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1、优秀学习资料 欢迎下载 平面几何练习题（高一）教师版 1P 是ABC 内一点，且满足2360PAPBPC，试确定PAB，PBC，PCA 的面积之比 答：6 3 2 解：如图，分别在 PA、PB、PC 的延长线上取点 A1，B1，C1，使1112,3,6PAPAPBPBPCPC，则1110PAPBPC P 为A1B1C1的重心，1 11 11 1PA BPB CPC ASSS 1 12 3PA BPABSS，1 13 6PB CPBCSS，1 16 2PC APCASS，SPAB SPBC SPCA=6 3 2 2在长方形 ABCD 中，E 为 AB上一点，AB=14，CE=13，DE=15CF
2、DE 于F，连接 AF，BF求ABF 的面积 答：36.96 解：先求 BE设 BE=x，则 AE=14 x，在直角ADE 与直角BCE 中应用勾股定理，得 DE2 AE2=AD2=BC2=CE2 BE2，即得方程 152(14 x)2=132 x2，所以 x=5 再应用勾股定理，得 AD=BC=132 x2=12 SABCD=12 14=168，所以 SCDE=84 设 DF=y，则 EF=15 y，在直角CDF 与直角CEF 中应用勾股定理，得CD2 DF2=CF2=CE2 EF2，即得方程 142 x2=132(15 x)2，所以 x=8.4 因此，SCDF=848.415=288.45
3、=47.04 又由于 SCDF+SABF=12SABCD=84，所以 SABF=84 SCDF=84 47.04=36.96 3 如图，D 为ABC 内一点，使得BAD=BCD，且BDC=90 已知AB=5，BC=6，M 为 AC 的中点，求 DM 答：112 解：延长 CD 到 E，使得 DE=DC，连 接 BE，则 BDE BDC，所 以BE=BC=6，BED=BCD=BAD，所以 A、D、B、E 四点共圆，因此EAB=EDB=90 所以226511AE，112DM A E C M D B 优秀学习资料 欢迎下载 4 在ABC 中，ABC=100，ACB=65，在AB边上取点M，使得 MC
4、B=55，在 AC 边上取点 N，使得 NBC=80 试确定 NMC 的度数 答：25 解：易知 BAC=15，作MCB 的外接圆，与 BN 的延长线交于点 M1，则在这个圆中弦 CM1与 CM 对的圆周角互补，所以CM1=CM 又 M1CM=M1BM=10080=20，ACM=6555=10，所以 M1CN=10；又 CN=CN，所以M1CN MCN 因此，NMC=NM1C=CMB=BAC+ACM=15+10=25 5P 为正方形 ABCD 内一点，PA=1 厘米，PB=2 厘米，PC=3 厘米则PBC 的面积（单位：平方厘米）为（A）222（B）22（C）222（D）22 答：A 解：将A
5、PB 绕点 B 顺时针旋转 90，得CQB，显然CQBAPB，连接 PQ，因为PBQ=90，PB=QB=2，所以PQB=QPB=45，PQ=22 在 PQC中，PC=3，CQ=1，PQ=22，由 于32=12+(22)2，所以 PC2=CQ2+PQ2，所以PQC=90，这样，四边形 PBQC 的面积112 22 2 12222PBQPQCSS 又PQB=45，BQC=45+90 =135，作 CHBQ 的延长线于 H，则CQH=45，因此22CH，112222222BQCSBQCH 所以PBCPBQCBQCSSS2222222 6如图，两同心圆的半径分别为 6 和 10，矩形 ABCD的边 A
6、B、CD 分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，试确定它的周长 答：128 3417 解：设这两个圆的圆心是点O，则OAD 的面积是矩形 ABCD 面积的14，所以OAD 的面积最大时，矩形 ABCD 面积取得最大值 而 OA、OD 是定值，OA=6，OD=10，所以 OA 与 OD 垂直时，OAD 的面积最大，此时，矩形 ABCD 的周长为128 3417 C D A B 再应用勾股定理得所以设则在直角与直角中应用勾股定理得即得方程所点使得试确定的度数答解易知作的外接圆与的延长线交于点则在这个圆所以这样又作的延长线于则四边形的面积因此所以如图两同心圆的半径优秀学习资料 欢迎下载 7如图所示，
7、线段 OA=OB=OC=1，AOB=60，BOC=30，以 OA，OB，OC为直径画 3 个圆，两两的交点为 M，N，P，则阴影部分的曲边三角形的面积是 解：如图，连接 AC，AN，BN，AM，BM，MP，NP，OM，ON，OP，易知OPA=OPC=90，ANO=BNO=90，BMO=CNO=90，所以 A，P，C 共线；A，N，B共线；B，M，C 共线 由OA=OB=OC=1，可知 P，M，N 分别是 AC，BC，AB 的中点，MPNB 为平行四边形，BN=MP，BM=NP，所以BN与MP长度相等，BM与NP长度相等，因此，曲边三角形 MPN 的面积=SMPNB=12SABC，而 SABC=
8、SAOCB SAOC =SAOB+SBOC SAOC=311314424 ，所以，曲边三角形 MPN 的面积=12SABC=318 8如图，过O 外一点 M 引圆的切线切圆于点 B，连接MO 交圆于点 A，已知 MA=4 厘米，MB=4 3厘米N 为AB的中点曲边三角形(阴影部分)的面积等于 平方厘米 答：4(6)3.解 根据条件,延长 MO 交圆于 C，设圆的半径为 r，MC=4+2r 由切割线定理得 MB2=MA MC，即 48=4(4+2r)解得 r=4 cm，OC=OA=AM=4cm 连接 OB，在直角OBM 中，4 33sin82MBMOBOM 所以MOB=60，因此AB为 60，而
9、 N 为AB的中点，30AN，连接 ON，则MON=30，所以111sin308 48222MONSOM ON (cm2).而扇形 AON 的面积230443603(cm2),所以阴影图形的面积42444(6)8333(cm2)A N B M O A N B M O C 再应用勾股定理得所以设则在直角与直角中应用勾股定理得即得方程所点使得试确定的度数答解易知作的外接圆与的延长线交于点则在这个圆所以这样又作的延长线于则四边形的面积因此所以如图两同心圆的半径优秀学习资料 欢迎下载 9.如右图,AB与O 切于点 A.连接 B 与O 内一点D 的线段交圆于点C.并且AB=6，DC=CB=3，OD=2，
10、则O 的半径等于 .解:延长 BD 交圆于 E，延长 OD 交圆于 F，G（如左图）.FG 是O 的直径.设O 的半径为 r，由切割线 定理，有 2,B CB EB A 即 23(6)636.DE 所以 DE=6.由相交弦定理可得,DE DCDFDG 即6 3(2)(2),rr 所以2184.r解得22r.10如右图，在半径为 1 的圆O中内接有锐角三角形 ABC，H 是ABC 的垂心，角平分线 AL 垂直于 OH，则BC=解：易知，圆心 O 及垂心 H 都在锐角三角形 ABC 的内部，延长 AO 交圆于 N，连接 AH 并延长至 H1与 BC 相交，连接 CN，在 RtCAN 和 RtAH1
11、B 中，ANC=ABC，于是有CAN=BAH1，再由 AL 是ABC 的角平分线，得1=2 由条件 APOH，得 AH=AO=1 连接 BO 交圆于 M，连接 AM、CM、CH，可知 AMCH 为平行四边形，所以 CM=AH=AO=1，BM=2，因为MBC 是直角三角形，由勾股定理得22213.BC 11分别以锐角三角形 ABC 的边 AB，BC，CA 为直径画圆，如图所示已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为 w 平方厘米，在三角形内的阴影曲边三角形面积为 u 平方厘米，试确定三角形 ABC 的面积 解：由于三角形 ABC 是锐角三角形，因此以三边为直径的圆，两两的交点是三角形高线的垂足，分别
12、落在三角形的边上，图中 13 个区域如图分别用字母表示：x,y,z 为形外的 3 个阴影曲边三角形面积，则 w=x+y+z，u 为形内的阴影曲边三角形面积，a,b,c,d,e,f 是 6 个弓形，p,q,r 是三角形内阴影曲边三角形 之 外 部 分 可 以 看 出，x+(a+b)=u+p+q+(c+f)，y+(c+d)=u+q+r+(e+b)，z+(e+f)=u+r+p+(a+d)，这三式的等号左右分别相加，得 x+y+z=2(u+p+q+r)+u，即 w=2S A B C O H L M P N H1 1 2 再应用勾股定理得所以设则在直角与直角中应用勾股定理得即得方程所点使得试确定的度数答
13、解易知作的外接圆与的延长线交于点则在这个圆所以这样又作的延长线于则四边形的面积因此所以如图两同心圆的半径优秀学习资料 欢迎下载 ABC+u，所以 SABC=12(w u)平方厘米 12.如图,四个阴影三角形的面积都等于 1 （1）求证:212212212,CBC BACACBAB A；（2）求证:122122122AB B CBC C ACA A BSSS；（3）求ABCS的值.解答：（1）设11ABBC，连接 AB2，则12.AB BS 连接 B1C2，CA2，则 B1C2/CA2，所以21221.ACABC ABC 2222122222,2.AB CAB CAB B CA B CSSSS
14、由2121,AB CAB CSS 所以122.C BB C 同理，设 12212211,2,.BC C ABCSACC AC A同法可得 设 12212211,2,.CA A BCASBAA BAB同法可得 因此，得 212212212,.CBC BACACBAB A （2）由上所证，122.C BB C易知122.BC BBB CSS也就是12212211,BC C ACA A BSS 所以122122BC C ACA A BSS.同理由 BA2=B1A2可证得 122122.AB B CBC C ASS 因此 122122122.AB B CBC C ACA A BSSS（3）由12212
15、2122.AB B CBC C ACA A BSSS 即111111222,.ABBCCABCC AAB 这样由22222 12 121,10.1AA BCA BAB BCB BSSSS 解得512（负根舍去！）.所以 12212212251.AB B CBC C ACA A BSSS 因此 43(5 1)73 5.ABCS 再应用勾股定理得所以设则在直角与直角中应用勾股定理得即得方程所点使得试确定的度数答解易知作的外接圆与的延长线交于点则在这个圆所以这样又作的延长线于则四边形的面积因此所以如图两同心圆的半径优秀学习资料 欢迎下载 13.如图，在菱形 ABCD 中，ABC=120，BC=63，
16、P 是 BC 延长线上向远离点C 方向运动的一个动点，AP交CD 于点E，联结BE并延长交DP 于点Q 如果动点 P 在初始位置时QBP=15，在终止位置时QBP=35，试确定 P 运动时点 Q 走过的曲线段的长度 答：43 解 连接 BD，作ABD 的外接圆交AP于 F，连接 BF,DF,FC 和 CQ，易知DFB=DFP=BFP=120，BFE=ECP=120，所以 B,F,E,C 四点共圆，所以1=2，由于DFP=DCP=120，所以D,F,C,P 四点共圆，所以2=3，因此1=3，所以 B,C,Q,D 四点共圆即点 Q 在BCD 的外接圆上 易知，当 P 在BC延长线上由 C 向外运动
17、时，Q 在BCD 的外接圆的CD上从点 C 起沿逆时针方向运动 BCD 是边长为6 3的正三角形，它的外接圆半径为326 3623，所以外接圆周长为 2 6=12 由于 Q 在BCD 的外接圆上运动的圆周角等于3515=20，所以 Q 在BCD 的外接圆上运动的弧为 40，是整个圆周的19，所以，动点 P 运动时 Q 走过的这段曲线12QQ的长度为12493 B A D C P Q E 再应用勾股定理得所以设则在直角与直角中应用勾股定理得即得方程所点使得试确定的度数答解易知作的外接圆与的延长线交于点则在这个圆所以这样又作的延长线于则四边形的面积因此所以如图两同心圆的半径优秀学习资料 欢迎下载.
18、O N C D A B K M 14.如图所示，在平行四边形 ABCD 中，BAD 的平分线交 BC 于点 M，交 DC的延长线于点 N，CMN 的外心为 O，CMN 的外接圆与CBD 的外接圆的另一交点为 K证明：(1)点 O 在CBD 的外接圆上；(2)AKC=90 证明 (1)由于平行四边形 ABCD 中，BAD 的平分线交 BC 于点 M，交DC 的延长线于点 N，所以BMA=MAD=BAM，因此 BA=BM，同理可得MC=CN 连接 OC，则 OC 平分NCM连接 OB，OM，OD，设BAD=，则 OCD=BCD+OCM=+12(180)=90+2 BMO=180OMC=180OCM
19、=90+2，所以 BMO=OCD 因此，OBMODC，所以OBC=ODC 于是 B，O，C，D 四点共圆，也就是点 O 在CBD 的外接圆上（8 分）(2)由(1)知 BO=OD，又 KO=OC，因为 B，K，O，C 和D 都在同一个圆上，则 K，C 关于 BD 的中垂线对称，BK=CD=AB，又KBD=CDB=ABD，所以点 K 与点 A是关于 BD 的对称点，即 AKBD，而 KC/BD，所以 AKKC，即AKC=90 15.D 是正ABC 的边 BC 上一点，设ABD 与ACD 的内心分别为 I1，I2，外心分别为 O1，O2，求证：(I1O1)2+(I2O2)2=(I1I2)2 证明：
20、作以 A 为中心、逆时针旋转60的变换(,60)R A，使ABD 到ACD1，由于ADC+AD1C=ADC+ADB=180，所以 A、D、C、D1共圆，因此2O是 AD1C的 外 心，也 就 是(,6 0)12R AOO，因 此AO1=DO1=AO2=DO2=O1O2，所以O1AO2=O1DO2=60 由AO1O2+ACB=120+60=180，O1在ACD 的外接圆O2上 由于111(180)6012012022AI DABDABD ，所以 I1在O2上，因此1 1118018030150O I DO AD，111118015030I O DI DO 同理可证，I2在ABD 的外接圆O1上，
21、所以22150DI O 由于12118090,2I DI 而A B C D O1 I2 I1 D1 O2 再应用勾股定理得所以设则在直角与直角中应用勾股定理得即得方程所点使得试确定的度数答解易知作的外接圆与的延长线交于点则在这个圆所以这样又作的延长线于则四边形的面积因此所以如图两同心圆的半径优秀学习资料 欢迎下载 22111212906030I DOI DOI DIO DO ，比较可得1122I O DI DO 在O1I1D 与DI2O2中，因为已证 O1D=DO2，1 122150,O I DDI O 又 1122.I O DI DO 因此 O1I1DDI2O2 所以，I1O1=DI2，DI1=I2O2.由于1290,I DII1DI2是直角三角形.根据勾股定理，有 222121 2,DIDII I而 I1O1=DI2，DI1=I2O2.因此 22211221 2.I OI OI I 再应用勾股定理得所以设则在直角与直角中应用勾股定理得即得方程所点使得试确定的度数答解易知作的外接圆与的延长线交于点则在这个圆所以这样又作的延长线于则四边形的面积因此所以如图两同心圆的半径