K，C 关于 BD 的中垂线对称， BK=CD=AB ，又 KBD =CDB=ABD， 所以点 K 与点 A 是关于 BD 的对称点，即 AKBD， 而 KC/BD，所以 AKKC，即 AKC=90

20、 15.D 是正 ABC 的边 BC 上一点，设 ABD 与ACD 的内心分别为 I1，I2，外心分别为 O1，O2，求证： (I1O1)2+(I2O2)2=(I1I2)2证明 ：作 以 A 为 中 心、 逆时 针 旋 转60的 变换(,60 )R A，使 ABD 到 ACD1，由于 ADC+AD1C=ADC+ADB=180o ，所以 A、D、C、D1共圆，因此2O是 AD1C的 外 心 ， 也 就 是(, 6 0)12R AOO， 因 此AO1=DO1=AO2=DO2=O1O2，所以 O1AO2=O1DO2=60o由AO1O2+ACB=120o +60o =180o ，O1在ACD 的外接圆

21、 O2上由于111(180)6012012022AI DABDABD，所以 I1在O2上，因此1 1118018030150O I DO AD，111118015030I O DI DO同理可证， I2在ABD 的外接圆 O1上，所以22150DI O由于12118090 ,2I DI而A B C D O1 I2 I1 D1 O2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载22111212906030I DOI DOI DIO DO，比较可得1122I O DI DO在O1I1D 与DI2O2中，因为已证 O1D=DO2，1 122150 ,O I DDI O又1122.I O DI DO因此 O1I1DDI2O2所以， I1O1=DI2，DI1= I2O2. 由于1290 ,I DII1DI2是直角三角形 . 根据勾股定理，有222121 2,DIDII I而 I1O1=DI2，DI1=I2O2. 因此222112212.I OI OI I精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页