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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载平面几何练习题（高一）老师版1P 是 ABC 内一点,且满意 2 PA3 PB6 PC0,试确定 PAB, PBC,PCA 的面积之比答： 6.2.3PA 1解 ： 如 图 , 分 别 在PA 、 PB、 PC 的 延 长 线 上 取 点A1, B1, C1, 使2PA ,PB3PBPC6PC,就PA 1PB1PC10P 为 A1B1C1 的重心,SPA B 1 1SPB C 1 1SPC A 1 1SPABSPA B 1 1,SPBCSPB C 1 1,SPCASPC A 1 1, S PAB .S PBC .S PCA
2、 = 233 6626.2.32在长方形 ABCD 中,E 为 AB 上一点, AB=14,CE=13,DE=15CFDE 于F,连接 AF,BF求 ABF 的面积答： 36.96解：先求 BE设 BE=x,就 AE=14- x,在直角 ADE 与直角 BCE 中应用勾股定理,得 DE 2- AE 2=AD 2=BC 2=CE 2- BE 2,即得方程 15 2- 14- x 2=13 2- x 2,所以 x =5再应用勾股定理, 得 AD=BC=132- x 2=12SABCD =12 14=168,所以 S CDE =84CD设 DF=y,就 EF=15- y,在直角 CDF 与直角 CE
3、F 中应用勾股定理,得2- DF2=CF2=CE 2- EF2,即得方程 14 2- x 2=13 2- 15- x 2,所以 x =8.4因此, S CDF =848.4 =288.4 = 47.0415 5又由于 S CDF +S ABF =1 SABCD = 84,所以236.96S ABF =84- S CDF = 84- 47.04 = 3如图,D 为 ABC 内一点,使得 BAD=BCD,且BDC=90已知 AB=5,名师归纳总结 BC=6,M 为 AC 的中点,求 DME A M ,DMC 11第 1 页,共 8 页答：11D 2解：延长 CD 到 E,使得 DE=DC,连 接B
4、E , 就 BDE BDC , 所 以AEB 11BE=BC=6,BED=BCD=BAD,所以 A、2 62 5D、B、E 四点共圆,因此 EAB=EDB=90所以2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载4在 ABC 中, ABC=100, ACB=65,在 AB 边上取点 M,使得 MCB=55,在 AC 边上取点 N,使得NBC=80试确定NMC 的度数答：25解：易知 BAC=15 ,作 MCB 的外接圆,与 BN 的延长线交于点 M1,就在这个圆中弦 CM1=CMCM1 与 CM 对的圆周角互补,所以又 M 1CM = M 1
5、BM =100 -80=20,ACM=65 -55=10,所以 M1CN =10；又 CN=CN,所以 M1CN MCN因此,NMC= NM1C= CMB= BAC+ ACM=15+10=255P 为正方形 ABCD 内一点, PA=1 厘米, PB=2 厘米, PC=3 厘米就PBC 的面积（单位：平方厘米）为（A）22 （B）22 （C）22 （D） 2222答： A解：将 APB 绕点 B 顺时针旋转 90o,得 CQB,明显 CQB APB,连接 PQ,由于 PBQ=90o,PB=QB=2,所以 PQB=QPB=45o,PQ=22 22在 PQC中 , PC=3 , CQ=1 , PQ
6、=22 , 由 于3 2=12+ 22 2,所以 PC 2=CQ 2+PQ 2,所以 PQC=90o,这样,四边形 PBQC 的面积SPBQSPQC122122122又 PQB=45o,BQC = 45o+90o =135o,作 CHBQ 的延长线于 H,就CQH=45o,因此CH2,SBQC1BQCH122222222所以SPBCS PBQCSBQC22222226如图,两同心圆的半径分别为6 和 10,矩形 ABCD的边 AB、CD 分别为两圆的弦,当矩形面积取最大值时,A D 试确定它的周长答：128 34 17B C ,解：设这两个圆的圆心是点O,就 OAD 的面积是矩形 ABCD 面
7、积的1 4ABCD 面积取得最大值所以 OAD 的面积最大时,矩形而 OA、OD 是定值, OA=6,OD=10,所以 OA 与 OD 垂直时, OAD 的面名师归纳总结 积最大,此时,矩形ABCD 的周长为128 34 17第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载7如下列图,线段 OA = OB = OC =1, AOB = 60o, BOC = 30o,以 OA,OB,OC为直径画 3 个圆,两两的交点为 M,N,P,就阴影部分的曲边三角形的面积是解 ： 如 图 , 连 接 AC , AN , BN , AM
8、, BM ,MP,NP,OM ,ON,OP,易知 OPA=OPC =90o,ANO =BNO = 90o,BMO = CNO = 90o,所以 A,P,C 共线；A,N,B 共线；B,M,C 共线由 OA=OB=OC=1,可知 P,M,N 分别是 AC,BC,AB 的中点, MPNB 为平行四边形, BN=MP,BM=NP,所以 BN 与 MP 长度相等, BM 与 NP 长度相等,因此,曲边三角形MPN 的面积 = SMPNB =1 2SABC,而S ABC = SAOCB S AOC = SAOB + SBOC S AOC=31131,O B N A M 4424所以,曲边三角形MPN 的
9、面积 =1 2SABC =3188如图,过 O 外一点 M 引圆的切线切圆于点B,连接MO 交圆于点 A,已知 MA= 4 厘米, MB= 4 3 厘米 N 为 AB 的中点 曲边三角形 阴影部分 的面积等于平方厘米答：463. 解依据条件 , 延长 MO 交圆于 C,设圆的半径为 r,MC = 4+2r由切割线定理得MB 2= MAMC,即 48= 4 4+2r解得 r= 4 cm,OC=OA=AM= 4cm 名师归纳总结 就连接 OB,在直角 OBM 中,sinMOBMB4 3330,连接 ON,A M OM82所以 MOB=60,因此 AB 为 60,而 N 为 AB 的中点,ANMON
10、=30,所以MON1OMONsin 3018418cm 2. S222C O 而扇形 AON 的面积42304cm 2, 3603N 所以阴影图形的面积842434463cm 2B 第 3 页,共 8 页3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载9. 如右图 , AB 与O 切于点 A. 连接 B 与O 内 一点 D 的线段交圆于点 C.并且 AB=6,DC=CB =3,OD=2,就 O 的半径等于 . 解: 延长 BD 交圆于 E,延长 OD 交圆于 F,G（如左图） .FG 是 O 的直径 . 设O 的半径为 r,由切割线定理,有B
11、 CB EB A 2,B 即3DE62 636.所以 DE=6. 由相交弦定理可得DE DCDFDG,即 63r2r2,所以18r24.解得r22. 10如右图,在半径为1 的圆 O 中内接有锐角三角形ABC,H 是 ABC 的垂心,角平分线 AL 垂直于 OH,就 BC = M O 1 2 A 解：易知,圆心 O 及垂心 H 都在锐角三角形ABC 的内部,延长 AO 交圆于 N,连接 AH 并延长至 H1与 BC 相H P 交,连接 CN,在 Rt CAN 和 Rt AH1B 中,ANC=ABC,于是有 CAN=BAH1,再由 AL 是 ABC 的角平分线, 得C L H1 1=2N 由条件
12、 APOH,得 AH=AO= 1连接 BO 交圆于 M,连接 AM、CM、CH,可知 AMCH 为平行四边形,所以CM=AH=AO =1 ,BM=2,由于MBC 是直角三角形,由勾股定理得BC2 22 13.11分别以锐角三角形ABC 的边 AB,BC,CA 为直径画圆,如下列图已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为 w 平方厘米,在三角形内的阴影曲边三角形面积为 u 平方厘米,试确定三角形 ABC 的面积解：由于三角形 ABC 是锐角三角形,因此以三边为直径的圆,两两的交点是三角形高线的垂足,分别落在三角形的边上,图中 13 个区域如图分别用字母表示： x, y, z 为形外的 3 个阴影曲边
13、三角形面积, 就 w=x+y+z,u 为形内的阴影曲边三角形面积,a, b, c, d, e, f 是 6 个弓形,p, q, r 是三角形内阴影曲边三角形 之 外 部 分 可 以 看 出 , x+a+b=u+p+q+c+f ,名师归纳总结 y+c+d=u+q+r+e+b,z+e+f=u+r+p+a+d,这三式的等第 4 页,共 8 页号左右分别相加,得x+ y+ z =2u+p+q+r+u,即 w=2S- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABC+u,所以 S ABC =1 2优秀学习资料欢迎下载w- u平方厘米12.如图 , 四个阴影三角形的面积都等于
14、1 B A ；（1）求证 : CB2C B 2,AC2AC2,BA 2（2）求证 : S AB B C 1 2 2S BC C A 1 2 2S CA A B 1 2 2；AB B 1 2.（3） 求SABC的值 . 解答： （1）设AB1,连接 AB2, 就SB C连接 B1C2,CA2,就 B1C2/CA2,名师归纳总结 所以所以AC2AB 1.S AB B C 1 222 .第 5 页,共 8 页C A 2B CSAB C 22,SAB C 22,SA B C 2 22由SAB C 2 11SAB C 2,1S CA A B 1 22,所以C B 2B C 2.同理,设BC 1,同法可得
15、S BC C A 1 2 22,AC2C A 1.C A设CA 1,同法可得S CA A B 1 222 ,BA2A B 1.A B因此,得CB 2C B 2,AC2AC2,BA 2B A 2.（2）由上所证,C B 2B C 易知SBC B 1 2SBB C 2.也就是1S BC C A 1 2 2S BC C A 1 2 2S CA A B 1 2 2.同理由 BA2=B1A2 可证得S AB B C 1 22S BC C A 1 2 2.因此S AB B C 1 22S BC C A 1 2 2S CA A B 1 2 2.（3）由S AB B C 1 22S BC C A 1 2 2S
16、 CA A B 1 22.即222 ,AB 1BC1CA 1.B CC AA B这样由SAA B 2 2SCA B 2211,210.SS51.AB B 2 1CB B 2 1解得51（负根舍去！）. 所以S AB B C 1 22S BC C A 1 2 2S CA A B 1 2 22因此SABC43 5173 5.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载13. 如图,在菱形 ABCD 中, ABC=120,BC=63 ,P 是 BC 延长线上向远离点 C 方向运动的一个动点, AP 交 CD 于点 E,联结 BE并延长交 DP 于
17、点 Q如果动点 P 在初始位置时 QBP=15,在终止位置时A B D E Q P APQBP=35,试确定 P 运动时点 Q 走过的曲线段的长度答：4 3C 解连接 BD,作 ABD 的外接圆交于 F,连接 BF, DF, FC 和 CQ,易知DFB=DFP=BFP=120, BFE=ECP=120,所以 B, F, E, C 四点共圆, 所 以1=2,由于 DFP=DCP=120,所 以D, F, C, P 四点共圆, 所以 2=3,因此 1=3,所以 B, C, Q, D 四点共圆 即点 Q 在 BCD 的外接圆上易知,当 P 在 BC 延长线上由 C 向外运动时, Q 在 BCD 的外
18、接圆的 CD上从点 C 起沿逆时针方向运动名师归纳总结 BCD 是边长为 6 3 的正三角形,它的外接圆半径为6 3326,所第 6 页,共 8 页23以外接圆周长为26=12由于 Q 在 BCD 的外接圆上运动的圆周角等于35 -15=20,所以 Q 在 BCD 的外接圆上运动的弧为40,是整个圆周的1 9,所以,动点 P 运动时 Q 走过的这段曲线QQ 的长度为12 943- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载14.如下列图,在平行四边形ABCD 中, BAD 的平分线交 BC 于点 M,交 DC的延长线于点 N, CMN 的外心
19、为 O, CMN 的外接圆与 CBD 的外接圆 的另一交点为 K证明： 1 点 O 在 CBD 的外接圆上； 2 AKC =90证明 1 由于平行四边形 ABCD 中, BAD 的平分线交 BC 于点 M,交 DC 的延长线于点 N,所以 BMA=MAD=BAM,因此 BA=BM ,同理可得 MC=CN 连接 OC,就 OC 平分 NCM连接 OB,OM ,OD,设 BAD = ,就OCD =BCD +OCM = +1 2180 - = 90+2B K M . O C N BMO =180 -OMC =180 -OCM=90 +2,所以 BMO =OCD因此, OBM ODC,所以 OBC=O
20、DC于是 B,O,C,D 四点共圆,也就是点O 在 CBD 的外接圆上 （ 8 分）A D 2 由 1 知 BO=OD,又 KO=OC ,由于 B,K,O,C 和D 都在同一个圆上,就K,C 关于 BD 的中垂线对称, BK=CD=AB ,又 KBD =CDB=ABD,所以点 K 与点 A 是关于 BD 的对称点,即 AK BD,而 KC/BD,所以 AK KC,即 AKC=9015.D 是正 ABC 的边 BC 上一点,设ABD 与 ACD 的内心分别为 I1,I 2,外心分别为 O1,O2,求证： I1O1 2+I2O2 2=I 1I2 2A 证 明 ： 作 以 A 为 中 心 、 逆 时
21、 针 旋 转 60 的 变 换R A ,60 ,使 ABD 到 ACD1,由于 ADC+AD1C=B O1 D O2 C D1 ADC+ADB=180o,所以 A、D、C、D1共圆,因此O 是AD1C的 外 心 , 也 就 是O 1R A, 6 0 O 2, 因 此I 1 I 2 AO1=DO1=AO2=DO2=O1O2,所以 O1AO2=O1DO2=60o由 AO1O2+ACB=120o+60o=180o,O1在 ACD 的外接圆 O2 上名师归纳总结 由于AI DABD1180ABD601120120,所以 I1 在O2第 7 页,共 8 页22上,因此O I D180O AD180301
22、50,DI O 2150I O DI DO118015030同理可证, I2 在 ABD 的外接圆 O1上,所以由于I DI 12118090 ,而2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - I DO2优秀学习资料欢迎下载906030,I DO1I DI2O DO2比较可得I O DI DO O I DDI O 2150 ,又在 O1I1D 与 DI 2O2 中,由于已证 O1D=DO 2,I O DI DO2.因此 O1I1D DI 2O2所以, I1O1=DI 2,DI 1= I2O2. 名师归纳总结 由于I DI290 , I 1DI 2是直角三角形 . 2,而 I1O1=DI 2,DI 1=I2O2. 第 8 页,共 8 页依据勾股定理,有DI12DI22I I 1 2因此I O 12I O 22I I22.- - - - - - -